华中科技大学数理方程课件——第二章分离变量法
第二章 分离变量法1
分析: 1.方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。 2 . 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出 微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用 定解条件定出叠加系数。
启发 能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？ 即能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解， 再用其作线性组合使其满足初始条件。
因此，所求的解为 1 (2n + 1)π u ( x, t ) = 3 ∑ sin x cos10(2n + 1)π t 3 5π n =（2n + 1 10 ） 0 4
∞
例2.解定解问题
∂ 2u ∂ 2u 2 , 0 < x < l , t > 0， 2 =a 2 ∂x ∂t ∂u = 0, t ≥ 0, u x =0 = 0, ∂x x =l ∂u 2 = 0, 0 ≤ x ≤ l. u t =0 = x − 2lx, ∂t t =0
X '' ( x) + λ X ( x) = 0, 第二步：求解特征值问题 X (0) = X (l ) = 0.
二阶线性常微分方程定 解问题
−λ x
(1)若λ < 0, 方程的通解形式为X ( x) = Ae
−λ x
+ Be −
由定解条件知A = 0, B = 0, 从而X ( x) ≡ 0, 不符合要求。
第二章 分离变量法
物理学、力学和工程技术等方面许多问题都可 归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初 步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题. 下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题. 思路：设法把偏微分方程定解问题转化为常 微分方程定解问题. 分离变量法： 分离变量法：又叫Fourier方法，它基于函数 的Fourier级数展开，是求解规则区域，如矩形域、 球域、柱型域上的波动方程、热传导方程和位势 方程常用的方法。 本章我们将通过实例来说明分离变量法的步 骤与实质。
【精品课件】数学物理方程分离变量法
l
) 1,2,3,
)
特征值与 特征函数
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
T''n(t)a2nl222Tn(t)0
X''(x)X(x)0
T''(t)a2T(t)0
X nn(xn)2 l2B 2nsi(n nn l1x ,2,3(,n )1 ,2,3 ,
驻 波 ： 两 列 反 向 行 进 的 同 频 率 的 波 形 形 成 驻 波 。 波 腹 ： 振 幅 最 大 的 点 ; 节 点 ： 振 幅 最 小 的 点
求方程的通解的步骤为：
(1)写出微分方程的特征方程 r2 0,
(2)求出特征根 r1 , r2，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根
通
解
yC1er1xC2er2x
y(C1C2x)
y ( C 1 c o sx C 2 s inx )
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
u(x,t)un(x,t) n1
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
步骤3，其余的定解条件求出系数。
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx
n
u(x,t)t 0u(x,0 )n 1C nsinl x(x)
X(x)AexBex
AB0
AB0 X0
Ae l Be l 0
分离变量法(二维拉普拉斯方程)
3） λ > 0 方程的通解为
Φ (θ ) = A cos λθ + B sin λθ
A 和 B 为任意常数，要满足周期为 2π ，则
λ = n (n = 1, 2, )
2
于是 Φ n (θ ) = An cos nθ + Bn sin nθ
将 λ = n 2 代入问题（6）的方程，得欧拉方程：
r R′′ + rR′ − n R = 0 它的通解为：
uxx + uyy = 0 (0 < x < a,0 < y < b),
(*)
(1)
u ( x , 0 ) = f ( x ) , u ( x , b ) = g ( x ) , (2)
u ( 0, y ) = u ( a , y ) = 0.
(3)
解： 变量分离形式的试探解 u ( x ,
y ) = X ( x )Y ( y )
1 ⎧ an＝ n ⎪ π r0 ⎪ 其中 ⎨ ⎪ bn＝ 1 n ⎪ π r0 ⎩
∞
∫ ∫
2π
0 2π
f (ϕ ) cos nϕ dϕ (n=0,1,2, f (ϕ )sin nϕ dϕ (n=1,2, ).
),
0
至此，定解问题 （1）－（2）得到解决。
将 an , bn 代入得
u ( r,θ ) =
1 ∴ u ( r ,θ ) = 2π
∫
2π
0
r −r f (ϕ ) 2 2 dϕ (r < r0 ) r0 + r − 2r0 r cos(θ − ϕ )
2 0 2
这个公式称为圆域内的泊松公式。
作业3：求解下述定解问题
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
《数理方程》第二章分离变量解法
解：设 u( x, t ) = X ( x)T (t ) 得到
T ′′( t ) X ′′( x ) = = −λ 2 a T (t ) X ( x)
如果
λ >0 则
X "+λX = 0 X ′(0) = 0 X ′(l ) = 0
X ( x ) = C cos λ x + D sin λ x
12
现确定积分常数
第二章 定解问题的分离变量解法
1
第一节 一维齐次方程、齐次边界条件混合 问题的分离变量解法
⎧utt = a 2 u xx , 0 < x < l, t > 0 ⎪ (Ι) ⎨u |x =0 = 0, u |x =l = 0, t≥0 ⎪u | = ϕ ( x), u | = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l t t =0 ⎩ t =0
固有值问题
20
第二步：求固有值 λ 和固有函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
n 2π 2 λn = ( n = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅) l
⎛ nπ a ⎞ Tn′(t ) + ⎜ ⎟ Tn (t ) = 0 ⎝ l ⎠
Tn (t ) = Cn e
这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波 ， 其振幅 An sin nπ x 随不同的时间 t 0 而不同。 l
10
nπ x0 • 对任意一点 x , U n ( x0 , t ) = An sin(ωn t + δ n )sin 0 l
这表示在任意一点
x0 处都作简谐振动。
n=4
• 驻波
o
nπ U n ( x, t ) = An sin(ωn t + δ n )sin x l
华中科技大学数理方程课件——第二章分离变量法
X ( 0 ) A B 0X ( l ) A e l B e l 0
AB0
X(x) 0
0
X0
X(x)AxB
AB0
X(x) 0
2 0
X2X0
X ( 0 ) A 0
X (x )A co x sB six n
u(x,t)un(x,t)
n1
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n a
n a n
un 1(C ncolst D nsilnt)silnx
n
u u (( x x t,,tt))t t0 0 un ( x 1,D 0 )n nln a 1C sin nsn iln x l x (x)(x)
0,
u(x,
0)
x2
2lx,
u(x, t
0)
0,
0 x l,t 0 t 0 0 x l
解： u(x,t)X(x)T(t)
u(0 ,t)X (0 )T (t)0 X(0)0
XTa2XT
X X
1 a2
T T
XX0
Ta2T0
0x10,t 0 t 0 0x10
XX0, 0x10
X(0)0,
X(10)0
Xnn (xn )2 2 B/n1 si0 ,nnn 1 00 1 x,2,3,
T14 0T0 Tn10n202Tn0 T n C n c1 o n0 ts D n s1 in n 0 t
0x10,t 0 t 0
数学物理方程-第二章分离变量法
第二章 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.§2⋅1 特征值问题2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。
该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程：,n Ax x x R λ=∈， （1.1）的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型.若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =，或, 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出.定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题,n Ax x x R λ=∈，则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）.特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤.例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此组基分别展开为11,n ni i i i i i x x T b b T ====∑∑，则Ax b =等价于11n niii ii i x AT b T ===∑∑，或11n ni i ii ii i x T b T λ===∑∑，比较上式两边i T 的系数可得1, 1i i i x b i n λ-=≤≤，12( ... )n x x x x T =便是原问题的解.例 1.2 设0n x R ∈,12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>. 求解非齐次常微分方程组0(), (0)dx Ax f t x x dt=+=， （1.4）其中'''12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dtT =>.解 类似于上例，将0,,()x x f t 按基{1}i T i n ≤≤分别展开为 0111, , ()()nnni i i ii i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑.则（1.4）等价于0111() () +(), (0), 1nn ni i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt=====≤≤∑∑∑，或011() (()()), (0),1nni i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dtλ===+=≤≤∑∑，比较上式两边i T 的系数可得0()()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dtλ=+=≤≤.（1.5） （1.5）是n 个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解(),1i x t i n ≤≤的具体表达式.2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题 在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间n R 和n 阶实对称矩阵A ，在这儿要用到线性空间[0,]C l 的某个子空间H 和该子空间上的二阶线性微分算子A . 一般地取2{()[0,]()H X x C l X x =∈在0,x l =满足齐次边界条件}. （1.6）下面我们讨论二阶线性微分算子22d A dx=-的特征值问题. 先取边界条件为(0)0,()0X X l ==，设()X x H ∈是A 的特征函数，即()0X x ≠且满足()()AX x X x λ=.此问题等价于()X x 是下面问题的非零解"()()0, 0(0)()0 .X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（1.7） （1.7）便是二阶线性微分算子22d A dx =-的特征值问题，即要找出所有使得该问题有非零解的λ. 下面求解特征值问题（1.7）.首先证明要使（1.7）具有非零解，λ必须非负.设)(x X 是相应于λ的一个非零解，用)(x X 乘（1.7）中的方程，并在[]l ,0上积分得0)()()()("=+x X x X x X x X λ，0)()()( 02 0"=+⎰⎰dx x X dx x X x X llλ，0)())(()()( 02 02'0'=+-⎰⎰dx x X dx x X x X x X lll λ.由于0)()0(==l X X ，故有2'2 0()(())llX x dx X x dx λ=⎰⎰，'22 0(())()0llX x dxX x dx λ=≥⎰⎰. （1.8）当0λ=时，方程0)()("=+x X x X λ的通解为12()X x c c x =+. 利用边界条件0)()0(==l X X 可得120c c ==，即()0X x =. 因此，0λ=不是特征值.当0λ>时，方程0)()("=+x X x X λ的通解为x C x C x X λλsin cos )(21+=. （1.9） 利用边界条件0)()0(==l X X 确定常数21,C C 如下10C =, l C l C λλsin cos 021+=,或0sin 2=l C λ.由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故2C 不能为零. 故有0sin =l λ.0>，从而有πλn l = ， 1n ≥,2)(ln n πλ=，1n ≥ .将n C C λ,,21代入到（1.8）中，并略去任意非零常数2C 得x ln x X n πsin)(= ， 1n ≥ .