3-1向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n
a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
3-2-1 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
向量组的线性相关性
T 1 T 2 T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
3
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 1 , 2 ,, m , 组 构成一个n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
b12 b22 ks2
b1n b2 n k sn
19
同时，C的行向量组能由 的行向量组线性表示 A B , 为这一表示的系数矩阵 ：
1T a11 T 2 a 21 T a m m1
矩阵K m s ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵.
此时有 B
18
AK
若C mn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示， 为这一表示的系数 B 矩阵：
b11 b21 （ c1 , c 2 ,, c n ) 1 , 2 ,, s ) （ b s1
(3) R( A ) m R( A ) m） （ ，即矩阵 A的秩小于 （等于）向量组所含向量的个数 m
1 0 0 0 10
2 1 1 3 r3 r2 1 3 5 r4 3r2 3 5 11 0 3
2 r 3r 3 1 1 1 3 r r 2 3 0 1 1 r 2r 3 4 0 2 2 0 3
1 0 0 0
1 0 0 0
2 r3 ( 1 ) 1 1 3 2 0 2 2 0 2 2 0 3
线性代数 向量组的线性相关性
分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使,02211=+++s s k k k αααΛ (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββαααΛΛ向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 (E01) n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例 4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
3-1 向量组的线性相关性
例4 判断向量 b1 = (4, 3, −1,11) 与 b2 = (4, 3,0,11) 是否为 的线性组合. 若是, 向量组 a1 = (1, 2, −1,5), a2 = (2, −1,1,1) 的线性组合 若是 写出表示式. 写出表示式
T T T T T T 解 同时解方程组 (a1 , a2 ) x = b1 和 (a1 , a2 ) x = b2 .
b = k1a1 + ⋯ + km am
• 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 线性方程 方程组 有解的充分必要条件是: 列向量组线性表示 线性表示. 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示 • 约定 非特别交待时 向量都采用列形式 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式 列形式.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合 称向量组 若干同维向量的集合, 向量组. • 向量组的一部分称部分组 向量组的一部分称部分组 部分组. 例1 设 e1 = (1,0,⋯ ,0), e2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , en = (0,0,⋯ ,1), 单位坐标向量组. 称 e1 , e2 ,⋯, en 为 n 维单位坐标向量组 任一向量 a = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 可唯一地表示为
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例5 讨论向量组 a1 = (1, −1,1), a2 = (1, a , −1), a3 = (a ,1,2) 的线性相关性. 的线性相关性
T T T 解1 设方阵 A = (a1 , a2 , a3 ), 化 A 为行阶梯形 为行阶梯形:
1 a 1 1 a 1 A = −1 a 1 → 0 a + 1 a + 1 1 −1 2 0 −2 2 − a a 1 a 1 1 1 2−a → 0 −2 2 − a → 0 −2 0 a + 1 a + 1 0 0 1 (a + 1)(4 − a ) 2
3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性
0
1
定义2 设两个n维向量组
I
1, 2, 3,……,s
(II)
1, 2, 3, ……,t
如果(I)组中每一个向量i (i=1,2,…,s)都能由
向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以
由向量组(II)线性表示.
如果两个向量组可以相互线性表示，则称这
两个向量组等价.
