2019-2020学年台州市椒江区书生中学高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)

2019-2020学年台州市椒江区书生中学高一(下)第一次月考数学试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 计算sin45°cos15°+cos45°sin15°=( )
A. −√32
B. −1
2
C. 1
2
D. √32
2. 数列：1，−1
3，1
5，−1
7⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的一个通项公式为( )
A. (−1)n
2n−1
B.
(−1)n+12n+1
C. (−1)n
2n+1
D. (−1)
n−1
2n−1
3. △ABC 中，若
，则△ABC 的形状为( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 锐角三角形
4. 已知
，则
的值为( )
A. 3
B. 1
3
C. −1
3
D. −3
5. 已知cosα=4
5，cosβ=3
5，β∈(3π
2,2π)，且0<α<β，则sin(α+β)的值为( )
A. 1
B. −1
C. −7
25
D. −1或−7
25
6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =√2，b =2，sinB +cosB =√2，则
角A 的大小为( )
A. π
2
B. π
3
C. π
4
D. π
6
7. 在△ABC 中，两直角边和斜边分别为a ，b ，c ，若a +b =cx ，试确定实数x 的取值范围( )
A. (1,√2]
B. (0,√2]
C. [√2,2)
D. [√2,√3]
8. 若tanθ=√3
sin2θ1+cos2θ
= ( )
A. 1
B. √3
C. √33
D. −√33
9. 在△ABC 中，若A =60°，a =√6，b =2，则B =( )
A. 45°或135°
B. 30°
C. 135°
D. 45°
10. 已知函数f(x)=√3sin2x +cos2x ，且−π
6≤x ≤m +4
m−1+π
2−5(m >1)恒成立，则f(x)的值
域为( )
A. [√3,2]
B. [1,√3]
C. [1,2]
D. [−1,2]
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.已知函数f(x)=cos(2x+π
3
)+sin2x，则f(x)的最小正周期为______．
12.已知S为{a n}的前n项和，a1=0，若a a+1=[1+(−1)n]a n+(−2)n，则S100=________
13.已知函数f(x)=2sin(x+π
3)，x∈[0,π
3
]，则f(x)的值域是________．
14.已知平面向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗+2b⃗ |=√3，则√3|b⃗ |+|a⃗+b⃗ |的最大值为______________．
15.sin400(tan100−√3)的值为_______．
16.某登山队在三脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进
1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC是________m．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）
17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若角A、B、C成等差数列，且b=1，求△ABC
面积的最大值．
18.已知α∈(0,π
2),sin(π
4
−α)=√10
10
(1)求tan2α的值；
(2)求sin(α+π4)
sin2α+cos2α+1
的值．
19.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若a=√7，b=1，求△ABC的面积．
20.如图，小岛A的周围3.8海里内有暗礁．一艘渔船从B地出发由西向东航行，观测到小岛A在北
偏东75°，继续航行8海里到达C处，观测到小岛A在北偏东60°.若此船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？
21.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
]时，求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合．
(2)当x∈[0,π
2