故特征值问题（1.7）的解为2)(ln n πλ= ， x ln x X n πsin )(= ，1n ≥ （1.10）注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7）的解为{ sin 1 }n x n lπ≥. 在高等数学中知道，在一定条件下区间[0 , ]l 的任一函数可按特征函数系{ sin1 }n x n lπ≥展开为Fourier 级数. 换言之，特征函数系{ sin1 }n x n lπ≥是区间[0 , ]l 上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，而且还是该空间上的一组正交基，即有0sinsin0 , ln m x xdx n m llππ=≠⎰. 特征函数系{ sin1 }n x n lπ≥的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1有限维空间n R 中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化. 如将边界条件变为(0)0,'()0X X l ==，则特征值和特征函数分别为2(21)(21)(),()sin,022n n n n X x x n llππλ++==≥.该特征函数系(21){ sin1 }2n x n lπ+≥也具有和特征函数系{ sin1 }n x n lπ≥类似的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm —Liouville 定理，有兴趣的同学可参阅参考文献[1][4]-. 将以上的结果以定理的形式给出.定理1.2 [1],[4] 考虑二阶线性微分算子22d A dx =-的特征值问题"()()()()0 , 0 ,(0)0,()0 .k m X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （1.11） 其中0,1k m ≤≤. 则该问题的特征值非负，且满足120......n λλλ≤<<<<→∞.相应的特征函数系1{()}n n X x ≥在[0,]l 上是相互正交的. 且对于任一在区间[0,]l 上分段光滑的函数()f x ，可按特征函数系1{()}n n X x ≥展开为如下的Fourier 级数 1()()n n n f x f X x ∞==∑，其中Fourier 系数为2()(), 1()lnn l n f x Xx dxf n X x dx=≥⎰⎰.为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子22d A dx =-带有周期边界条件的特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用()θΦ表示周期函数，即考虑下面 二阶线性微分算子22d A dx=-的周期边值问题"()()0, () (2), .θλθθθπθθ⎧Φ+Φ=-∞<<+∞⎨Φ=Φ+-∞<<+∞⎩ （1.12） 可证（1.12）和以下问题等价"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩（1.13） 和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值0≥λ. 当0λ=时，12()c c θθΦ=+, 由周期边界条件可得20c =. 所以0()1θΦ=为特征函数.当0λ>时，方程通解为θλθλθsin cos )(21c c +=Φ,求导得'()c c θΦ=-+.由周期边界条件可得112cos(2sin(2c c c c c c π⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩ 或1212[1cos(2sin(20sin(2[1cos(20.c c c c π⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩ （1.14）由于要求非零解，故12,c c 不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩阵行列式必为零，即1cos(20π-=. 解之可得2n n =λ，()cos sin .n n n c n d n θθθΦ=+此时对每个正特征值2n n =λ，特征函数有二个，既θn cos ，θn sin . 总结所得结果为如下定理.定理1.3 考虑二阶线性微分算子22d A d θ=-带有周期边界条件的特征值问题"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩ 则该问题的特征值和特征函数分别为00,λ=0()1;θΦ=2n n =λ，(){cos ,sin }, 1n n n n θθθΦ=≥.§2⋅2 分离变量法本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation ofvariables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍.以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则,可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法.2．2.1 弦振动方程定解问题例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题2(,), 0, 0 (2.1)(0,)0, (,)0, 0 (2.2)(,0)(), (,0)(),0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ-=<<>==≥==≤≤ (2.3)⎧⎪⎨⎪⎩解 分四步求解.第一步 导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解.令)()(),(t T x X t x u =，并代入到齐次方程中得0)()()()(''2''=-t T x X a x X t T ,或''''2()()()()X x T t X x a T t = .上式左端是x 的函数而右端是t 的函数，要二者相等，只能等于同一常数.令此常数为-λ，则有λ-=)()("x X x X ，"2()()T t a T t λ=- ，上面的第一个方程为0)()("=+x X x X λ .利用齐次边界条件（2.2），并结合0)(≠t T 得0)()0(==l X X .由此便得该定解问题的特征值问题为"()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩其解为特征值：2() , 1 ;n n n lπλ=≥特征函数：()sin , 1 .n n X x x n lπ=≥第二步 正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系{}1()n n X x ≥展成Fourier 级数，并将),(t x u 也用特征函数{}1()n n X x ≥表出.11()()sinn n n n n n x X x x l πϕϕϕ∞∞====∑∑ , （2.4）11()()sinn n n n n n x X x x lπψψψ∞∞====∑∑, （2.5） 11(,)()()()sinn n n n n n f x t f t X x f t x lπ∞∞====∑∑, （2.6）11(,)()()()sinn n n n n n u x t T t X x T t x lπ∞∞====∑∑ （2.7）这里n ϕ，n ψ和)(t f n 分别为)(x ϕ，)(x ψ和),(t x f 的Fourier 系数，具体表示如下2()sinl n n d l l πϕϕααα=⎰,2()sinl n n d llπψψααα=⎰,2()(,)sinl n n f t f t d llπααα=⎰,而)(t T n 为待定函数.第三步 待定系数法. 即先将),(t x f 和),(t x u 的Fourier 级数代入到（2.1）中，导出关于)(t T n 满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出)(t T n 满足的初始条件.假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得"2"111()()()()()()nn n nn n n n n Tt X x aT t Xx f t X x ∞∞∞===-=∑∑∑,"2111()()()(())()()nn nnn n n n n n Tt X x aT t X x f t X x λ∞∞∞===--=∑∑∑,"211(()())()()()nn n n n n n n T t a T t X x f t X x λ∞∞==+=∑∑. （2.8）由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端)(x X n 系数得"2()()(), 1.n n n n T t a T t f t n λ+=≥ （2.9）在（2.7）中令0=t 并结合（2.4）得()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑ （2.10）比较（2.10）两端)(x X n 系数得(0), 1.n n T n ϕ=≥ （2.11） 类似地可得'(0), 1.n n T n ψ=≥ （2.12） 结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于)(t T n (1)n ≥满足的二阶常系数非齐次方程初始值问题"2'()()(), 0(0), (0).n n n n n n n n T t a T t f t t T T λϕψ⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.13） 第四步 求解关于)(t T n 的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中即可.为简单起见，我们设()0,1n f t n =≥. 将n λ代入到（2.13）中可得方程的通解为t la n d t la n c t T n n n ππsincos)(+= ，利用初始条件确定常数,n n c d 如下'(0), (0)n n n n nn a T c T d lπϕψ====.故有()cossin n n n l n an aT t t t l n a lψππϕπ=+.最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为12(,)()sincossinl n n n a n u x t d t x l ll l πππϕααα∞==∑⎰12()sinsinsinln n n an d t x n alllπππψαααπ∞=+∑⎰ (2.14)注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号∑逐项求导. 而通过∑号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，有兴趣的同学可查阅参考文献[1]和[2]. 我们约定：本书只求定解问题的形式解.注2 当(,)0f x t =时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多简单振动(,)()sinn n n u x t T t x lπ=的叠加，当(11)k kl x x k n n==≤≤-时，对任意的时刻t ，(,)0n k u x t =，即(,)n u x t 在振动的过程中有(1)n +个点永远保持不动，所以称这样的振动为驻波,而k x 称为该驻波的节点.显然当21(11)2k x l k n n+=≤≤-时sin 1x =，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的腹点. 因此，求特征函数实际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释.注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method ），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的思想.如在三维空间3R 中，每个向量可由基{,,}i j k的线性组合表出，两个向量111222 , a i b j c k a i b j c k αβ=++=++相等当且仅当在基{,,}i j k下两个向量的坐标相等. 既121212 , , a a b b c c ===.与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边()n X x 的系数而得到（2.13）. 与三维空间3R 相比较，例2.1中特征函数系{ sin1 }n x n lπ≥相当于3R中的基{,,}i j k，而{ T () 1 }n t n ≥也就相当于上面的111{,,}a b c ，即定解问题的解关于基函数{ sin1 }n x n lπ≥的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特征函数法也称为待定系数法.例 2.2 设有一均匀细弦，其线密度为ρ. 若0x =端为自由端，x l =端固定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为sin t ω. 求此弦的振动. 解 所求定解问题为21 sin , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x t u a u t x l t u t u l t t u x u x x l ρω-⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（2.15）利用特征函数法求解该问题.情形1 非共振问题，即22, 0n a n ωλ≠≥. 该定解问题的特征值问题为"'()()0, 0 (0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ (2.16) 其解为2(21)()2n n lπλ+= ， (21)()cos2n n X x x lπ+= ，0n ≥将1sin t ρω-按特征函数{}0)(≥n n x X 展开成Fourier 级数得11sin ()()n n n t f t X x ωρ∞==∑ , （2.17)21214()sin sinsin sin 2(21)l n n n f t t d t f t lln ωπααωωρπρ+===+⎰.