例如，对于向量组
一. n维向量空间
1. n 维向量
定义：n 个有次序的数a1,a2 , ,an 所组成的有序数组
a1,a2 , ,an 称为一个n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i个数 ai 称为第 i 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
注意 1. 若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
的和，记为
负向量：向量 a1, a2 , , an 称为向量 的负向量
向量减法： ( )
数乘向量：设k为实数，向量 ka1, ka2 , , kan 称为向量 a1,a2 , ,an
与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律：
(1)
(5)1
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl)
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1))
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
向量组线性相关性
向量组线性相关性向量组线性相关性是数学中一个重要的概念，它可以在许多应用中使用，包括统计和线性代数。
它表明了两个变量是如何相互影响的，并且可以用来解释不同情况下变量之间的线性关系。
因此，了解这个概念对推断变量之间的关系非常重要。
在这篇文章中，我们将详细讨论向量组线性相关性的定义、特性和应用。
首先，我们将介绍什么是向量组，包括它的结构、特性和如何表示。
接下来，我们将讨论线性相关性的定义，它的两个重要特性，即相关系数和回归线。
最后，我们将讨论向量组线性相关性的应用，特别是在统计学中，它可以用来推断和预测数据集之间的关系。
首先，让我们来看看什么是向量组。
它是一组由单位矢量组成的数值，它们被称为标量。
向量组由坐标轴上的点组成，这些点的特性取决于它们的大小和关系。
例如，在二维空间中，每一个矢量都可以用它的横坐标和纵坐标来表示，这两个坐标是矢量的分量。
此外，矢量的大小是按照它们两个坐标的积来表示的，这个大小可以用简单的乘法计算，也可以用更复杂的三角函数计算。
其次，我们来讨论线性相关性。
线性相关性是指在两个变量之间存在线性关系的能力。
它可以用相关系数来表示。
相关系数是一个指标，表示两个变量的相关性。
它的值介于-1和1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无关。
因此，通过计算相关系数，可以了解两个变量之间的线性关系。
此外，另一个重要的线性相关性特性是回归线。
回归线是一条拟合两个变量之间线性关系的直线，它可以用来推测两个变量之间的关系。
通过画出回归线，可以更清楚地了解两个变量之间的关系，例如它们之间是线性相关还是非线性相关。
最后，我们来看看向量组线性相关性的应用。
它主要应用于统计学，用来推断和预测数据集之间的关系。
它也可以用来了解变量之间的线性依赖性，以及变量的趋势及其变化。
此外，它还可以用来帮助预测未来，因为它可以用来推断不同数据集之间的相关性。
总之，向量组线性相关性是一个非常重要的概念，它可以帮助我们了解变量之间的关系，推断不同数据集之间的关系，以及预测未来。
数学公式知识：空间向量间的线性相关性判定
数学公式知识：空间向量间的线性相关性判定在空间向量中，我们可以通过线性相关性的判定来确定向量组是否存在不必要的向量。
这对于数学学习和应用来说都是非常有用的，因此本文将介绍空间向量间的线性相关性判定的基本概念和推导过程。
一、向量的线性组合首先我们需要了解向量的线性组合是什么。
向量的线性组合是指通过给定的若干个向量，分别乘以相应的标量，然后将它们相加而得到的新向量，例如：设有向量a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3)和c=(c1,c2,c3)，则它们的线性组合可以表示为：λ1a + λ2b + λ3c = (λ1a1 + λ2b1 + λ3c1, λ1a2 +λ2b2 + λ3c2, λ1a3 + λ2b3 + λ3c3)其中λ1、λ2和λ3是实数，称为向量a、b和c的系数。
二、向量的线性相关与线性无关在了解了向量的线性组合之后，我们来看什么是向量的线性相关和线性无关。
如果存在一组不全为0的实数λ1、λ2、……、λn使得向量组V1，V2，……，Vn的线性组合为0，即：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么我们称向量组V1，V2，……，Vn是线性相关的；否则，如果只有λ1=λ2=……=λn=0时向量组的线性组合才为0，我们就称向量组V1，V2，……，Vn是线性无关的。
换句话说，如果存在不全为0的系数使得线性组合为0，那么向量组就是线性相关的；如果要使得线性组合等于0，必须每一项的系数都为0，那么向量组就是线性无关的。
三、判断向量组的线性相关性现在让我们来看如何判断向量组的线性相关性。
在三维空间中，设有向量组V1，V2，……，Vn，我们想要判断它们是否线性相关。
如果存在不全为0的实数λ1、λ2、……、λn使得：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么向量组V1，V2，……，Vn就是线性相关的。
反之，如果只有λ1=λ2=……=λn=0时使得：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么向量组V1，V2，……，Vn就是线性无关的。
向量组的相关性
定理1.14 若向量组α1, α2,…,αm 线性无关,但添加一 线性无关, 定理 线性相关, 个向量β后向量组α1, α2,…,αm, β 线性相关 则β是α1, α2,…,αm的线性组合 且其线性表示是唯一的 的线性组合, 且其线性表示是唯一的.
