韦达定理在解析几何中的应用1

韦达定理在解析几何中的应用一、 基本应用 直线与圆锥曲线相交相关的弦长、弦的中点、垂直等问题 例1、椭圆122=+by ax 与直线01=-+y x 相交于A 、B ，点C 是AB 的中点，若22=AB ，OC 的斜率为22，求椭圆的方程。

（. 答案：3222=+y x ） 例2、已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率23=e ；直线l ：01=++y x 与椭圆E 交于Q P ，两点，且OQ OP ⊥，求椭圆E 的方程。

（答案：1585222=+y x ） 例3．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上。

（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积； （2）求证：直线AB 经过一个定点，求出该定点的坐标； （3）过定点(,0)M p 任作抛物线的一弦PQ ，求证：2211MPMQ+为定值。

[例3变式训练]求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程答案：（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB 过定点()2,0p ；（3）21p。

设直线:PQ x my p =+，由22x my py px=+⎧⎨=⎩消去x 有：22220y pmy p --=，所以1221222y y pm y y p+=⎧⎨=-⎩，MP=1y ，MQ=2y ， 2212222222222121211111(1)(1)1y y m y m y m y y MP MQ ++=+=⋅+++ 222121222222212()211(2)2(2)11()1(2)y y y y pm p m y y m p p +---=⋅=⋅=++-二、综合应用 直线与椭圆相交问题：同一条直线上的线段之比问题、三角形及四边形面积问题、三点共线、定值定直线等问题4．如图，已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为平 面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅ 。

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于,A B 两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=， 求12λλ+的值。

例4．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ ⋅=⋅得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +⋅-=-⋅-，，，，，化简得2:4C y x =。

（Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠，设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫--⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由1MA AF λ=，2MB BF λ= 得： 1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--，12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--⋅2424m m =--⋅-0=。

例5．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,A 、B 、C 是椭圆上的三个动点，且e =。

111222,AF F B AF F C λλ==，若已知椭圆的离心率（1）求12λλ+的值；（2）求△ABC 与△12AF F 的面积之比的最小值。

解：（Ⅰ）由e =22，得a =，c b =，则椭圆方程为22221,2x y c c +=即 22222x y c +=， 直线AB 、AC 中至少有一条存在斜率，不妨设直线AB 的斜率存在，直线AB 的方程为00()y y x c x c =++⇒()00x c y x c y +=-代入椭圆方程有220000(32)2()0c x y y x c y cy +-+-=由韦达定理得：201032cy y y c x =-+，∴01032cy y c x =-+ 所以10011132AF y c x F B y cλ+===- ①若AC 斜率存在，同理可得0232c x c λ-=，则001232326c x c x c cλλ+-+=+= ②若AC 斜率不存在，AC x ⊥轴，0x c =，21λ=，此时直线AB 的斜率存在，0132325c x c cc cλ++===，则12156λλ+=+=，综上所述126λλ+= （Ⅱ）12ABC AF F S S ∆∆=121sin 21sin 2AB AC A AF AF A ⋅⋅⋅⋅112212AF F B AF F C AF AF ++=⋅ 121111λλ⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121111λλλλ+++=12121211λλλλλλ+++1271λλ=+≥212712λλ++⎛⎫ ⎪⎝⎭=2713+=169，当且仅当 123λλ== 时取等号。

所以ABC ∆与12AF F ∆面积之比的最小值为169。

例6．如图，设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为 焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的一个交点为P 。

（Ⅰ）当1m =时，求椭圆的方程及其右准 线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l 经过椭圆 2C 的右焦点2F ，与抛物线1C 交于12A A 、，如 果以线段12A A 为直径作圆，试判断点P 与圆 的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）是否存在实数m ，使得12PF F ∆的边 长是连续的自然数，若存在，求出这样的实 数m ；若不存在，请说明理由。

解：（Ⅰ）设椭圆长半轴为a ，半焦距为c ，当1m =时，1(1,0)F -，2(1,0)F ，∵11,2c e ==， ∴2222,3a b a c ==-=，故椭圆方程为22143x y +=，右准线方程为4x=。

（Ⅱ）依题意设直线l 的方程为：1x ky =+，k ∈R联立2224143y xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得点P的坐标为2(3P .将1x ky =+代入24y x =得2440y ky --=. 设111222(,),(,)A x y A x y ，由韦达定理得12124,4y y k y y +==-。

又11122222(,(,33PA x y PA x y =-=-,2121212121224(2524242())3999k PA PA x x x x y y y y -∴⋅=-+++++==-， 因为k R ∈，于是12PA PA ⋅的值可能小于零,等于零,大于零,即点P 可在圆内, 圆上或圆外。