令0(,)()()n n n u x t T t X x ∞==∑ （2.18）完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意0, ()n n T t ≥满足下面问题"2'()()sin , 0(0)0, (0)0.n n n n nn T t a T t f t t T T λω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.19） 初值问题(2.19)中齐次方程的通解为12()cos sin n T t c c =+，而非齐次方程的一个特解为22()sin nn n f T t t a ωλω=-.因此，（2.19）的通解为1222()cos sin sin nn n f T t c c t a ωλω=++-. （2.20）由初始条件可确定出120, c c ==最后将所得到的()n T t 代入到（2.18）中便得（2.15）的解.情形2 共振问题，即存在某个0,n ≥ 使得22n a ωλ=.不妨假设220a ωλ=. 此时，在情形1中求解所得到的{ T () 1 }n t n ≥不变. 当0n =时，要求解以下问题"2000'00()()sin , 0(0)0, (0)0.T t T t f t t T T ωω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.21） （2.21）中齐次方程通解为012()cos sin T t c t c t ωω=+.为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为0i t f e ω，而求以下问题的一个特解"2000()(). i t T t T t f e ωω+=令()i t T t Ate ω=并代入到上面非齐次方程中可得 02f i A ω=-，故有00()sin cos 22f t f t T t t it ωωωω=-，取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为00()Im(())cos 2f t T t T t t ωω==-.结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为0012()cos sin cos 2f t T t c t c t t ωωωω=+-，由初始条件确定出 01220, 2f c c ω==，由此可得0002()sin cos 22f f tT t t t ωωωω=-.将()n T t 代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为0001002112(,)()()()()()()(sin cos )cos()()222 (,)(,) .n n n n n n n n n u x t T t X x T t X x T t X x f f t t t x T t X x lu x t u x t πωωωω∞=∞=∞===+=-+=+∑∑∑可以证明: 2(,)u x t 是有界的. 而在1(,)u x t 的表达式中取 2k k t πω=，则1(,)u x t 中的基本波函数cos2x lπ的振幅0()k T t 当k 逐渐变大时将趋于无穷大，最终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率ω等于系统的第一固有频率数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率ω很接近或等于系统的某个固有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂.2．2.2 热传导方程定解问题例2.3 求解下面热方程定解问题20, 0, 0 (0,), (,)sin , 0(,0)0, 0.t xx x u a u x l t u t u u l t t t u x x l ω⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（2.22）解 利用特征函数法求解(2.22).首先将边界条件齐次化,取0(,)sin w x t u x t ω=+，并令w u v -=，则（2.22）转化为20cos , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0), 0.t xx x v a v x t x l t v t v l t t v x u x l ωω⎧-=-<<>⎪==≥⎨⎪=-≤≤⎩（2.23）利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为"()()0, 0(0)0, '()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩ 特征值和特征函数分别为2(21)()2n n lπλ+= 0≥n ,(21)()sin2n n X x x lπ+= 0≥n .将(,)cos f x t x t ωω=-，0)(u x -=ϕ按特征函数{}0)(≥n n x X 展成Fourier 级数得0cos ()()n n n x t f t X x ωω∞=-=∑ ， (2.24)2(21)()(1)cos sincos 2l n n n f t t d f t llπωαωααω+=-=⎰,其中1228(1)(12)n n l f n ωπ+-=+.00n n n u X ϕ∞=-=∑， (2.25)其中00042(21)()sin2(12)l n u n u d l ln πϕααπ-+=-=+⎰.令0(,)()(), n n n v x t T x X x ∞==∑ (2.26)并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得'2"00()()()()cos ()n nn nn n n n n T t Xx aT t Xx f tX x ω∞∞∞===-=∑∑∑ ,'2(()())()cos ()nn nnn n n n T t a T t Xx f tX x λω∞∞==+=∑∑.在（2.26）中令0=t 并结合（2.25）得()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑.比较上面两式中特征函数()n X x 的系数便得'2()()cos , 0(0).n n n n n n T t a T t f t t T λωϕ⎧+=>⎪⎨=⎪⎩ （2.27） （2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题.齐次方程通解为tan n Ce t T λ2)(-=.令()cos sin n T t A t B t ωω=+，并利用待定系数法求特解可得2242242()cos sin n nn n nna f f T t t t a a λωωωωλωλ=+++,故有22242242()cos sin n a tn nn n nna f f T t Ce t t a a λλωωωωλωλ-=++++ （2.28）在上式中代0t =得2242n nn n a f C a λϕωλ=++,2242n nn na f C a λϕωλ=-+ .最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为0(21)(,)()sin2n n n v x t T t x lπ∞=+=∑ .故（2.21）的解为),(),(),(t x w t x v t x u +=0 (,)sin v x t u x t ω=++其中)(t T n 由（2.28）给出.2．2.3 平面上位势方程边值问题 考虑矩形域上Poisson 方程边值问题1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), .xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2.29）我们假设0)()(21==x f x f 或0)()(21==y g y g . 否则，利用边界条件齐次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于x 具有齐次边界条件，而另一个关于y 具有齐次边界条件.例2.4 求解Dirichlet 问题0, 02, 0 1 (0,)0, (2,)0, 01(,0)1, (,1)(1), 0 2.xx yy u u x y u y u y y u x u x x x x +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==-≤≤⎩（2.30）解 令)()(),(y Y x X y x u =并将其代入到（2.29）中齐次方程得0)()()()(""=+y Y x X y Y x X ,λ-=-=)()()()(""y Y y Y x X x X ,"()()0, 0 2(0)0, (2)0.X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩ （2.31）0)()("=-y Y y Y λ （2.32） （2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为2)2(πλn n =， x n x X n 2sin )(π=， 1≥n .将n λ代入到（2.32）中得0)()("=-y Y y Y n λ ， （2.33）该方程有两个线性无关解yn e2π，yn e2π-. 由于2n shy π，2n chy π也是（2.33）的解且线性无关，故（2.33）通解为y n chd y n shc y Y n n n 22)(ππ+=.令11(,)()()()sin222n n n n n n n n n u x y X x Y y c shy d chy x πππ∞∞====+∑∑ (2.34)则),(y x u 满足（2.30）中方程和关于x 的齐次边界条件. 利用关于y 的边界条件可如下确定n c ，n d ，∑∞==12sin1n n x n d π,))1(1(22sin12220n n n d n d --=⨯=⎰πααπ.（2.35） x n n chd n shc x x n n n ∑∞=+=-12sin)22()1(πππ,22))1(1(22)1(416)1(163322ππππππn shn chn n sh n n c n nn n -------=. （2.36） 故（2.30）解为1(,)()sin,222n n n n n n u x y c shy d chy x πππ∞==+∑ （2.37）其中n c ，n d 由（2.36）和（2.35）确定.对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标.同学们自己可验证：令θρcos =x ，θρsin =y 作自变量变换，则有θθρρρρρu u u u u yy xx 211++=+.令)()(),(θρθρΦ=R u ，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得"'"211()()()()()()0R R R ρθρθρθρρΦ+Φ+Φ=,22233216(1)164(1)(1)sin,2222n nn n n n n n c shd chd n ππππααααπ----+=-=⎰"'"211(()())()()()0R R R ρρθρθρρ+Φ+Φ=,"'"21()()()1()()R R R ρρθρλθρρ+Φ=-=-Φ,故有0)()("=Φ+Φθλθ, （2.38） 0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.39）方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题,而 （2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换s e =ρ可得s e =ρ ， ρln =s ,'1s dR dR ds R d ds d ρρρ==,2222'''2222211()ss s d Rd R ds dR d s R R d ds d ds d ρρρρρ=+=-. 将以上各式代入到（2.39）得''0ss R R λ-= . （2.40） 例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题22220, 0, 0, 4(,0)0, 0 2(0,)0, 0 2 (,), 4. xx yy u u x y x y u x x u y y u x y xy x y ⎧+=>>+<⎪=≤≤⎪⎨=≤≤⎪⎪=+=⎩（2.41）的有界解.解 令θρcos =x ，θρsin =y 作自变量变换，（2.41）转化为2110, 0, 0 2 2(,0)0, (,)0, 022(2,)2sin 2, 0.2u u u u u u ρρρθθπθρρρπρρρπθθθ⎧++=<<<<⎪⎪⎪==≤≤⎨⎪⎪=≤≤⎪⎩（2.42）令)()(),(θρθρΦ=R u 代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得"()()0, 0<</2(0)0, (/2)0.θλθθππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ=⎩ （2.43）0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.44） （2.43）便是（2.42）的特征值问题.求解特征值问题（2.43）可得224)2/(n n n ==ππλ ， θθn n 2sin )(=Φ ， 1≥n .将n λ代入到（2.44）中，并令s e =ρ作自变量变换可得"240ss R n R -=,2222()ns ns n n n n n n n R c e d e c d ρρρ--=+=+.由于是求（2.42）的有界解，故有∞<)0(R ，即0=n d . 从而有n n n c R 2)(ρρ=.上面求出的(,)()()n n n u R ρθρθ=Φ对每个1n ≥都满足（2.42）中的方程和齐次边界条件，由叠加原理得∑∑∞=∞==Φ=1212sin )()(),(n n n n n n n c R u θρθρθρ, （2.45）也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件.为使（2.42）中的非齐次边界条件(2,)2sin u θθ=得以满足，在（2.45）中令2ρ=得212sin 22sin 2n n n c n θθ∞==∑， （2.46）比较上式两边特征函数θθn n 2sin )(=Φ的系数得 112c =， 1)( 0≠=n c n .将1c ，1)(≠n c n 代入到（2.45）中便得（2.42）的解为 θρθρ2sin 21),(2=u .