22.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.己知，ac=2(b2+c2−a2)．
(1)求角A的大小；
]上有零点，求m的取值范围．
(2)若f(x)=√3sin(2x−A)−1−m在[0,π
2
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin(45°+15°)=sin60°=√3
2，
故选D ．
利用两角和与差的正弦公式求得答案．
本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式．属基础题．
2.答案：D
解析：
本题主要考查了通过观察求数列的通项公式，考查了推理能力，属于基础题．
由数列：1，−1
3，1
5，−1
7，….可知：奇数项的符号为“+”，偶数项的符号为“−”，每项的绝对值为1
2n−1.即可得出．
解：由数列：1，−1
3，1
5，−1
7，….，
可知：奇数项的符号为“+”，偶数项的符号为“−”，每项的绝对值为1
2n−1． ∴数列：1，−1
3，1
5，−1
7，…的一个通项公式是a n =(−1)n−11
2n−1=(−1)n−12n−1
．
故选D ．
3.答案：B
解析：
根据余弦定理判断三角形的形状即可得结果． 解：由
得c =2a ×
a 2+c 2−
b 2
2ac
，
即a 2=b 2，所以a =b ， 所以△ABC 的形状为等腰三角形 故选B ．
解析：
本题考查两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题． 由β=α−(α−β)，利用两角差的正切公式即可求解． 解：tanβ=tan [α−(α−β)]=tanα−tan (α−β)
1+tanαtan (α−β) =1−2
1+1×2=−1
3， 故选C ．
5.答案：C
解析：解：∵cosα=4
5，cosβ=3
5，β∈(3π
2,2π)，且0<α<β， ∴sinβ=−√1−cos 2β=−4
5，α为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=3
5， 则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=35⋅3
5+4
5⋅(−4
5)=−7
25， 故选：C ．
利用同角三角函数的基本关系求得sinβ和sinα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(α+β)的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于基础题．
6.答案：D
解析：解：∵sinB +cosB =√2， ∴√2sin(B +π
4)=√2
∴sin(B +π
4)=1
∵B 是△ABC 的内角，∴B =π
4 ∵a =√2，b =2， ∴√2
sinA =
2sin π
4
∴sinA =1
2 ∵a <b ，∴A =π
6
根据sinB+cosB=√2，利用辅助角公式，可求B的值，根据a=√2，b=2，利用正弦定理，即可求得A的值．
本题考查正弦定理的运用，考查辅助角公式的运用，解题的关键是正确运用正弦定理．
7.答案：A
解析：
由a+b=cx得，x=a+b
c ，由正弦定理得a+b
c
=√2sin(A+45°)，由此能确定实数x的取值范围．本
题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、三角函数性质的合理运用．
解：由a+b=cx得，x=a+b
c
，
由题意得在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，
由正弦定理得：a+b
c =sinA+sinB
sinC
=sinA+sin(90°−A)
sin90°
=sinA+cosA=√2sin(A+45°)，
由A∈(0,90°)得，A+45°∈(45°,135°)，
所以sin(A+45°)∈(√2
2
,1]，
即√2sin(A+45°)∈(1,√2]，
∴a+b
c
∈(1,√2]，
∴x=a+b
c
∈(1,√2].
故选A．
8.答案：B
解析：
本题考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的运用，属于基础题．
解：sin2θ
1+cos2θ=2sinθcosθ
2cos2θ
=tanθ=√3．
故选B．
9.答案：D
解析：
本题考查正弦定理的应用，是基本知识的考查，属于基础题．直接利用正弦定理，求解即可．
解：在△ABC中，若A=60°，a=√6，b=2，
由正弦定理可得sinB=bsinA
a =2×
√3
2
√6
=√2
2
，
∵a>b，∴A>B，
可得B=45°．
故选：D．
10.答案：D
解析：解：∵f(x)=√3sin2x+cos2x，∴f(x)=2sin(2x+π