练习 设向量组 α 1 , α 2 , α 3线性相关 , 向量组 α 2 , α 3 , α 4线性无关 ,问
例
试求向量组 α1=(1, 1, 1) , α2=(0, 2, 5) , α3=(2, 4, 7) , , , , , , , 的一个极大线性无关组 由向量组构成的行列式
解
故由定理1.15知向量组α1, α2, α3线性相关, 知向量组 线性相关, 故由定理 线性无关， 又显然向量组α1, α2线性无关，因此α1, α2就是所 同样 α2, α3 也是向 求向量组的一个极大线性无关组。 求向量组的一个极大线性无关组。 量组的一个极大线性无关组。 量组的一个极大线性无关组。
当 1 2 3 = t − 5 ≠ 0, 即t ≠ 5时, AX = O只有零解 , 线性无关 1 3 t 当 t = 5时, 线性相关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 设α1 = (1,0,2,0), α2 = (3,−1,0,1), α3 = (0,1,−1,0), − − 令β = (−2,3,0,−1) − − 的一个线性组合 线性组合， 则β为向量组α1, α2, α3 的一个线性组合，也可说 β 可由α1, α2, α3 线性表示。 线性表示。
的线性组合， 例 设n 维向量α 是向量β1与β2的线性组合，而β1与 β2又都是γ1 , γ2, γ3的线性组合 求证α是γ1 , γ2, γ3的线 的线性组合, 性组合
性质1 性质 向量组中任一向量都可由其极大无关组线性 (由定理 由定理1.14) 表示 由定理 向量组的极大线性无关组一般不是唯一的， 向量组的极大线性无关组一般不是唯一的，但有
向量组的线性相关性-精品文档
x1 3 x2 0 x1 3 x 2 2 2 得同解方程组： 5 5 x x2 x3 0 x 3 2 2 2 3 x1 2 c 取x2=c,得原方程组的解： (c为任意常数） x2 c 5 x 3 2 c
1 1 1 1 0 12 1 2 0 0 2 4 1 0 0 1 2 1 2, 0 0 1 2 1 2 0 0 2 4 1 0 0 0 0 0
x1 x 2 x 3 0 kx 1 2 x 2 x 3 0 2 x kx 0 2 1
0 1 1 k 1 2 0 0 3 k 1 1 0
解：
1 A k 2
1 2 k
2 ( k 1 ) k 6 k k 6 ( k 3 )( k 2 )
再如:
A x 0 ( r ( A ) n ) 解的全体是一个含无穷多个 n m n
-6-
维列向量的向量组.
定义
:1 ,2 , ,m 对于向量组 A , 表达式
k k k ( k R ) 1 1 2 2 m m i
称为向量组 A 的一个线性组合.又如果
因为 R (A ) R (A ) 2 4 , 故方程组有解 , 且是无穷个解， 程组
12 , x 1 x 2x 4 2x 12 . x 3 4
因此此方程组的全部解为
x 1 c1 c2 1 2 , x 2 c1 x 3 2c2 1 2 . x 4 c2 （其中， c 1， c 2 为任意常数）
3-1向量组的线性相关性
~
1 0 2 0 1 1 0 0 0
因为r ( A) r ( Ab) 2, 所以方程组有解(且解唯一). 故 b 可由1， 2 线性表示. 21 2 b
问 若向量以行向量的形式出现，该如何处理？
定义 称 n 阶单位矩阵 I 的行向量组
例3 ( 2001年华农)
当k 为何值时，向量 (1， k )T 可由1 ( 2,1,1)T 2，
2 ( 1,2,7 )T , 3 (1,1,4)T , 4 (1,4,11)T
线性表示，并写出其线 性表达式.
