韦达定理在解析几何中的应用1

韦达定理在解析几何中的应用

一、 基本应用 直线与圆锥曲线相交相关的弦长、弦的中点、垂直等问题 例1、椭圆122=+by ax 与直线01=-+y x 相交于A 、B ，点C 是AB 的中点，

若22=AB ，OC 的斜率为

2

2

，求椭圆的方程。 （. 答案：3222=+y x ） 例2、已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率2

3

=

e ；直线l ：01=++y x 与椭圆E 交于Q P ，两点，且OQ OP ⊥，求椭圆E 的方程。（答案：15

8522

2=+y x ） 例3．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上。

（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积； （2）求证：直线AB 经过一个定点，求出该定点的坐标； （3）过定点(,0)M p 任作抛物线的一弦PQ ，求证：2

2

11MP

MQ

+

为定值。

[例3变式训练]

求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程

答案：（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB 过定点()2,0p ；（3）

21

p

。 设直线:PQ x my p =+，由22x my p

y px

=+⎧⎨=⎩消去x 有：22220y pmy p --=，所以

1221222y y pm y y p

+=⎧⎨=-⎩，MP

=1

y ，MQ

=2y ， 22122222222

2212121

1

111

(1)(1)1y y m y m y m y y MP MQ ++=+=⋅+++ 222121222222212()211(2)2(2)1

1()1(2)y y y y pm p m y y m p p +---=⋅=⋅=++-

二、综合应用 直线与椭圆相交问题：同一条直线上的线段之比问题、三角形及四边形面积问题、三点共线、定值定直线等问题

4．如图，已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为平 面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且

QP QF FP FQ ⋅=⋅ 。

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于,A B 两点，

交直线l 于点M ，已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=

， 求12λλ+的值。

例4．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1

)Q y -，，由QP QF FP FQ ⋅=⋅

得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +⋅-=-⋅-，，，，，化简得2:4C y x =。 （Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠，

设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛

⎫--

⎪⎝⎭

，， 联立方程组2

41y x x my ⎧=⎨=+⎩

，

，，消去x 得：

2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故

1212

44y y m y y +=⎧⎨

=-⎩，．由1MA AF λ=

，2MB BF λ= 得： 1112y y m λ+=-，2222

y y m

λ+=-，

整理得：1121my λ=--，222

1my λ=--，

12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--

+ ⎪⎝⎭12

12

22y y m y y +=--⋅

2424m m =--⋅-0=。 例5．如图，已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左

右焦点分别为

12,F F ,A 、B 、C 是椭圆上的三个动点，

且

e =

。 111222,AF F B AF F C λλ==

，若已知椭圆的离心率

（1）求12λλ+的值；

（2）求△ABC 与△12AF F 的面积之比的最小值。 解：（Ⅰ）由e =

2

2

，得a =，c b =，则椭圆方程为

2222

1,2x y c c +=即 222

22x y c +=， 直线AB 、AC 中至少有一条存在斜率，不妨设直线AB 的斜率存在，

直线AB 的方程为00()y y x c x c =++⇒()00

x c y x c y +=-

代入椭圆方程有22

0000(32)2()0c x y y x c y cy +-+-=

由韦达定理得：2

010

32cy y y c x =-+，∴01032cy y c x =-

+ 所以100

11132AF y c x F B y c

λ+===

- ①若AC 斜率存在，同理可得0232c x c λ-=，则00

12

32326c x c x c c

λλ+-+=+= ②若AC 斜率不存在，AC x ⊥轴，0x c =，21λ=，此时直线AB 的斜率存在，

0132325c x c c

c c

λ++=

==，则12156λλ+=+=，综上所述126λλ+= （Ⅱ）12ABC AF F S S ∆∆=121

sin 21sin 2AB AC A AF AF A ⋅⋅⋅⋅112212AF F B AF F C AF AF ++=⋅ 121111λλ⎛⎫⎛⎫

=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

12121111λλλλ+++

=12121211λλλλλλ+++1271λλ=+