6
)，
∵−π
6≤x≤m+4
m−1
+π
2
−5(m>1)恒成立，
∴−π
6≤x≤2√(m−1)4
m−1
+π
2
−4=π
2
≤m+4
m−1
+π
2
−5，可解得−π
6
≤x≤π
2
．
∴−
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
∴−1
2≤sin(2x+π
6
)≤1，可解得f(x)的值域为[−1,2]．
故选：D．
先求函数解析式，化简已知可得−π
6≤x≤π
2
，从而可求2x+π
6
的范围，即可求出f(x)的值域．
本题主要考察了两角和与差的正弦函数，正弦函数的图象和性质，属于一般题．
11.答案：π
解析：
本题考查三角函数的周期性，由三角函数公式化简已知函数，然后由周期公式可得答案．
解：函数f(x)=cos(2x+π
3
)+sin2x
=1
2
cos2x−
√3
2
sin2x+
1
2
(1−cos2x)
=1
2−√3
2
sin2x，
故函数的最小正周期为T=2π
2
=π．
故答案为π．
12.答案：2−2101
3
解析：
本题考查数列的递推关系及数列求和，根据递推关系分n为奇数和n为偶数，求出通项，即可求和，属中档题．
解：当n为奇数时，a n+1=(−2)n，
则a2=(−2)1,a4=(−2)3,⋯,a100=(−2)99，
当n为偶数时，a n+1=2a n+(−2)n=2a n+2n，
则a3=2a2+22=0，同理，a5=0，⋯，a99=0，
因为a1=0，
所以S100=a2+a4+⋯+a100+0=(−2)1+(−2)3+⋯+(−2)99
=−2×(1−450)
1−4=2−2101
3
．
故答案为2−2101
3
．
13.答案：[√3,2]
解析：
本题主要考查了正弦函数的性质，属于基础题．
根据x的范围求得的范围，再根据正弦函数的定义域和值域求得该函数的值域．
解：，∴x+π
3∈[π
3
,2π
3
]，
故当或时，函数取得最小值，为√3，当时，函数取得最大值，为2，
故函数的值域为[√3,2]．
故答案为[√3,2]．
14.答案：2√3
解析：
本题考查向量的模的最大值的求法，考查向量的数量积，三角函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
推导出(a⃗+2b⃗ )2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=3+4√3|b⃗ |cosθ+4b⃗ 2=3，从而4√3|b⃗ |cosθ+4b⃗ 2=0，由此能求出√3|b⃗ |+|a⃗+b⃗ |的最大值．
解：∵非零向量a⃗，b⃗ ，满足|a⃗|=|a⃗+2b⃗ |=√3，
∴(a⃗+2b⃗ )2=a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=3+4√3|b⃗ |cosθ+4b⃗ 2=3，
∴4√3|b⃗ |cosθ+4b⃗ 2=0，
∴|b⃗ |=−√3cosθ，θ为向量量a⃗,b⃗ 的夹角，
∴|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗·b⃗ =3−3cos2θ=3sin2θ，
∴|a⃗+b⃗ |=√3sinθ，
，
∴当即时，√3|b⃗ |+|a⃗+b⃗ |的最大值为2√3．
故答案为2√3．
15.答案：−1
解析：
本题考查同角关系式及诱导公式，同时考查二倍角公式及辅助角公式，利用同角关系式，切化弦，然后结合辅助角公式及二倍角公式即可求解．
解：sin400(tan100−√3)=sin400×sin100−√3cos100
cos100
=sin400×2sin(100−600)
cos100
=−
2sin400cos400
cos100
=−sin800
cos100
=−1．
故答案为−1．
16.答案：500(√3+1)
解析：
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题的应用，根据已知得出FC，BF的长是解题关键．
过点D作DE⊥AC，△ACB是等腰直角三角形，直角△ADE中满足解直角三角形的条件．在直角△BDF中，根据三角函数可得BF，进一步得到BC，即可求出山高．
解：过D分别作DE⊥AC与E，DF⊥BC于F．
∵在Rt△ADE中，AD=1000m，∠DAE=30°，
AD=500m．
∴DE=1
2
∵∠BAC=45°，
∴∠DAB=45°−30°=15°，∠ABC=90°−45°=45°．
∵在Rt△BDF中，∠BDF=60°，
∴∠DBF=90°−60°=30°，
∴∠DBA=45°−30°=15°，
∵∠DAB=15°，
∴∠DBA=∠DAB，
∴BD=AD=1000m，
∴在Rt△BDF中，BF=√3
BD=500√3m，
2
∴山的高度BC为500(√3+1)m.