例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题2110, 0, 02 (,)(), 02.u u u a u a ρρρθθρθπρρθϕθθπ⎧++=<<≤<⎪⎨⎪=≤≤⎩（2.47） 解 圆域上的函数(,)u ρθ相当于关于变量θ具有周期2π. 令)()(),(θρθρΦ=R u 并代入到（2.46）中的方程可得"()()0() (2).θλθθπθ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+⎩ （2.48）0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.49） （2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理1.3知（2.48）的解为2,()c o s s i n ,n n n n n c n d n n λθθθ=Φ=+≥. 将n λ代入到（2.49）中可得(要利用自然边界条件(0,)u θ<∞)00)(c R =ρ,n n n c R ρρ=)(，1≥n利用叠加原理可得（2.47）的如下形式解∑∞=++=10)sin cos (),(n n n n n d n c c u θθρθρ . （2.50）根据边界条件)(),(θϕθ=a u 得01()(cos sin )n n n n c a c n d n ϕθθθ∞==++∑,其中2001()2c d πϕττπ=⎰,⎰=πτττϕπ20cos )(1d n ac nn , ⎰=πτττϕπ20sin )(1d n a d n n .将以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解为2 2 0111(,)()()(()cos cos 2nn u d n d n aππρρθϕττϕτττθππ∞==+∑⎰⎰)sin sin )(12 0 ⎰+πθτττϕπn d n . （2.51）注4 利用等式)Re()(cos 1)(1∑∑∞=-∞==-n in n n n e c n c τθτθ可将（2.51）化为如下形式222221()()(,),22cos()a u d a a πρϕτρθτπρρθτ-=+--⎰ （2.52）式（2.52）称为圆域上调和函数的Poisson 公式. 在后面学习中还将用其它方法导出它.注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由项),(θρf 不为零，若),(θρf 特殊，可用函数代换将自由项化为零而转化齐次方程. 对于一般的),(θρf ，要利用特征函数方法求解.注6 上面例2.3—例2.6几个定解问题的求解思想和主要过程，是伟大的数学家和物理学家Fourier 给出的，详细内容见参考文献[5]. 在这部著名论著中，Fourier 首次利用偏微分方程来研究热问题，并系统地介绍了分离变量法的基本思想和主要步骤.结合本节所举例子，请同学们小结一下在本章所学过的特征值问题，二阶常系数非齐次常微分方程和欧拉方程的求解方法. 习 题 二 1. 设有如下定解问题2(,), 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩利用分离变量法导出该定解问题的特征值问题并求解.2.求解下列特征值问题（1） "''()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩（2） "()()0, 1 1 (1)0,(1)0X x X x x X X λ⎧+=-<<⎨-==⎩（3） "()()0, 0'(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（4） "()()0, 02(0)(2), '(0)'(2).X x X x x l X X l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩3*考虑下面特征值问题"()()0, 0(0)0, '()()0.X x X x x l X X l X l λ⎧+=<<⎨=+=⎩（1）证明一切特征值0.λ>（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.（3）求出所有的特征值和相应的特征函数.4． 设(),()p x q x 在区间[0,]l 一阶连续可导且()0,()0.p x q x >≥ 考虑如下特征值问题[()()]()()(), 0 (0)0, ()0.d d p x X x q x X x X x x l dx dx X X l λ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩ （1）证明一切特征值0.λ≥（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.5．求解下列弦振动方程的定解问题（1） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx x x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x l ⎧-=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（2） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 035(,0)sin , (,0)sin , 0.22tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ⎧⎪-=<>⎪==≥⎨⎪⎪==≤≤⎩（3） 240, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0), (,0)0, 0 1.tt xx t u u u x t u t u t t u x x x u x x ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=-=≤≤⎩ （4） 242sin , 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x x t u u u x x t u t u t t u x u x x πππ⎧--=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（5） 22, 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)0, (,0), 0.tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x u x A x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩6．求解下列热传导方程的定解问题（1） 2cos , 0<, 02(0,)1, (,), 0(,0)0, 0<.t xx x x u a u x t u t u t t u x x ππππ⎧-=<>⎪⎪==≥⎨⎪=<⎪⎩（2） 22, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0)sin , 0< 1.t xx xu a u u x t u t u t t u x x x π⎧-=<>⎪==≥⎨⎪=<⎩（3） 220, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx u a u b u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（4） 2, 0, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)1, 0.t xx x x u a u xt x l t u t u l t t u x x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩ 7. 求解下面位势方程定解问题（1） , 0, 0(,0)0, (,)0, 0(0,)0, (,), 0.xx yy y y u u x x a y b u x u x b x a u y u a y Ay y b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2）22220, 0, , 4(,0)0, 02, (,)0, 0(,), 4.xx yy u u y x y x y u x x u x x x u x y x y x y ⎧+=>>+<⎪⎪=≤≤=≤≤⎨⎪=++=⎪⎩（3） 22220, 4 (,)1, 4.xx yy u u x y u x y x x y ⎧+=+<⎪⎨=++=⎪⎩（4） 222222, 1< 4(,)0, 1 (,), 4.xx yy u u xy x y u x y x y u x y x y x y ⎧+=+<⎪⎪=+=⎨⎪=++=⎪⎩8* 设()x ϕ在区间[0,]l 的Fourier 展开式为1()sin ,k k k xx c lπϕ∞==∑（6.1） 其部分和为1()sin ,nn k k k xS x c l π==∑ 求解或证明以下结果.（1）设()[0,]x C l ϕ∈，求20[()()]ln x S x dx ϕ-⎰.（2）证明下面贝塞尔（Bessel ）不等式22012().l k k c x dx l ϕ∞=≤∑⎰（6.2） （3）设2()[0,]x C l ϕ∈，()x ϕ的二阶导数的Fourier 展开式为1''()sin,n n n x x d l πϕ∞==∑如果 (0)()0l ϕϕ==，利用分部积分法证明2, 1,n n d An c n =≥ （6.3）其中A 为正常数.（4）利用（6.2）和（6.3）证明（6.1）中的三角级数在区间[0,]l 上一致收敛，并且可以逐項求导.9*考虑如下定解问题2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩ （1） 给出该定解问题的物理解释.（2） 当经过充分长的时间后，导热杆上的温度分布(,)u x t 如何？（3） 求极限lim (,)t u x t →+∞. 10*考虑如下定解问题2, 0, 0 (0,), (,), 0(,0)(), 0.t xx x u a u x l t u t A u l t B t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩ （1）给出该定解问题的物理解释.（2）求极限lim (,)t u x t →+∞. 11*考虑下面定解问题20, 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx t t u u u u x t u t u t t u x x u x x πππ-++=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （1）解释该定解问题方程中各项的物理意义.（2）推导出问题的特征值问题并求解.（3）写出该问题解的待定表示式并求出表达式中第一特征函数的系数. 12*考虑下面定解问题(,), 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x x t u u f x t x t u t u t t u x x u x x x ππϕψπ-=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （12.1） （1）写出该定解问题的特征值和特征函数 ,(),0.n n X x n λ≥（2）如果()0,()0x x ϕψ==，而(,)sin f x t t =，求解该定解问题.（3）如果(,)0f x t =，证明 0τ∀>，下面等式222200[(,)(,)][()()]llt x x u x u x dx x x dx ττψϕ+=+⎰⎰， （12.2） 成立，解释该等式的物理意义.（4）证明（12.1）的解是唯一的.。
数理方程-分离变量法(2)
n Tn (0) cos l x 0 n 1
n0
T0 ' (t ) A sin t T0 (0) 0
T0 (t ) A (1 cos t )
n0 n a 2 Tn ' (t ) ( ) Tn (t ) 0 l Tn (0) 0
§2.1
分离变量
引例： 有界弦的自由振动 研究两端固定弦的自由振动. 定解问题为：
2 2u 2 u 0, 0 x l , t 0 2 a 2 x t t0 u x 0 0, u x l 0, u ( x ), u ( x ), 0 x l t 0 t t 0
二阶常系数非齐次线性方程解法
方程 解法
y py qy f ( x )
待定系数法。
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
设 y x k e x Qm ( x ) ,
0 k 1 2
不是特征方程的根 是特征方程单根 是特征方程重根
.
常数变异法，令
Fourier级数 法
n u ( x, t ) Tn (t ) cos x 代入泛定方程有 l n 0 n a 2 n [Tn ' (t ) ( l ) Tn (t )] cos l x A sin t n 0
代入初始条件 有
u( x,0) 0
二、解的物理意义
驻波叠加
初位相
角频率
⑴弦上各点的角频率 和初位相 有波形的传播现象。 n x=x0时：
un ( x0 , t ) An sin l
都相同，因而没
《分离变量法》PPT课件 (2)
1
简介
前面介绍的通解法只适用于很少的一类定解问 题求解，而本章将要介绍的分离变量法则是求解 定解问题的一种最常用、最基本的方法. 分离变 量法是一种先求出满足泛定方程及部分定解条件 的全部特解，然后把这些特解叠加起来，再利用 另一部分定解条件求出叠加系数，从而求出定解 问题的解的方法.本章主要介绍几种常见坐标系 下的分离变量法.
X (x) C2;
若 0,则X (x) C1 cos x C2 sin x代入齐次边界条件(27),得
C2 0
(C1 sin l C2 cos l) 0
23
只有当 0时的本征值问题才具有有意义的解,其中本征值为
n2 2
l2 相应的本征函数为
n 0,1,2,
（30）
X n (x)
n
A0 n1 An cos l
x (x),
B0
n1
Bn
n
l
a
cos n
l
x (x).
An
2 l
l(x) cos n
0
l
xdx
Bn
2
n a
l
(
x)
c
os
n
0
l
xdx
（37）
将系数表达式（37）代入一般解（36）就得到了原定解问 题的确定解.
26
物理意义
一般解(36)中A0 B0t描写杆的整体移动,其余部分描写杆的纵振动, 而且从系数表达式(37)中可以看出,A0和B0分别表示平均初始位移 和平均速度,由于不受外力作用,杆以不变的速度B0移动.