（Ⅲ）假设存在满足条件的实数m ，由题设有12,2,2c m a m F F m ===.又设1122,PF r PF r ==，有1224r r a m +==，设00(,)P x y ，对于抛物线1C ，20r x m =+； 对于椭圆2C ，22012r e ax c==-，即201(4)2r m x =-.由001(4)2x m m x +=- 解得023x m =,∴253r m =, 从而 173r m =.因此，三角形12PF F 的边长分别是567,,333m m m所以3m =时，能使三角形12PF F 的边长是连续的自然数。

例7．曲线C 是中心在原点，焦点为F0）的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是12y x =。

（1）求曲线C 的方程；（2）已知点E （2，0），若直线l 与曲线C 交于异于点E 的P 、R 两点，且0EP ER ⋅=。

求证：直线l 过一个定点，并求出定点的坐标。

【解析】（1）设C ：22221(,0,0)x y x a a b a b-=≥>>，则22222,2,1,:1(0)541a b x y a b C x a b =⎧∴==∴-=>⎨+=⎩。

..........................................5分 （2）即0EP ER ⋅=对k R k ∈或不存在时均恒成立。

由于是存在性问题，可先由特殊情形探路。

ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，x 1=x 2，y 1=-y 2，222211111(-2)--44-0EP ER x y x x y ∴⋅==+=。

又221112101(0),==.413x y x x x -=>∴（此时可猜想直线l 过定点10(,0)3）ⅱ）当直线l 不垂直于x 轴时，设11222:,(,),(,)l y kx m P x y R x y =+。

2222211221212221212121222221212(14)8(44)0.1(0)41844140,0,0.1414(2)(2)(2)(2)()()4(1)(2)()4(1)y kx m k x kmx m x y x km m k x x x x k k EP ER x x y y x x kx m kx m m k x x km x x m k =+⎧⎪⇒---+=⎨-=>⎪⎩+∴-≠+=>=->--∴⋅=--+=--+++=++-+++=-+⋅22248(2)401414kmkm m k k++-++=--化简得：22316200m km k ++=对k R ∈恒成立。

10(310)(2)0,2.3km k m k m m k ∴++=∴=-=-或 若2m k =-，则直线l ：2(2)y kx k k x =-=-，此直线过定点（2，0），与已知矛盾，故舍去。

当103k m =-时，则直线l ：1010()33k y kx k x =-=-，此直线过定点10(,0)3。

当直线l 垂直于x 轴时，此直线也过定点10(,0)3。

综上：直线也过定点10(,0)3。

......................................................................14分例8．已知过椭圆C : ()222210x y a b a b+=>>右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆 C 于A, B 两点，N 为弦 AB 的中点；又函数sin 3cos y a x b x =+图象的一条对称轴的方程是6x π=.（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率 e 与直线ON 的斜率；（Ⅱ）对于任意一点 M ∈C ，试证：总存在角()R θθ∈使等式：cos sin OM OA OB θθ=+成立.【解析】（Ⅰ）因为函数sin 3cos y a x b x =+图象的一条对称轴的方程是6x π=.所以对任意的实数x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取6x π=得, ()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭,整理得a =.于是椭圆C的离心率3c e a a =====由a =知椭圆C 的方程可化为()222331x y b +=又椭圆C 的右焦点F为),0,直线AB的方程为()2y x =(2)代入(1)展开整理得()22303x b -+=…………4分设()()1122,,,A x y B x y ,弦 AB 的中点()00,N x y ,则12,x x 是方程(3) 的两个不等的实数根，由韦达定理得()212123,424x x x x b +=⋅=所以12000,.2x x x y x +==== 于是直线ON 的斜率001.3ON y k x ==-………………6分 （Ⅱ）OA 与OB 是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM,有且只有一对实数λ,μ,使得等式OM OA OB λμ=+成立. 设 M ( x , y) ,由 1) 中各点的坐标可得()()()11221212,,,,x y x y x y x x x y y y λμλμλμ=+∴=+=+又M ∈C ，代入（1）式得()()222121233x x y y b λμλμ+++=，展开整理为： ()()()()222222211221212332335x y x y x x y y b λμλμ+++++=由（2）和（4）得()()()21212121211222233463960x x y y x x x x x x x x b b b b +=+=-++=-+=又A ，B 两点在椭圆上，故有222222112233,33x y b x y b +=+=代入（5）式化简得221λμ+=……………………………………10分根据圆的参数方程可知，总存在角()R θθ∈使等式cos sin λθμθ=⎧⎨=⎩成立，即cos sin OM OA OB θθ=+成立。