1 1 ( t1 6t 2 4)1 ( 3t1 7t 2 3) 2 t1 3 t 2 4 5 5 t1 , t 2 为任意常数. 4 3 ( k1 6k2 )1 ( 3k1 7k2 ) 2 5k1 3 5 5 5k2 4 k1 , k2 为任意常数.
则 可由1 , 2 ,, s 线性表示且表示法唯一 .
证 (反证法)
例 设 t1 , t 2 ,, t r 是互不相同的数 ( r n).
证明向量组1 (1, t1 , t12 ,, t1n1 ), 2 n 1 2 n 1 2 (1, t 2 , t 2 ,, t 2 ),, r (1, t r , t r ,, t r )
2 当 r<n 时 令 1 (1, t1 , t12 ,, t1r 1 ),
2 (1, t 2 , t ,, t
2 2
r 1 2
),
r (1, t r , t r2 ,, t rr 1 ).
由 1)的证明知 1 , 2 ,, r 线性无关，
而1， 2 ,, r 是 1 , 2 ,, r 添加分量所得， 所以1， 2 ,, r 线性无关.
向量组的线性相关性
3 1
,
4线1性,表21示 ？
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1 a11 a12 L a1mx1
x1a1x2a2Lxm ama1,a2,L,amx M 2aM 21 aM 22 L
a2mx2 M M
xm an1 an2 L anmxm
l l l b 1 a 12 a 2 L m a m
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12 L c1n a11 a12 L a1l b11 b12 L b1n
c21 c22 L MM
cM 2naM 21 aM 22 L
a2l b21 b22 L M MM
b2n M
cm1 cm2 L cmn am1 am2 L amlbl1 bl2 L bln
1 1 1 1 1 0 3 2
(A,b)1 2 1 0~r 0 1 2 1 2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0
0
行最简形矩阵对应的方程组为
x1
3x3 2 x2 2x3 1
3 2 3c2
通解为
x c
2 1
2c1
1 0 c
所以 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
2. 增广矩阵的形式
3xx11
4x2 x3 x2 2x3
5 1
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
x1 x2 x3
5 1
向量组的线性相关性
2) 对称性：如果向量组 1 , 2 , … , t 与
1, 2, …, s 等价，那么向量组 1, 2, …, s 也与 1 , 2 , … , t 等价.
3) 传递性：如果向量组 1 , 2 , … , t 与
1, 2, …, s 等价， 1, 2, …, s 与 1 , 2 ,…, p 等价
那么向量组 1 , 2 , … , t 与 1 , 2 ,…, p 等价.
二、向量组的线性相关性
1. 定义
定义 12 如果向量组 1 , 2 , … , s (s 2)中
有一个向量可以由其余向量线性表出，那么向量组
1 , 2 , … , s 称为线性相关的.
例如，向量组
第三节
主要内容
向量组的线性相关性
向量组等价 向量组的线性相关性 用定义判别线性相关性
线性相关性的判别定理 极大线性无关组
方程组与向量组的关系的进一步研究
一、向量组等价
以下我们总是在一固定的数域 P 上的 n 维向
量空间中进行，不再每次说明了.
1. 线性表出
定义 10 向量 称为向量组 1, 2, …, s 的一
1 (2,1,3,1), 2 (4,2,5,4), 3 (2,1,4,1)
是线性相关的，因为 3 =31 - 2 .
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量 组一定是线性相关的. 向量组的线性相关的定义还可以用另一种说法
定义 12 向量组 1 , 2 , … , s (s 1) 称为 线性相关，如果有数域 P 中不全为零的数 k1 , k2 ,
则称向量 1 , 2 , …, n 为 n 维单位坐标向量.