,
un
(x,
t)
(
An
cos
n
l
数理方程第讲
X(x)lX(x)0. (2.5) 6
再利用边界条件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t),
X(0)T(t)=0, X(l)T(t)=0. 但T(t)0, 如果T(t)=0, 这种解称为平凡解, 所 以
X(0)=X(l)=0
(2.6)
因此, 要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离
由于方程(2.13)与边界条件(2.14)都是齐次的,
所以 u (x,t)C n e- n 2 a 2 tsinnx (2 .2 2 )
n 1
仍满足方程与边界条件. 最后考虑u(x,t)能否
n
xd x
0
10
2
5n 3
3
(1 -
cos
n
)
0, 当 n为偶数 ,
4
5n 3
3
,
当
n 为奇数
.
23
因此, 所求的解为 u(x,t)
543n 0(2n1 1)3sin(2n1 01)xcos10(2n1)t
24
解题中常用到的积分表的内容:
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cosax
x
(2.11)
16
u(x,t) un(x,t) n1
n1Cn
cosnat
l
Dn
sinnl at sinnl
x
(2.11)
将初始条件(2.3)代入上式得:
u(x,t)|t0u(x,0)n1Cnsinnlx(x)
u
t t0
Dn
n1
nasinn
ll
x(x)
17
复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数: 如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数, 则有
数学物理方程-第二章分离变量法精品文档25页
第二章 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.§2⋅1 特征值问题2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。
该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程：,n Ax x x R λ=∈， （1.1）的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型.若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =，或, 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3）上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出.定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题,n Ax x x R λ=∈，则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）.特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤.例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =.解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此组基分别展开为11 ,n ni i i i i i x x T b bT ====∑∑，则Ax b =等价于11 n ni i i ii i x AT bT ===∑∑， 或11 n ni i i i ii i x T bT λ===∑∑， 比较上式两边i T 的系数可得1, 1i i i x b i n λ-=≤≤，12( ... )n x x x x T =便是原问题的解.例 1.2 设0n x R ∈,12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>. 求解非齐次常微分方程组0(), (0)dx Ax f t x x dt=+=， （1.4） 其中 '''12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dtT =>. 解 类似于上例，将0,,()x x f t 按基{1}i T i n ≤≤分别展开为00111 , , ()()n n ni i i ii i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑. 则（1.4）等价于0111() () +(), (0), 1nn n i i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt =====≤≤∑∑∑， 或011() (()()), (0),1nn i i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dt λ===+=≤≤∑∑， 比较上式两边i T 的系数可得0()()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dtλ=+=≤≤. （1.5） （1.5）是n 个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解(),1i x t i n ≤≤的具体表达式. 2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间n R 和n 阶实对称矩阵A ，在这儿要用到线性空间[0,]C l 的某个子空间H 和该子空间上的二阶线性微分算子A . 一般地取2{()[0,]()H X x C l X x =∈在0,x l =满足齐次边界条件}.（1.6） 下面我们讨论二阶线性微分算子22d A dx=-的特征值问题. 先取边界条件为(0)0,()0X X l ==，设()X x H ∈是A 的特征函数，即()0X x ≠且满足()()AX x X x λ=.此问题等价于()X x 是下面问题的非零解"()()0, 0 (0)()0 .X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩ （1.7） （1.7）便是二阶线性微分算子22d A dx=-的特征值问题，即要找出所有使得该问题有非零解的λ. 下面求解特征值问题（1.7）.首先证明要使（1.7）具有非零解，λ必须非负.设)(x X 是相应于λ的一个非零解，用)(x X 乘（1.7）中的方程，并在[]l ,0上积分得0)()()()("=+x X x X x X x X λ，0)()()( 02 0 "=+⎰⎰dx x X dx x X x X l lλ， 0)())(()()( 0 2 0 2'0'=+-⎰⎰dx x X dx x X x X x X ll l λ.由于0)()0(==l X X ，故有2'2 00()(())l lX x dx X x dx λ=⎰⎰， '22 0 0(())()0l l X x dx X x dx λ=≥⎰⎰. （1.8）当0λ=时，方程0)()("=+x X x X λ的通解为12()X x c c x =+. 利用边界条件0)()0(==l X X 可得120c c ==，即()0X x =. 因此，0λ=不是特征值.当0λ>时，方程0)()("=+x X x X λ的通解为 x C x C x X λλsin cos )(21+=. （1.9） 利用边界条件0)()0(==l X X 确定常数21,C C 如下10C =, l C l C λλsin cos 021+=,或0sin 2=l C λ.由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故2C 不能为零. 故有0sin =l λ.0>，从而有πλn l = ， 1n ≥,2)(ln n πλ=，1n ≥ . 将n C C λ,,21代入到（1.8）中，并略去任意非零常数2C 得x ln x X n πsin )(= ， 1n ≥ . 故特征值问题（1.7）的解为 2)(l n n πλ= ， x ln x X n πsin )(= ，1n ≥ （1.10） 注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7）的解为{ sin 1 }n x n lπ≥. 在高等数学中知道，在一定条件下区间[0 , ]l 的任一函数可按特征函数系{ sin 1 }n x n lπ≥展开为Fourier 级数. 换言之，特征函数系 { sin 1 }n x n lπ≥是区间[0 , ]l 上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，而且还是该空间上的一组正交基，即有0sinsin 0 , ln m x xdx n m l lππ=≠⎰. 特征函数系{ sin 1 }n x n lπ≥的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1有限维空间n R 中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化. 如将边界条件变为(0)0,'()0X X l ==，则特征值和特征函数分别为2(21)(21)(),()sin ,022n n n n X x x n l lππλ++==≥. 该特征函数系(21){ sin 1 }2n x n l π+≥也具有和特征函数系{ sin 1 }n x n lπ≥类似的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm —Liouville 定理，有兴趣的同学可参阅参考文献[1][4]-.将以上的结果以定理的形式给出.定理1.2 [1],[4] 考虑二阶线性微分算子22d A dx=-的特征值问题 "()()()()0 , 0 ,(0)0,()0 .k m X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （1.11）其中0,1k m ≤≤. 则该问题的特征值非负，且满足120......n λλλ≤<<<<→∞.相应的特征函数系1{()}n n X x ≥在[0,]l 上是相互正交的. 且对于任一在区间[0,]l 上分段光滑的函数()f x ，可按特征函数系1{()}n n X x ≥展开为如下的Fourier 级数 1()()n n n f x f X x ∞==∑，其中Fourier 系数为020()(), 1()ln n ln f x X x dx f n X x dx=≥⎰⎰. 为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子22d A dx=-带有周期边界条件的特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用()θΦ表示周期函数，即考虑下面 二阶线性微分算子22d A dx=-的周期边值问题 "()()0, () (2), .θλθθθπθθ⎧Φ+Φ=-∞<<+∞⎨Φ=Φ+-∞<<+∞⎩（1.12） 可证（1.12）和以下问题等价"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩ （1.13） 和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值0≥λ. 当0λ=时，12()c c θθΦ=+, 由周期边界条件可得20c =. 所以0()1θΦ=为特征函数.当0λ>时，方程通解为θλθλθsin cos )(21c c +=Φ,求导得'()c c θΦ=-+.由周期边界条件可得112cos(2sin(2c c c c c c ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩ 或1212[1cos(2sin(20sin(2[1cos(20.c c c c π⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩ （1.14） 由于要求非零解，故12,c c 不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩阵行列式必为零，即1cos(20-=. 解之可得2n n =λ，()cos sin .n n n c n d n θθθΦ=+此时对每个正特征值2n n =λ，特征函数有二个，既θn cos ，θn sin . 总结所得结果为如下定理.定理1.3 考虑二阶线性微分算子22d A d θ=-带有周期边界条件的特征值问题 "''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩则该问题的特征值和特征函数分别为00,λ=0()1;θΦ=2n n =λ，(){cos ,sin }, 1n n n n θθθΦ=≥.§2⋅2 分离变量法本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of variables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍.以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则,可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法.2．2.1 弦振动方程定解问题例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题2(,), 0, 0 (2.1)(0,)0, (,)0, 0 (2.2)(,0)(), (,0)(),0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ-=<<>==≥==≤≤ (2.3)⎧⎪⎨⎪⎩解 分四步求解.第一步 导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解.令)()(),(t T x X t x u =，并代入到齐次方程中得0)()()()(''2''=-t T x X a x X t T ,或''''2()()()()X x T t X x a T t = . 上式左端是x 的函数而右端是t 的函数，要二者相等，只能等于同一常数.令此常数为-λ，则有λ-=)()("x X x X ， "2()()T t a T t λ=- ， 上面的第一个方程为0)()("=+x X x X λ .利用齐次边界条件（2.2），并结合0)(≠t T 得0)()0(==l X X .