3-1向量组的线性相关性

b k 1 a 1 k m a m • 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是:
向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示. • 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式.
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例4 判断向量 b1(4,3,1,11)与 b2(4,3,0,11)是否为 向量组 a1(1,2,1,5),a2(2,1,1,1)的线性组合. 若是, 写出表示式.
的线性相关性. 解2 设方阵 A(a1T,a2 T,a3 T),则
1 1a |A|1 a 1(a1)(4a)
1 1 2
当 a 1, 4 时, | A| 0, a1,a2,a3 线性无关;
当 a 1 或 a 4 时, | A| 0, a1,a2,a3线性相关.
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例6 设向量组 a1, a2, a3 线性无关,
❖ 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1,…, am 线性表示, 则向量组 b, a1,…, am 线性相关.
• 当 a1,…, am 线性相关时, 表示式不唯一; • 当 a1,…, am 线性无关时, 表示式唯一. (2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关.
(3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.
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❖ 线性相关性
设有向量组 a1, ,am, 如果存在一组不全为零的数 k1, ,km,使
k 1 a 1 k m a m 0
那么称 a1, ,am线性相关. 否则, 称 a1, ,am线性无关.
• a1,…,am 线性无关, 也即向量方程 x 1 a 1 x m a m 0
因 a1, a2, a3 线性无关, 故有
1 1 0
x1 x2 x1 2x2 x3
0 0
(2)
• 方阵 A 的列向量组线性相关的充要条件为 | A| 0.
• 齐次线性方程组的基础解系线性无关. >>>
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例5 讨论向量组
a1(1,1,1), a2(1,a,1), a3(a,1,2) 的线性相关性.
解1 设方阵 A(a1T,a2 T,a3 T),化 A 为行阶梯形:
1 1 a 1 1 a A 1 a 1 0 a 1 a 1
只有零解.
❖ 定理1
设矩阵 A(a1, ,am ),则向量组 a1, ,am线性无关 的充分必要条件是 R(A) m.
提示: m 元齐次线性方程组 Ax 0 只有零解的充分必 要条件是 R(A) m.
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❖ 线性相关性
设有向量组 a1, ,am, 如果存在一组不全为零的数 k1, ,km,使
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❖ 线性组合 给定向量组 a1,…,am, 对任一数组 k1,…,km, 称向量
b k 1 a 1 k m a m 为向量组 a1,…,am 的一个线性组合, 称 k1,…,km 为这个 线性组合的[表示]系数. 并称 b 可由 a1,…,am 线性表示. 例3 设矩阵 A (a1,…, am), 线性方程组 Ax b 有一组 解 xi ki (i 1,…, m), 也即
1
1 0
(a1T,a2T)xb1T的解为 x12,x21. 因此 b12a1a2.
(a1T,a2T)xb2T无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示.
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三、向量组的线性相关性
若线性方程组 Ax b 有无穷多解, 则向量 b 可用 矩阵 A 的列向量组的无穷多个线性组合来线性表示.
设向量 b 有两个线性表示式
b h 1 a 1 h m a m 和 b l1 a 1 lm a m
则有
( h 1 l 1 ) a 1 ( h m l m ) a m 0
b 的两个表示式不同, 也即存在一组不全为零的数
k 1 h 1 l 1 , ,k m h m l m
使成立
k 1 a 1 k m a m 0
那么称 a1, ,am线性相关. 否则, 称 a1, ,am线性无关.
• a1,…,am 线性无关, 也即向量方程 x 1 a 1 x m a m 0
只有零解.
❖ 定理1
设矩阵 A(a1, ,am ),则向量组 a1, ,am线性无关 的充分必要条件是 R(A) m.
b 1a 1a22 a3,b 2 a 1 2 a 2 2 a 3 ,b3a23a3,
试证向量组 b1, b2, b3 也线性无关.
证1 设存在一组数 x1, x2, x3, 使
x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 b 3 0(1)
将 b1, b2, b3 的表示式代入, 并整理得
( x 1 x 2 ) a 1 ( x 1 2 x 2 x 3 ) a 2 ( 2 x 1 2 x 2 3 x 3 ) a 3 0
1 1 2 0 2 2 a
1 1 a 1 1
a
0 0
2 a1
2 a
a100
2 0
12(a21)(a4a)
当 a 1, 4 时, R(A) 3, a1,a2,a3 线性无关;
当 a 1 或 a 4 时, R(A) 2, a1,a2,a3线性相关.
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例5 讨论向量组 a1(1,1,1), a2(1,a,1), a3(a,1,2)
k 1 a 1 k m a m 0
• 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是:
向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示.
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❖ 线性相关性
设有向量组 a1, ,am, 如果存在一组不全为零的数 k1, ,km,使
k 1 a 1 k m a m 0
那么称 a1, ,am线性相关. 否则, 称 a1, ,am线性无关.
解 同时解方程组 (a1T,a2T)xb1T和 (a1T,a2T)xb2T.
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(a1T,a2T,b1T,b2T)
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