故答案为500(√3+1)．
17.答案：解：∵A、B、C成等差数列，A+B+C=π
∴2B=A+C，即B=π
，
3
∵b=1，cosB=1
，
2
∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB得：a2+c2−ac=1，整理得：1=a2+c2−ac≥ac，
∴S△ABC=1
2acsinB≤√3
4
，当且仅当a=c时最大值，
则△ABC面积的最大值为√3
4
．
解析：由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，由余弦定理列出关系式，把b=1，cos B的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形ABC的面积．
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及等差数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
18.答案：解：(1)∵α∈(0,π
2),sin(π
4
−α)=√10
10
，
∴π
4−α∈(−π
4
,π
4
)，可得：cos(π
4
−α)=√1−sin2(π
4
−α)=3√10
10
，
∴cosα=cos(π
4−α−π
4
)=cos(π
4
−α)cosπ
4
+sin(π
4
−α)sinπ
4
=3√10
10
×√2
2
+√10
10
×√2
2
=2√5
5
，
∴sinα=√1−cos2α=√5
5
，
∴tanα=sinα
cosα=1
2
，tan2α=2tanα
1−tan2α
=4
5
．
(2)sin(α+π4 )
sin2α+cos2α+1=
√2
2
(sinα+cosα)
2sinαcosα+2cos2α
=√2
4cosα
=√2
4×2√5
5
=√10
8
．
解析：(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos(π
4
−α)的值，利用两角差的余弦函数公式可求cosα，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα的值，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．
(2)利用两角和的正弦函数公式，二倍角公式化简所求即可计算得解．
本题考查同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角的正切函数公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.答案：解：(1)因为，
所以由正弦定理得，
又sinC≠0，
所以，
所以，
即．
因为，所以，
所以；
(2)因为a=√7，b=1，
所以由余弦定理得，
即7=c2+1−c，所以c=3，
所以△ABC的面积．
解析：本题主要考查正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
(1)利用正弦定理化简已知条件，即可得答案；
(2)利用余弦定理整理可求c的值，利用面积公式得答案．
20.答案：解：在△ABC中，B=90°−75°=15°，C=90°+60°=150°，所以A=15°，
又已知BC=8，所以AC=8，
过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在直角三角形ACD中，AD=ACsin30°=4>3.8
所以此船继续前行没有触礁的危险．
解析：先求出A=15°，AC=8，再求出AD，与3.8比较，即可得出结论．
本题主要考查解三角形，直角三角形中的边角关系，属于中档题．
21.答案：解：f(x)=1+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+√2sin(2x+π
4
)
(1)由T=2π
ω=2π
2
=π得f(x)的最小正周期为π．
(2)当x∈[0,π
2]，2x+π
4
∈[π
4
,5π
4
]，由2x+π
4
=π
2
，得x=π
8
．
所以当x=π
8∈[0,π
2
]时，sin(2x+π
4
)取得最大值1，
此时f(x)取得最大值2+√2，取得最大值时x的集合为{π
8
}．
解析：本题考查两角和差的三角函数，三角函数的周期的求法，求三角函数的值域，求三角函数的值域是解题的难点
．
(1)利用两角和差的三角函数化简函数，得到f(x)=1+√2sin(2x+π
4)，由T=2π
ω
求得周期．
(2)当x∈[0,π
2]时，求出2x+π
4
的范围，进而得到sin(2x+π
4
)的范围，从而得到函数f(x)的范围，
从而求得函数f(x)的最大值．
22.答案：解：(1)∵asinA=4bsinB，∴a2=4b2，
∴a=2b，
∵ac=2(b2+c2−a2)，
∴b2+c2−a2=bc，
∴cosA=b2+c2−a2
2bc =1
2
，
∵A∈(0,π)，∴A=π
3
；
(2)由已知f(x)=√3sin(2x−π
3)−1−m在[0,π
2
]上零点，
即√3sin(2x−π
3)−1=m在[0,π
2
]上有交点，
∵0⩽x⩽π
2
，
∴−π
3⩽2x−π
3
⩽2π
3
，
∴−5
2≤√3sin(2x−π
3
)−1≤√3−1，
∴m∈[−5
2
,√3−1]．
解析：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查函数零点问题，注意运用数形结合的思想做题，属中档题．
(1)利用正余弦定理得出关系式求出cos A，得到A；
]上有零点时m的取值范围．(2)利用正弦函数的性质得出f(x)在[0,π
2。