由此便得该定解问题的特征值问题为"()()0, 0 (0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩其解为特征值：2() , 1 ;n n n l πλ=≥特征函数： ()sin , 1 .n n X x x n lπ=≥ 第二步 正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系{}1()n n X x ≥展成Fourier 级数，并将),(t x u 也用特征函数{}1()n n X x ≥表出.11()()sinn n n n n n x X x x l πϕϕϕ∞∞====∑∑ , （2.4） 11()()sin n n n n n n x X x x lπψψψ∞∞====∑∑, （2.5） 11(,)()()()sinn n n n n n f x t f t X x f t x l π∞∞====∑∑, （2.6） 11(,)()()()sinn n n n n n u x t T t X x T t x lπ∞∞====∑∑ （2.7） 这里n ϕ，n ψ和)(t f n 分别为)(x ϕ，)(x ψ和),(t x f 的Fourier 系数，具体表示如下02()sin l n n d l lπϕϕααα=⎰, 02()sin l n n d l lπψψααα=⎰, 02()(,)sin l n n f t f t d l l πααα=⎰, 而)(t T n 为待定函数.第三步 待定系数法. 即先将),(t x f 和),(t x u 的Fourier 级数代入到（2.1）中，导出关于)(t T n 满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出)(t T n 满足的初始条件.假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得"2"111()()()()()()nn n n n n n n n T t X x a T t X x f t X x ∞∞∞===-=∑∑∑, "2111()()()(())()()nn n n n n n n n n T t X x a T t X x f t X x λ∞∞∞===--=∑∑∑, "211(()())()()()n n n n n n n n T t a T t X x f t X x λ∞∞==+=∑∑. （2.8） 由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端)(x X n 系数得"2()()(), 1.n n n n T t a T t f t n λ+=≥ （2.9）在（2.7）中令0=t 并结合（2.4）得00()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑ （2.10）比较（2.10）两端)(x X n 系数得(0), 1.n n T n ϕ=≥ （2.11） 类似地可得'(0), 1.n n T n ψ=≥ （2.12） 结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于)(t T n (1)n ≥满足的二阶常系数非齐次方程初始值问题"2'()()(), 0(0), (0).n n n n n n n n T t a T t f t t T T λϕψ⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.13）第四步 求解关于)(t T n 的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中即可.为简单起见，我们设()0,1n f t n =≥. 将n λ代入到（2.13）中可得方程的通解为t la n d t l a n c t T n n n ππsin cos)(+= ， 利用初始条件确定常数,n n c d 如下 '(0), (0)n n n n nn a T c T d lπϕψ====. 故有 ()cos sin n n n l n a n a T t t t l n a lψππϕπ=+ . 最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为012(,)()sin cos sin l n n n a n u x t d t x l ll l πππϕααα∞==∑⎰ 012()sin sin sin l n n n a n d t x n a l l l πππψαααπ∞=+∑⎰ (2.14) 注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号∑逐项求导. 而通过∑号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，有兴趣的同学可查阅参考文献[1]和[2]. 我们约定：本书只求定解问题的形式解.注2 当(,)0f x t =时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多简单振动(,)()sin n n n u x t T t x l π=的叠加，当(11)k kl x x k n n==≤≤-时，对任意的时刻t ，(,)0n k u x t =，即(,)n u x t 在振动的过程中有(1)n +个点永远保持不动，所以称这样的振动为驻波,而k x 称为该驻波的节点.显然当21(11)2k x l k n n+=≤≤-时sin 1x =，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的腹点. 因此，求特征函数实际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释.注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method ），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的思想.如在三维空间3R 中，每个向量可由基{,,}i j k 的线性组合表出，两个向量111222 , a i b j c k a i b j c k αβ=++=++相等当且仅当在基{,,}i j k 下两个向量的坐标相等. 既121212 , , a a b b c c ===. 与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边()n X x 的系数而得到（2.13）. 与三维空间3R 相比较，例2.1中特征函数系{ sin 1 }n x n lπ≥相当于3R 中的基{,,}i j k ，而{ T () 1 }n t n ≥也就相当于上面的111{,,}a b c ，即定解问题的解关于基函数{ sin1 }n x n lπ≥的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特征函数法也称为待定系数法. 例 2.2 设有一均匀细弦，其线密度为ρ. 若0x =端为自由端，x l =端固定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为sin t ω. 求此弦的振动.解 所求定解问题为21 sin , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x t u a u t x l t u t u l t t u x u x x l ρω-⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（2.15） 利用特征函数法求解该问题.情形1 非共振问题，即22, 0n a n ωλ≠≥.该定解问题的特征值问题为"'()()0, 0 (0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ (2.16) 其解为2(21)()2n n l πλ+= ， (21)()cos 2n n X x x lπ+= ，0n ≥ 将1sin t ρω-按特征函数{}0)(≥n n x X 展开成Fourier 级数得11sin ()()n n n t f t X x ωρ∞==∑ , （2.17)021214()sin sin sin sin 2(21)l n n n f t t d t f t l l n ωπααωωρπρ+===+⎰.令0(,)()()n n n u x t T t X x ∞==∑ （2.18）完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意0, ()n n T t ≥满足下面问题"2'()()sin , 0(0)0, (0)0.n n n n n n T t a T t f t t T T λω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.19） 初值问题(2.19)中齐次方程的通解为12()cos sin n T t c c =+，而非齐次方程的一个特解为22()sin nn n f T t t a ωλω=-.因此，（2.19）的通解为1222()cos sin sin nn n f T t c c t a ωλω=++-. （2.20） 由初始条件可确定出120, c c ==最后将所得到的()n T t 代入到（2.18）中便得（2.15）的解.情形2 共振问题，即存在某个0,n ≥ 使得22n a ωλ=.不妨假设220a ωλ=. 此时，在情形1中求解所得到的{ T () 1 }n t n ≥不变. 当0n =时，要求解以下问题"2000'00()()sin , 0(0)0, (0)0.T t T t f t t T T ωω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.21） （2.21）中齐次方程通解为012()cos sin T t c t c t ωω=+.为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为0i t f e ω，而求以下问题的一个特解"2000()(). i t T t T t f e ωω+=令()i t T t Ate ω=并代入到上面非齐次方程中可得 02f iA ω=-，故有00()sin cos 22f t f tT t t i t ωωωω=-， 取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为00()Im(())cos 2f tT t T t t ωω==-.结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为0012()cos sin cos 2f tT t c t c t t ωωωω=+-，由初始条件确定出 01220, 2fc c ω==，由此可得0002()sin cos 22f f tT t t t ωωωω=-.将()n T t 代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为00102112(,)()()()()()()(sin cos )cos ()()222 (,)(,) .n n n n n n n n n u x t T t X x T t X x T t X x f f t t t x T t X x l u x t u x t πωωωω∞=∞=∞===+=-+=+∑∑∑可以证明: 2(,)u x t 是有界的. 而在1(,)u x t 的表达式中取 2k k t πω=，则1(,)u x t 中的基本波函数cos2x lπ的振幅0()k T t 当k 逐渐变大时将趋于无穷大，最终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率ω等于系统的第一固有频率数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率ω很接近或等于系统的某个固有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂.2．2.2 热传导方程定解问题例2.3 求解下面热方程定解问题20, 0, 0 (0,), (,)sin , 0(,0)0, 0.t xx x u a u x l t u t u u l t t t u x x l ω⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（2.22）解 利用特征函数法求解(2.22).首先将边界条件齐次化,取0(,)sin w x t u x t ω=+，并令w u v -=，则（2.22）转化为20cos , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0), 0.t xx x v a v x t x l t v t v l t t v x u x l ωω⎧-=-<<>⎪==≥⎨⎪=-≤≤⎩（2.23）利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为"()()0, 0(0)0, '()0. X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩特征值和特征函数分别为2(21)()2n n lπλ+= 0≥n , (21)()sin 2n n X x x lπ+= 0≥n .将(,)cos f x t x t ωω=-，0)(u x -=ϕ按特征函数{}0)(≥n n x X 展成Fourier 级数得0cos ()()n n n x t f t X x ωω∞=-=∑ ， (2.24)02(21)()(1)cos sin cos 2l n n n f t t d f t l lπωαωααω+=-=⎰, 其中1228(1)(12)n n l f n ωπ+-=+. 00n n n u X ϕ∞=-=∑， (2.25)其中00042(21)()sin 2(12)l n u n u d l l n πϕααπ-+=-=+⎰ . 令0(,)()(), n n n v x t T x X x ∞==∑ (2.26)并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得'2"00()()()()cos ()n nn nn n n n n T t Xx aT t Xx f tX x ω∞∞∞===-=∑∑∑ ,'20(()())()cos ()nn nnn n n n T t a T t Xx f tX x λω∞∞==+=∑∑.在（2.26）中令0=t 并结合（2.25）得()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑.比较上面两式中特征函数()n X x 的系数便得'2()()cos , 0(0).n n n n nn T t a T t f t t T λωϕ⎧+=>⎪⎨=⎪⎩ （2.27）（2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题.齐次方程通解为ta n n Cet T λ2)(-=.令()cos sin n T t A t B t ωω=+，并利用待定系数法求特解可得2242242()cos sin n n n n n na f f T t t t a a λωωωωλωλ=+++, 故有22242242()cos sin n a tn n nn n n a f f T t Ce t t a a λλωωωωλωλ-=++++（2.28） 在上式中代0t =得2242n nn n a f C a λϕωλ=++,2242n nn n a f C a λϕωλ=-+ . 最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为0(21)(,)()sin2n n n v x t T t x lπ∞=+=∑ . 故（2.21）的解为),(),(),(t x w t x v t x u +=0 (,)sin v x t u x t ω=++其中)(t T n 由（2.28）给出.2．