显然，任一 n 维向量 = (a1 , a2 , … , an ) 均可
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性1.1向量组的线性相关性的概念与判定1.1.1向量组的线性相关性概念定义1： 给定向量组12(,,)m A ααα=⋅⋅⋅,如果存在不全为零的数 12,,,m k k k ⋅⋅⋅,使11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=则称向量组A 是线性相关的, 否则称它是线性无关的.定义2：若向量组A 中每一个向量(1,2,,)i i t α= 都可由向量组{}1,,s B ββ= 线性表示，则称A 可由B 线性表示。
若两个向量组可互相线性表示，则称这两个向量组等价.性质：向量组的等价具有1）反射性；2）对称性；3）传递性.定义3： 向量组{}s αα,,1 称为线性无关，若它不线性相关，或：由11220s s k k k ααα+++= ，则必021====s k k k 。
即：11220s s x x x ααα+++= 只有唯一零解.定义6：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）.所得的部分向量组都线性相关.定义7：一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数.性质：1.向量组{}r αα,,1 线性无关⇔{}r αα,,1 秩r =. 向量组{}r αα,,1 线性相关⇔{}r αα,,1 秩r <. 2.等价向量组的秩数相同.n P 中向量组的极大线性无关组的求法. 注意1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的. 注意2: 若12,,m ααα⋅⋅⋅线性无关, 则只有当120m λλλ==== 时, 才有11220m m λαλαλα++⋅⋅⋅+=成立.注意3: 向量组只包含一个向量α 时,若0α=则说α线性相关; 若0α≠, 则说α 线性无关.注意4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的.注意5: 对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例, 几何意义是两向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.1.1.2线性相关性的判定向量组12,,m ααα⋅⋅⋅ (当m 2≥时)线性相关的充分必要条件是12,,m ααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其余1m -个向量线性表示.证明: 充分性. 设12,,m ααα⋅⋅⋅中有一个向量(比如m α)能由其余向量线性表示,即有112211m m m αλαλαλα--=++⋅⋅⋅+也就是112211(1)0m m m λαλαλαα--++⋅⋅⋅++-=因121,,,m λλλ-⋅⋅⋅,(-1)这m 个数不全为0,故12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关.必要性. 设12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关. 则有不全为0的数12,,,m k k k ⋅⋅⋅,使11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=不妨设10k ≠, 则有32123111()()().m m k k k k k k αααα=-+-++- 即1α能由其余向量线性表示. 证毕1.2 向量组线性相关性的性质和应用1.2.1向量组线性相关性的性质：1.含零向量的向量组必线性相关，即{}s ααθ,,,1 线性相关.θααθ=⋅++⋅+⋅s 00112.一个向量组若有部分向量线性相关，则此向量组线性相关。
向量组的线性相关性
向量组线性无关性的判定定理 m维向量组 A： , , , 线性无关 1 2 n 如果 k11 k22 knn （零向量），则必有 k1 = k2 = … = kn =0 ． n 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = 1 2 n 的秩等于向量的个数 n ． 即：r(A)=n
, ,
k1( ) k2( ) k3( ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) (k1 k3 )
因为向量组 , , 线性无关，所以
k1 k3 0 k1 k2 0 k2 k3 0
，如果存
11 2 2 nn
则称向量 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 能由向量
组A 线性表示．
P.110 定理4.1 的结论： 向量 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = 有解
r ( A) r ( A, )
由于零向量可由向量组A线性表示：0 01 02 0n n元齐次线性方程组 Ax =0 有非零解
已知向量组A:
k1 0 kl 1 k n 0
含有零向量的向量组线性相关
4、n维基本单位向量组 1, 2 n
1 0 1 0
0 1 2 0
0 0 n 1
所以向量组 1, l ,l 1 ,n 也线性相关
部分相关 整体相关， 整体无关 部分无关
例4 、
分析：
性质3、已知向量组 1,2 , ,n ，若其中至少有一个向量能表示成其余向量 的线性组合，不妨假设
1 k202 kn 0n
则其次线性方程组
第3章 3.3向量组的线性相关性
证明: (II )线性相关,故存在不全为0的数
k1 , k2 , , ks , k, 使得
k11 k22 kss k 0
现证k 0.若k 0,则k1, , ks不全为0，使得
k11 k22 kss 0,推出(I )线性相关，
这与(I )线性无关矛盾，故k 0,所以
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可
由其余s 1个向量线性表出.
