山东大学《高等数学》期末复习参考题 (9)

(
)
3、设 u = x − 2bxy + cy ，
2 2
∂u ∂x
( 2 ,1)
= 6,
∂u ∂y
( 2 ,1)
= 0 ，则
(D) －2
∂ 2u =( ∂y 2
)
(A) 4
(B) －4
(C) 2
4、设Ω 1 ,Ω 2 是空间有界闭区域，Ω 3 =Ω 1 ∪Ω 2 ,Ω 4 =Ω 1 ∩Ω 2 ，f(x,y,z)在Ω 3 上可积，则 的充要条件是( (A) f(x,y,z)在Ω 4 上是奇函数 (C) Ω 4 =∅空集 5、设 f(x,y)是连续函数，则二次积分 (B) f(x,y,z)≡0, (D)
, z 3 ( 2) = 4
( 0 ≤ x ≤ 2)
z3 ′ = 2 x ≥ 0 z 3 (0) = 0
2
在边界 y = 2 上， z 4 = x − 4 x + 4
z4 ′ = 2x − 4 ≤ 0
, z 4 (0) = 4
, z 4 ( 2) = 0
（8 分）
比较后可知，函数 z 在点 (11 , ) = −1 , ) 处取最小值 z (11 在点 ( 0,2),( 2,0) 处取最大值 z ( 0,2) = z ( 2,0) = 4 。 （10 分）
ln x +
1 x
7、设 u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1. I= (A) I>0 I=0 a,b,c 为常数，则( )
(C)
(B) I<0 (D) I 的符号由 a,b,c 确定 )
8、函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处具有偏导数是它在该点存在全微分的( (A)必要而非充分条件； (C)充分必要条件； 9、设 (B)充分而非必要条件； (D)既非充分又非必要条件。 ，则 I 满足( )
四、证明题（共 2 小题，20 分）
1、证明： （5 分） （10 分）
2、证明：由 其中 x 0 =
f x = 2 Ax + 2 By + 2 D = 0 ，得驻点 P ( x 0 , y 0 ) = + + = 2 2 0 2 Bx Cy E f y
（4 分）
BE − CD BD − AE , y0 = 2 AC − B AC − B 2
（3 分）
2
, ) = −1 z (11
在边界 x = 0 上， z1 = 2 y − 2 y
( 0 ≤ y ≤ 2)
1 2
z1 ′ = 4 y − 2 = 0 ，得驻点 y =
z1 (0) = 0
, z1 (2) = 4
2
1 1 , z1 = − 2 2
( 0 ≤ y ≤ 2)
y
y
f ( x, y, )dx 交 换 积 分 次 序 后 为
______________. 5、设平面薄片占有平面区域 D，其上点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，如果μ(x,y)在 D 上 连续，则薄片的质量 m=__________________.
二、选择题（共 10 小题，40 分）
1、设 z = xye
《数学分析 III》期末试卷 09 答案与评分标准
一、填空题（共 5 小题，20 分）
1、
2、
1 2 2 3e 5
f(x,y)dy.
3、 −
4、 5、
dx
μ(x,y)dσ(或
μ(x,y)dxdy).
二、选择题（共 10 小题，40 分）
DABDC CCAAB . （3 分）
三、计算题（共 3 小题，20 分）
− xy
，则 z x ( x ,− x ) = （
'
x2 2
）
x2
(A) −2 x (1 + x ) e
2
(B) 2 x (1 − x ) e (D) − x (1 + x ) e
2 x2
(C) − x (1 − x ) e
2
x2
2、设曲线C是由极坐标方程r=r(θ)(θ 1 ≤θ≤θ 2 )给出，则
山东大学《数学分析 III》期末复习参考题
题 得 号 分 一 二 三 四 总 分
一、填空题（共 5 小题，20 分）
1、设f(x)在[0,4]上连续，且D：x2+y2≤4 则 的二次积分为_____________. 2、函数 z = arcsin xy 在点（1， 3、函数 z =
∫∫ f (x
D
在边界 x = 2 上， z 2 = 2 y − 6 y + 4
z2 ′ = 4 y − 6 = 0 ，得驻点 y =
3 2
（6 分）
z 2 (0) = 4
, z 2 ( 2) = 0
2
1 3 , z2 = − 2 2
在边界 y = 0 上， z 3 = x
( 0 ≤ x ≤ 2)
Ω4
)
∫∫∫ f (x, y, z )dv = 0
(x,y,z)∈Ω 4
(
)
6、设 z = x (A) y x
x y x −1
yx
则
∂z =( ∂x
) (B) y ln x ln y + x
x

1
(C) y x
x
yx
ln x ln y +
1 x
(D) y x
x
yx
2
+ y 2 dxdy 在极坐标系下先对r积分
)
1 ）沿 x 轴正向的方向导数是_____________. 3
xe y 在点（2，1）沿 a = {1,2} 方向的方向导数是_____________. 2 y
4 、 设 f(x,y) 是 连 续 函 数 ， 则 二 次 积 分
∫ dy ∫
0
1
10、设 C 为分段光滑的任意闭曲线，ϕ(x)及ψ(y)为连续函数，则 的值( ) (A)与 C 有关 (C)与ϕ(x)、ψ(x)形式有关
(B)等于 0 (D)2π
三、计算题（共 3 小题，20 分）
1、设a为常矢量，r为矢径(r=xi+yj+zk),r=|r|.求：(1) div(ra). (2) div(r3a). 2、 计算曲线积分 至点 B(2，0)的上半椭圆。 3、 求函数 z = x − 2 xy + 2 y − 2 y 在闭域 D:0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2 上的最小值和最大值。
（10 分）
（5 分）
∫e
L
x
sin y d x + e x cos y d y
=
∫ d(e
L
x
sin y )
( 3, 0 ) ( 0, 0 )
= (e x sin y )
=0
（10 分）
3、解Leabharlann Baidu由 且
z x = 2x − 2 y = 0 ，得 D 内驻点（1，1） z y = −2 x + 4 y − 2 = 0
2 2
， 式中 L 是从 O(0， 0)沿曲线
四、证明题（共 2 小题，20 分）
1、试验证：
2 2
其中 P 为任意一条有向的光滑封闭曲线。
2
2 、设 f ( x , y ) = Ax + 2 Bxy + Cy + 2 Dx + 2 Ey + F ，且 A > 0, B − AC < 0 ，证 明存在一点 ( x 0 , y 0 ) ，使得 f ( x 0 , y 0 ) 为极小值。
1、解：diva=0.gradr=
(1). div(ra)=rdiva+gradr·a = ·a （6 分）
(2). div(r3a)=r3diva+gradr3·a =0+3r2gradr·a =3rr·a 2、解： P = e x sin y ， Q = e x cos y 。
∂Q ∂P ，故原积分与路径无关。 = e x cos y = ∂y ∂x
f xx f yx f xy 2 A 2B = f yy 2 B 2C
D=
D( P) = 4( AC − B 2 ) > 0
, f xx ( P) = 2 A > 0
（8 分） （10 分）
故函数 f ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 处取极小值 f ( x 0 , y 0 ) 。