2.3 平面上位势方程边值问题 考虑矩形域上Poisson 方程边值问题1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), .xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2.29）我们假设0)()(21==x f x f 或0)()(21==y g y g . 否则，利用边界条件齐次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于x 具有齐次边界条件，而另一个关于y 具有齐次边界条件.例2.4 求解Dirichlet 问题0, 02, 0 1 (0,)0, (2,)0, 01(,0)1, (,1)(1), 0 2.xx yy u u x y u y u y y u x u x x x x +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==-≤≤⎩（2.30）解 令)()(),(y Y x X y x u =并将其代入到（2.29）中齐次方程得0)()()()(""=+y Y x X y Y x X ,λ-=-=)()()()(""y Y y Y x X x X , "()()0, 0 2(0)0, (2)0. X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩ （2.31）0)()("=-y Y y Y λ （2.32） （2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为2)2(πλn n =， x n x X n 2sin )(π=， 1≥n .将n λ代入到（2.32）中得0)()("=-y Y y Y n λ ， （2.33） 该方程有两个线性无关解y n e2π，y n e2π-. 由于2n shy π，2n ch y π也是（2.33）的解且线性无关，故（2.33）通解为y n ch d y n shc y Y n n n 22)(ππ+=. 令11(,)()()()sin 222n n n n n n n n n u x y X x Y y c shy d ch y x πππ∞∞====+∑∑ (2.34) 则),(y x u 满足（2.30）中方程和关于x 的齐次边界条件. 利用关于y 的边界条件可如下确定n c ，n d ，∑∞==12sin1n n x n d π, ))1(1(22sin 12220nn n d n d --=⨯=⎰πααπ. （2.35） x n n ch d n shc x x n n n ∑∞=+=-12sin )22()1(πππ,22))1(1(22)1(416)1(163322ππππππn sh n chn n sh n n c n n n n -------= . （2.36） 故（2.30）解为1(,)()sin ,222n n n n n n u x y c shy d ch y x πππ∞==+∑ （2.37） 其中n c ，n d 由（2.36）和（2.35）确定.对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标.同学们自己可验证：令θρcos =x ，θρsin =y 作自变量变换，则有θθρρρρρu u u u u yy xx 211++=+.令)()(),(θρθρΦ=R u ，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得"'"211()()()()()()0R R R ρθρθρθρρΦ+Φ+Φ=,"'"211(()())()()()0R R R ρρθρθρρ+Φ+Φ=,"'"21()()()1()()R R R ρρθρλθρρ+Φ=-=-Φ,故有0)()("=Φ+Φθλθ, （2.38）222330216(1)164(1)(1)sin ,2222n nn n n n n n c sh d ch d n ππππααααπ----+=-=⎰0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.39）方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题,而 （2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换s e =ρ可得s e =ρ ， ρln =s ,'1s dR dR ds R d ds d ρρρ==, 2222'''2222211()ss s d R d R ds dR d s R R d ds d ds d ρρρρρ=+=-. 将以上各式代入到（2.39）得''0ss R R λ-= . （2.40） 例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题22220, 0, 0, 4(,0)0, 0 2(0,)0, 0 2 (,), 4. xx yy u u x y x y u x x u y y u x y xy x y ⎧+=>>+<⎪=≤≤⎪⎨=≤≤⎪⎪=+=⎩ （2.41）的有界解.解 令θρcos =x ，θρsin =y 作自变量变换，（2.41）转化为2110, 0, 0 2 2(,0)0, (,)0, 022(2,)2sin 2, 0.2u u u u u u ρρρθθπθρρρπρρρπθθθ⎧++=<<<<⎪⎪⎪==≤≤⎨⎪⎪=≤≤⎪⎩（2.42）令)()(),(θρθρΦ=R u 代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得"()()0, 0<</2(0)0, (/2)0.θλθθππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ=⎩ （2.43）0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.44） （2.43）便是（2.42）的特征值问题.求解特征值问题（2.43）可得224)2/(n n n ==ππλ ， θθn n 2sin )(=Φ ， 1≥n .将n λ代入到（2.44）中，并令s e =ρ作自变量变换可得"240ss R n R -=,2222()ns ns n n n n n n n R c e d e c d ρρρ--=+=+.由于是求（2.42）的有界解，故有∞<)0(R ，即0=n d . 从而有n n n c R 2)(ρρ=.上面求出的(,)()()n n n u R ρθρθ=Φ对每个1n ≥都满足（2.42）中的方程和齐次边界条件，由叠加原理得∑∑∞=∞==Φ=1212sin )()(),(n n n n n n n c R u θρθρθρ, （2.45）也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件.为使（2.42）中的非齐次边界条件(2,)2sin u θθ=得以满足，在（2.45）中令2ρ=得212sin 22sin 2n n n c n θθ∞==∑， （2.46）比较上式两边特征函数θθn n 2sin )(=Φ的系数得 112c =， 1)( 0≠=n c n . 将1c ，1)(≠n c n 代入到（2.45）中便得（2.42）的解为θρθρ2sin 21),(2=u . 例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题 2110, 0, 02 (,)(), 02.u u u a u a ρρρθθρθπρρθϕθθπ⎧++=<<≤<⎪⎨⎪=≤≤⎩（2.47） 解 圆域上的函数(,)u ρθ相当于关于变量θ具有周期2π. 令)()(),(θρθρΦ=R u 并代入到（2.46）中的方程可得"()()0() (2).θλθθπθ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+⎩ （2.48）0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.49）（2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理1.3知（2.48）的解为2, ()c o s s i n ,n n n n n c n d n n λθθθ=Φ=+≥. 将n λ代入到（2.49）中可得(要利用自然边界条件(0,)u θ<∞)00)(c R =ρ,n n n c R ρρ=)(，1≥n利用叠加原理可得（2.47）的如下形式解∑∞=++=10)sin cos (),(n n n n n d n c c u θθρθρ . （2.50）根据边界条件)(),(θϕθ=a u 得01()(cos sin )n n n n c a c n d n ϕθθθ∞==++∑,其中2001()2c d πϕττπ=⎰, ⎰=πτττϕπ20cos )(1d n a c n n ,⎰=πτττϕπ20sin )(1d n a d n n .将以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解为2 2 0111(,)()()(()cos cos 2nn u d n d n aππρρθϕττϕτττθππ∞==+∑⎰⎰)sin sin )(12 0 ⎰+πθτττϕπn d n . （2.51）注4 利用等式)Re()(cos 1)(1∑∑∞=-∞==-n in n n n e c n c τθτθ可将（2.51）化为如下形式2222201()()(,),22cos()a u d a a πρϕτρθτπρρθτ-=+--⎰（2.52）式（2.52）称为圆域上调和函数的Poisson 公式. 在后面学习中还将用其它方法导出它.注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由项),(θρf 不为零，若),(θρf 特殊，可用函数代换将自由项化为零而转化齐次方程. 对于一般的),(θρf ，要利用特征函数方法求解.注6 上面例2.3—例2.6几个定解问题的求解思想和主要过程，是伟大的数学家和物理学家Fourier 给出的，详细内容见参考文献[5]. 在这部著名论著中，Fourier 首次利用偏微分方程来研究热问题，并系统地介绍了分离变量法的基本思想和主要步骤.结合本节所举例子，请同学们小结一下在本章所学过的特征值问题，二阶常系数非齐次常微分方程和欧拉方程的求解方法. 习 题 二1. 设有如下定解问题2(,), 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩利用分离变量法导出该定解问题的特征值问题并求解.2.求解下列特征值问题（1） "''()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （2） "()()0, 1 1(1)0,(1)0X x X x x X X λ⎧+=-<<⎨-==⎩（3） "()()0, 0'(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（4） "()()0, 02(0)(2), '(0)'(2).X x X x x l X X l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩3*考虑下面特征值问题"()()0, 0(0)0, '()()0.X x X x x l X X l X l λ⎧+=<<⎨=+=⎩ （1）证明一切特征值0.λ>（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的. （3）求出所有的特征值和相应的特征函数.4． 设(),()p x q x 在区间[0,]l 一阶连续可导且()0,()0.p x q x >≥ 考虑如下特征值问题[()()]()()(), 0(0)0, ()0.dd p x X x q x X x X x x l dxdx X X l λ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩ （1）证明一切特征值0.λ≥（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的. 5．求解下列弦振动方程的定解问题（1） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx x x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x l ⎧-=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（2） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 035(,0)sin , (,0)sin , 0.22tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ⎧⎪-=<>⎪==≥⎨⎪⎪==≤≤⎩（3） 240, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0), (,0)0, 0 1.tt xx t u u u x t u t u t t u x x x u x x ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=-=≤≤⎩（4） 242sin , 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x x t u u u x x t u t u t t u x u x x πππ⎧--=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（5） 22, 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)0, (,0), 0.tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x u x A x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩6．求解下列热传导方程的定解问题（1） 2cos , 0<, 02(0,)1, (,), 0(,0)0, 0<.t xx x x u a u x t u t u t t u x x ππππ⎧-=<>⎪⎪==≥⎨⎪=<⎪⎩（2） 22, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0)sin , 0< 1.t xx x u a u u x t u t u t t u x x x π⎧-=<>⎪==≥⎨⎪=<⎩（3） 220, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx u a u b u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（4） 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)1, 0.t xx x x u a u xt x l t u t u l t t u x x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩7. 