证明：必要性,1,2 , ,s ( I )线性相关,则
存在不全为零的数k1, k2 , .ks使得
k11 k22 kss 0,
必有一个ki 0,于是
i
k1 ki
1
由1,2 ,,s线性无关，得:
λ1 μ1 , λ2 μ2 , 唯一性得证.
, λs μs
23
性质3.设1,2 , ,（s I )的一部分线性相关， 则(I )线性相关. “部分相关,则整体相关”
证明：为简单起见，不妨设1,2 ,, at (t s)
线性相关,即存在不全为0的数k1, k2 ,, kt，使得
例如 : α1 (1,1，2),α2 (3, 3，6)线性相关，则
β1 (1,2), β2 (3,6)线性相关.
29
性质总结
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可 由其余s 1个向量线性表出.
性质2 设向量组1,2 , ,s (I )线性无关， 1,2 , ,s， ( II )线性相关,则 可由
11
或者说 “个数大于维数必相关”
A
A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.
向量组线性相关
§2 向量组的线性相关性
例
1 0 0 1
a1
0
,
a2
1
,
a3
0
,
a4
1 线性相关，
0
0
1
1
1 0 0 1 2
a1
0
,
a2
1
,a30, Nhomakorabeaa4
1 , a5
2
也线性相关。
0
0
1
1
1
§2 向量组的线性相关性
例
1 0 0
a1
0 0
,
a2
1 0
,
a3
k1 k3 0 k1 k2 0 , k1 k2 k3 0,
k2 k3 0
向量组b1 ,b2 , b3线性无关.
§2 向量组的线性相关性
证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1
b1
,
b2
,
b3
a1
,
a2
,
a3
1 0
记作B=AK.
1 1
01
设BX=O,以B=AK代入,
§2 向量组的线性相关性
1 0 0
例
a1
0
,
a2
1
,
a3
0
,线性无关，
0 0 1
1 0 0 1
a1
0 0
,
a2
1 0
,
a3
0 1
,
a4
11线性相关，
1 1 0 0
11
00
1 0
0 1
，即a4
a1
a2
a3，且表达式唯一。
§2 向量组的线性相关性
第4章向量组的线性相关性1-3
注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量 列向量. 都当作列向量
第四章 向量组的线性相关性
１、向量组及其线性组合 ２、向量组的线性相关性 ３、向量组的秩 ４、线性方程组的解的结构 ５、向量空间
第一节、 第一节、向量组及其线性组合
一、n维向量的概念 维向量的概念
定义1 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 ,L , an 所组成的数 维向量， 个分量， 组称为 n维向量，这 n个数称为该向量的 n个分量，
定理1 定理1 向量b能由向量组 A线性表示的充分必要
L 条件是矩阵 A = (α 1，α 2， ,α m )的秩等于矩阵 B = (α 1，α 2， ,α m , b )的秩 . L
定义３ 定义３ 设有两个向量组
A : α 1 , α 2 , L , α m 及B : β 1 , β 2 , L , β s . 线性表示， 若B组中的每个向量都能由 向量组 A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组 A与向 能相互线性表示， 量组B能相互线性表示，则称 这两个向量组等价． 向量组等价．
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (a ij )m×n 有n个m 维列向量 aj a1 a2 an
a11 a12 L a1 j L a1n a 21 a 22 L a 2 j L a 2 n A= M M M M M M a L a mj L a mn m1 a m 2 向量组 a1, a2 ,L, an 称为矩阵 A的列向量组 .
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b 1a 1a22 a3,b 2 a 1 2 a 2 2 a 3 ,b3a23a3,
试证向量组 b1, b2, b3 也线性无关.
