偏导数与全微分

(3).全微分特征:
全微分是自变量增量的线性函数;
全微分与全增量之差是比高阶的质穷小
(Q — 0)
四.全微分与偏导数的关系
、定理1（可微的必要条件）
若函数在点可微分，则称它在该点的偏导数必 存在，且
久久
r OZ . . A
az =——Ar + ——Ay Ox dy
注：（1）.与一元函数类似： dz=—dx + — dy dx dy
（2）.此定理反之不然，这是与一元函数的区别.
例如：3 、 ~~nA2_^2 + /^O
了(x, y) = < ^x2
+/
0, x2 + = 0
£.(0,0) = /v(0,0) = 0但是函数在(0,0)不可微.
△z —［人(0,0)愆 + fy (0,0)母］=I——-------
定理2(可微的充分条件) 若函数z=f(xfy)的偏导数在点(xfy)连续,则函数在该点可微.
2Z d，x d~y~d—z
o
2, 2
2,
du 23
2
- x +y
仁
2
2
x
+y
——=y
z
sm---
zcos---
dx
z
Z
+2x y
du 3.必+^ ——=2xyz
sin3---土必++>22xy
z
cos---L,
dy
z
zI" c 22・工+) c ? / 2 2 \ X+)'
——=3xy z sm---丁—-2xy (x +y )cos---汽
△f
Av △y
dy
（如）料 (■Wo)
.———
.注：（1）.若二元函数z=f（xfy）在。内每一点都有偏导数,则此偏 \ 导数也是的函数--------偏导函数.
dz df dz df
f x，f y ? Z*，Zy，
⑵.二元函数偏导数定义可以推广到更多元
例如：u=f(xfyfz) 九（如见,&）=乎土
第二节偏导数与全微分
一.偏导数
1.偏导数的定义
定义 设z=/iM力在点 （相由部域内有定义，当y固定在 时, 得一元函数八'3。）
Inn E”5，无）=睥。,光）=|£
&TAO r
Ar
^=f（^y）在点＞o处对x的偏导数
其
（”。）
ox
必(Xo，)'o)
类似的,z=f（xfy）在点 四州规俯导数
血"（如无+明）2（如％）2«。见）=么 旦
2
=6xy
6
f= ST
2%3
—18xy
】
w乙 = 6x2y-9y2 -1
W乙
dydx
dxdy
a3z =6y 2
dx3
7三.全微分的概念
1.全增量： 设z=f(x,y)在点刃的某邻域内有定义,
△z = f(x+My+Aym,y) 增罗
2.定义： 如果Z=f(xfy)在点(xfy)的全增量
Az = f{x + Ax, + Ay) — /(x? y)可以表示为 △z =日・ Ax +J3 • Z + o(Q) 天.(&)2+(颂)2
1
注意：对于一元函数，可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例
可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系.
H
2.偏导数的几何意义
f (r 表示曲面z=f(xfy)与平面 的交线嘛点 肱。(将,小,瘤勺切线祝臀率
I
tana
<
f
表示曲面Z=f(xfy)与平面 的发线酷点
法出眼小,瘤勺切线"率
tan p
二.高阶偏导数
X
2，
X
+y
d2z _ y2 -
dydx (x2 + y2)2
-x2 _
dxdy
例6. z 二工3>2 一3母3 —xy+ ]
求竺 竺 W乙 W乙d2z dx2 ' dydx ' dxdy ' dy2 dx3
ox f =3^2,2 _3y3 _y,
— 2x3 y —9xy2 — x ©
d2z dx1
则称z=f(xfy)在点(xty)可微分
dz = A ^x + B Ay称为z=/iM力在点仅刃的全微分
注：(1).若函数在区域D内处处可微分、则称它在D内可微分.
⑵.可微分一定连续.
liin Az = liin [A • Ax + B • Ay + o(p)] = 0
AXTO AVTO △)—O Ay^O
例7.求〃 =x + sin为 龄 2
伽1 伽1 y 形 dx dy 2 2
伽月
——=ye Sz
1 y ,_
/. du = dx + (—cos— + zey')dy + yey'dz
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别 一元函数:
多元函数:
可偏导
偏导数连续
练习-- %
22
+y
$ du du du
/y — 7勺求偏导数
例2. 44 一 <,
/v(0,2) = 0
I>
《
1
du
du
W =疽(hl z)y 云=(111 Z)x
du .
昌、J 2” 2，J + yJo
例3. /(^y)=1 X +y
求
0,
j^+yZ =0
A-（o,o）人（o,o）
/ (0,0) = liin '(°+ 耸，°)—
'(°，°)= 0
dz
Z
Z
or or
2. z = xsin — + cos —,不一，---x % dy2 dxdy
f(Xo+Myo，Zo)-/OWo，Zo)
\x
（3）.由偏导数定义，一元函数的求导法则可用于求偏导数. 例如:求 凡只要将），视为常数，求北3关于x的导数
"例1.
/(x? y) = X +
+y2 求 /v(o?l) fy (0?2)
f -1— L f -1—『)’ 、7^7 ' 7^7
.••f,(0,l) = l,
例如:
注意:反之不然.
(x2 +y2)sin ― ,x2 +y2 ^0 x+y
0,
x2+y2 =0
在点(0,0)处可微，但偏导数不连续.
(证明略)
以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上
l例6.求［=隹@,1）点的全微分
兴，
dx
dz
己
dx x=2
)，=1
——-xe '7
dz
x=2
y=l
/. dz = e2dx + 2e2dy
人(0,0) =&TlOiiAnx 冲 + 颂)-f(。，。)=0
-
Ay-^O
△y
分段点处偏导 数要用定义求
例4. /(x, y) =|同+1 y |在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
liin/(%?y) = 0 = /(0?0)故在(0,0)点连续.
XTO
)—0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在.
二元函数z =f(xfy)的偏导数
仍豹娜;,的函数.
它们的偏导数称为Z=f(xfy)的二阶偏导数.
dx dx dx1 'x
£（生）=M
Jyy
=
Z
=f
方（方）_
方2
-
-
类似的定义三阶以上偏导数
X
dydx，dxdy
dz _
1
（―%二2 ）：_ —y
dx 1+0)2
X
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2
2
x +y
Sz _
1
i_
6
1 + (遇)2 x x2