田忌赛马数学模型

（1）

由题目可看出以下几点：

在决策时采用不同的决策方法会产生不同的结果；

对方决策透明了后，就不存在博弈问题了；

不同决策会产生不同结果时才会产生博弈问题，即不同决策产生相同结果时就不存在博弈了。

赛马前田忌与齐王都不知道对方马的出场顺序时，而双方都想通过调整马的出场顺序赢得比赛，则这是博弈问题。

反之，如果一方出场顺序已被对方知道，即对方决策已确定且被知道，那么这就是单人决策问题。

（2）

该博弈不存在纯战略纳什均衡，具体证明及混合纳什均衡的模型见以下数学模型：

一、问题重述

“田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛马，设重金赌注，孙膑发现田忌与齐王的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能帮你取胜。”田忌相信并答应了他，与齐王用千金来赌注。比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。”三场比赛完后，田忌只有一场不胜而另两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。

现在假定齐王与田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变。

二、基本假设

1齐王与田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变；2比赛过程不会发生其他的意外情况；

3双方马的脚力每等齐王的比田忌的都略强。

三、问题分析

该问题可以看成是一个博弈问题，双方有三种马的出场顺序，不同的出场顺序产生不同结果，通过建立数学模型来分析双方以怎样的出场顺序会得到怎样的结果。

由于齐王的各等马均略强于田忌的，因此田忌只有通过合理的安排马的出场顺序才能赢得比赛。

四、模型建立

参与博弈的双方用N=（1,2）表示，1为田忌，2为齐王；

田忌：a1(1 2 3) a2(1 3 2) a3(2 1 3)

a4(2 3 1) a5(3 2 1) a6(3 1 2)

表示其六种出场顺序；

齐王：b1(1 2 3) b2(1 3 2) b3(2 1 3)

b4(2 3 1) b5(3 2 1) b6(3 1 2)

表示其六种出场顺序。

-3 -1 -1 -1 -1 1

-1 -3 -1 -1 1 -1

A= -1 1 -3 -1 -1 -1

1 -1 -1 -3 -1 -1

-1 -1 1 -1 -3 -1

-1 -1 -1 1 -1 -3

由于它是田忌赢得表中数字依次抽象出来的，所以这个矩阵A 为田忌的赢得矩阵；

相反，齐王的赢得矩阵为：-A

很明显，此时田忌赛马不存在纯纳什均衡，只存在混合纳什均衡。

对于不存在纯纳什均衡的博弈问题，可以考虑双方随机地采取行动，设田忌采取行动i 的概率为pi （i=1..6），齐王采取行动j 的概率为qi （1..6），记他们的策略集分别为

S1={p=（p1..p6）|0≤pi ≤1,∑pi =16i=1},

S2={q=（q1..q6）|0≤qi ≤1,∑qi =16i=1}

期望效用分别为：

max(p ∈s1)U1（p ，q ）=pA q T

max(q ∈s1)U1（p ，q ）= pA q T

对于此类问题，可采用线性规划求解。

五、模型计算

田忌怎样在不能控制q 的情况下使pM q T 最大，这是他要考虑的问题。因此，不过己方怎样做，他方总是采取策略使己方的赢得尽量低，所以己方在采用一定的策略时得到的赢得，总是可能得到的赢得当中最小的那个，而最优策略应该使得最小的赢得达到最大。

由此，对于田忌

max min pM

求解，其中min 是对pM 的所有元素取极小；

对于齐王

max min M q T

求解，其中min 是对M q T 的所有元素取极小；

求解田忌的LINGO运行截图

求解齐王的LINGO运行截图

由上得，最优解为p1=p2=p3=p5=0,p4=0.25,p6=0.75;

最优解为q1=q4=q6= 0,q2=q3=q5=1/3.

六、结果分析

以上结果表明，不论田忌如何改变出马的策略，其赢得赌注的概率都为1/ 4，同理，齐王的胜的概率是他的三倍。并且我们在列矩阵使，三局两胜制获胜的净胜场次计入了矩阵，可是其实无论是赢了三场还是赢了两场，都是一获胜，这样的话，如果记获胜为1 失败为0，那么就是另一种结果了，矩阵和求解方法都一样的，仅仅是记录的不同。

参考文献

数学模型（第四版）姜启源等著