求解下面位势方程定解问题（1） , 0, 0 (,0)0, (,)0, 0(0,)0, (,), 0.xx yy y y u u x x a y b u x u x b x a u y u a y Ay y b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2）22220, 0, , 4 (,0)0, 02, (,)0, 0(,), 4.xx yy u u y x y x y u x x u x x x u x y x y x y ⎧+=>>+<⎪⎪=≤≤=≤≤⎨⎪=++=⎪⎩（3） 22220, 4 (,)1, 4.xx yy u u x y u x y x x y ⎧+=+<⎪⎨=++=⎪⎩ （4） 222222, 1< 4 (,)0, 1 (,), 4.xx yy u u xy x y u x y x y u x y x y x y ⎧+=+<⎪⎪=+=⎨⎪=++=⎪⎩8*设()x ϕ在区间[0,]l 的Fourier 展开式为1()sin ,k k k x x c l πϕ∞==∑ （6.1） 其部分和为1()sin ,n n k k k x S x c l π==∑ 求解或证明以下结果. （1）设()[0,]x C l ϕ∈，求20[()()]l n x S x dx ϕ-⎰. （2）证明下面贝塞尔（Bessel ）不等式22012().l k k c x dx l ϕ∞=≤∑⎰ （6.2） （3）设2()[0,]x C l ϕ∈，()x ϕ的二阶导数的Fourier 展开式为1''()sin ,n n n x x d l πϕ∞==∑ 如果 (0)()0l ϕϕ==，利用分部积分法证明 2, 1,n n d An c n =≥ （6.3）其中A 为正常数.（4）利用（6.2）和（6.3）证明（6.1）中的三角级数在区间[0,]l 上一致收敛，并且可以逐項求导.9*考虑如下定解问题2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1） 给出该定解问题的物理解释.（2） 当经过充分长的时间后，导热杆上的温度分布(,)u x t 如何？（3） 求极限lim (,)t u x t →+∞. 10*考虑如下定解问题2, 0, 0 (0,), (,), 0(,0)(), 0.t xx x u a u x l t u t A u l t B t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）求极限lim (,)t u x t →+∞. 11*考虑下面定解问题20, 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx t t u u u u x t u t u t t u x x u x x πππ-++=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （1）解释该定解问题方程中各项的物理意义.（2）推导出问题的特征值问题并求解.（3）写出该问题解的待定表示式并求出表达式中第一特征函数的系数. 12*考虑下面定解问题(,), 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x x t u u f x t x t u t u t t u x x u x x x ππϕψπ-=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （12.1） （1）写出该定解问题的特征值和特征函数 ,(),0.n n X x n λ≥（2）如果()0,()0x x ϕψ==，而(,)f x t t =，求解该定解问题.（3）如果(,)0f x t =，证明 0τ∀>，下面等式222200[(,)(,)][()()]l lt x x u x u x dx x x dx ττψϕ+=+⎰⎰， （12.2） 成立，解释该等式的物理意义.（4）证明（12.1）的解是唯一的.。
分离变量法
第二章 分离变量法一 齐次偏微分方程的分离变量法1 有界弦的自由振动（1） 考虑两端固定的弦振动方程的混合问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0),(),0(0,0,01022222x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ ① 这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。
求解这样的方程可用叠加原理。
类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。
所谓),(t x u 具有分离变量的形式，即)()(),(t T x X t x u =把)()(),(t T x X t x u =带入方程①中，可得到常微分方程定解为：),(t x u ＝∑∞=1),(n n t x u ＝l x n l t an D l t an C n n n πππ∑∞=+1sin )sin cos (其中：⎰=l n dx l x n x l C 0sin )(2πϕ，⎰=l n dx lx n x an D 0sin )(2πφπ 2离变量法的解题步骤可以分成三步：(一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。
(二) 确定特征值与特征函数。
(三) 求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。
3 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为l ，比热为c ，热传导系数为k ，杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为0度，另一端杆的热量自由散发到周围温度是0的介质中，杆与介质的热交换系数为0k ，已知杆上的初温分布为)(x ϕ，求杆上温度的变化规律，也就是要考虑下列问题：0,0,22222><<∂∂=∂∂t l x xu a t u (2.18) 0),(,0),0(=+∂∂=t l hu xt l u t u ），（ (2.19) )()0,(x x u ϕ= (2.20) 其中ρc k a =2，00>=k k h注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的，因此仍用分离变量法来求解。
数学物理第二章-分离变量法
例1 设 b Rn ，求解线性方程组 Ax b.
4
解 A的n个线性无关的特征向量{Ti}(1 i n) 可以作为 Rn
n
n
的一组基。将x，b按此基展开为 x xi Ti ,b bi Ti，则
Ax b 等价于 n
i1
i1
n
xi ATi bi Ti
i1
i1
或
n
n
xi iTi bi Ti
l n ,n 1
n
n
l
2
,n
1
所以，可得
11
Xn (x)
sin
n
l
x, n
1
因此,特征值问题（1）的解为
n
n
l
2
,n
1,
Xn (x)
sin
n
l
x, n
1.
注：
特征值问题是分离变量法的理论基础；
改变边界条件，相应的特征函数系也会改变；
Sturm-Liouville定理：特征函数系的正交性和完备性。
（3）导出 Tn (t)满足的方程，给出通解（傅里叶展开）；
（4）由初始条件确定通解系数.
注2 对齐次问题
u(x,t) 2 l(s)sin( n s)ds cos n a t sin n x
l0 n1
l
l
l
2
l
(s)sin( n
s)ds sin
0
xi0 i ,
n
f (t) fi T (t)6 i.
i 1
i 1
i 1
则原问题等价于 dx Ax f (t), x(0) x0
dt
T T n dxi
i1 dt
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
解： u(x,t) X (x)T (t)
u(0,t) X (0)T (t) 0
X (0) 0
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0 T a2T 0
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
X X 0, 0 x 10
2a2
n (2n 1)2 2 / 4l 2 (2n 1)
Xn (x) Bn sin 2l Tn 0
x
Tn
Cn
cos
(2n
1) a
2l
t
Dn
sin
(2n
1)
2l
a
t
n 1, 2,3,L
un X nTn
(2n 1) a
(2n 1) a (2n 1)
(Cn cos
2l
t Dn sin
2l
t ) sin
XT 104 X T
u(10,t) X (10)T (t) 0
X (0) 0 X (10) 0
X X
1 104
T T
X X 0, 0 x 10
X (0) 0,
X (10) 0
X X 0
T 104T 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X X 0,
l
1
cos 2n
/
l
dx
l
0
l
0
2
2
l n
sin
0
l
x sin m
l
xdx 1 2
l 0
cos
n
l
m
x
cos
n
l
m
xdx
0
l(x)sin m
0
l
xdx
l
n
0 Cn sin n1
l
x sin m
l
xdx
l 2
Cm
Cm
2 l
l (x)sin m
0
l
xdx
2
Dn na
l
(
x)
sin
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
t
a2n2 2
T ''n (t) l2 Tn (t) 0
X ''(x) X (x) 0
T ''(t) a2T (t) 0
n
n2
l2
2
(n 1, 2,3,L )
n
Xn (x) Bn sin l x (n 1, 2,3,L )
x(10 x) 1000
,
u(x,0) t
0,
0 x 10,t 0 t0 0 x 10
X X 0, 0 x 10
X (0) 0,
X (10) 0
n n2 2 /100 , n 1,2,3,
X n (x)
Bn
sin
n
10
x
T 104T 0 Tn 100 n2 2Tn 0 Tn Cn cos10nt Dn sin10nt
l
(x)
sin
n
0
l
xdx
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 解的性质
un (x,t)
(Cn
cos
n
l
a
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
An
cos(nt
n )sin
n
l
x
其中： An Cn2 Dn2
n
n a
l
n
arctan
Dn Cn
l
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u
(Cn
n1
cos na t
l
Dn sin
na t) sin
l
n
l
x
u( x, t ) t0
u(x, 0)
Cn sin
n1
n
l
x
(x)
u ( x, t )
t
t0
n1
Dn
n a
l
sin
n
l
x
(x)
l sin2 n xdx
2l
t sin
x
2l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例3 求下列定解问题
u ( x,0)
n1
Cn
n 1
s in 10 nx
x(10 1000
x)
n
10
x
Cn
2 10
10 x(10 x) n
sin
0 1000
10
xdx 1 5000
10
n
x(10 x)sin
0
10
xdx
2
5n3
3
(1
cosn
)
0， 4
5n3 3
，
n为偶数 n为奇数
u(x,0)
t
n1
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u
t
2
a2
2u x2
,
0
x l,t 0
X X 0,
X
(0)
0,
0 xl X (l) 0
u(0,
t)
0,
u(l, x
t)
0,
u(x, 0)
x2
2lx,
u(x, 0) t
T a2T 0
t0
0, 0 x l
Tn
(2n
1)2
4l 2
n2 2
l2
n
n2
l2
2
(n 1, 2,3,L )
n
Xn (x) Bn sin l x (n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
Xn (x)
Bn
sin
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
一、有界弦的自由振动
2u t 2
a2
于是得到一系列分离变量形式的特解
un
X nTn
Bn
sin
n
10
x(Cn
(Cn cos10nt
cos10nt Dn sin10nt)
Dn
sin 10nt ) sin
n
10
x
这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由
线性方程的叠加原理，设原问题的解为
u
un
n 1
(Cn
n 1
cos10 nt
n
0
l
xdx
2
Cn l
l (x) sin n
0
l
xdx
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
a2
2u x2
,
0,u(l,
t
)
0,
u ( x,0)
(x),
u ( x,0) t
(
x),
0 x l,t 0 t0 0 xl
▪分离变量 u(x,t) X (x)T (t) X X 0 T a2T 0
X (0) 0, X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ''(x) X (x) 0 X (0) 0, X (l) 0
特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定
条件下求非零解的问题
特征（固有）值：使方程有非零解的常数值
特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解
分情况讨论：
b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 •适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
1、 求两端固定的弦自由振动的规律
2u a2 2u ,
t 2
x2
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
0 x l,t 0 t 0
u(x, 0) (x),
X
(0)
0,
X (l) 0
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
X X 0,
X
(0)
0,
2 0 X 2 X 0
X (0) A B 0
AB0
0
X 0 AB0
第2章分离变量法
0 xl X (l) 0 X (x) Ae x Be x X (l) A el B el 0 X (x) 0
x=x0时：
un (x0,t)
An
sin
n
l
x0
cos(nt
n )
t=t0时：
un (x,t0 )
An
cos(nt0
n )sin
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
sin n x
l
n
2 n
l
l