证1 设存在一组数 x1, x2, x3, 使
x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 b 3 0(1)
将 b1, b2, b3 的表示式代入, 并整理得
( x 1 x 2 ) a 1 ( x 1 2 x 2 x 3 ) a 2 ( 2 x 1 2 x 2 3 x 3 ) a 3 0
只有零解.
❖ 定理1
设矩阵 A(a1, ,am ),则向量组 a1, ,am线性无关 的充分必要条件是 R(A) m.
提示: m 元齐次线性方程组 Ax 0 只有零解的充分必 要条件是 R(A) m.
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❖ 线性相关性
设有向量组 a1, ,am, 如果存在一组不全为零的数 k1, ,km,使
k 1 a 1 k m a m 0
那么称 a1, ,am线性相关. 否则, 称 a1, ,am线性无关.
• a1,…,am 线性无关, 也即向量方程 x 1 a 1 x m a m 0
只有零解.
❖ 定理1
设矩阵 A(a1, ,am ),则向量组 a1, ,am线性无关 的充分必要条件是 R(A) m.
k 1 a 1 k m a m 0
• 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是:
向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示.
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❖ 线性相关性
设有向量组 a1, ,am, 如果存在一组不全为零的数 k1, ,km,使
k 1 a 1 k m a m 0
那么称 a1, ,am线性相关. 否则, 称 a1, ,am线性无关.
1 1 2 0 2 2 a
1 1 a 1 1
a
0 0
2 a1
2 a
a100
2 0
12(a21)(a4a)
当 a 1, 4 时, R(A) 3, a1,a2,a3 线性无关;
当 a 1 或 a 4 时, R(A) 2, a1,a2,a3线性相关.
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例5 讨论向量组 a1(1,1,1), a2(1,a,1), a3(a,1,2)
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❖ 线性相关性
设有向量组 a1, ,am, 如果存在一组不全为零的数 k1, ,km,使
k 1 a 1 k m a m 0
那么称 a1, ,am线性相关. 否则, 称 a1, ,am线性无关.
• a1,…,am 线性无关, 也即向量方程 x 1 a 1 x m a m 0
因 a1, a2, a3 线性无关, 故有
1 1 0
x1 x2 x1 2x2 x3
0 0
(2)
1
1 0
(a1T,a2T)xb1T的解为 x12,x21. 因此 b12a1a2.
(a1T,a2T)xb2T无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示.
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三、向量组的线性相关性
若线性方程组 Ax b 有无穷多解, 则向量 b 可用 矩阵 A 的列向量组的无穷多个线性组合来线性表示.
• 方阵 A 的列向量组线性相关的充要条件为 | A| 0.
• 齐次线性方程组的基础解系线性无关. >>>
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例5 讨论向量组
a1(1,1,1), a2(1,a,1), a3(a,1,2) 的线性相关性.
解1 设方阵 A(a1T,a2 T,a3 T),化 A 为行阶梯形:
1 1 a 1 1 a A 1 a 1 0 a 1 a 1
❖ 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1,…, am 线性表示, 则向量组 b, a1,…, am 线性相关.
• 当 a1,…, am 线性相关时, 表示式不唯一; • 当 a1,…, am 线性无关时, 表示式唯一. (2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关.
(3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.
解 同时解方程组 (a1T,a2T)xb1T和 (a1T,a2T)xb2T.
1 2 4 4
(a1T,a2T,b1T,b2T)
2 1 5
1 1 1
3 1 11
3
0 11
1 2 4 4 1 0 2 2
r
0 0 0
5 3 9
5 3 9
5 4 9
r
0 0 0
1 0 0
1 0 0
设向量 b 有两个线性表示式
b h 1 a 1 h m a m 和 b l1 a 1 lm a m
则有
( h 1 l 1 ) a 1 ( h m l m ) a m 0
b 的两个表示式不同, 也即存在一组不全为零的数
k 1 h 1 l 1 , ,k m h m l m
使成立
b k 1 a 1 k m a m • 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是:
向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示. • 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式.
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例4 判断向量 b1(4,3,1,11)与 b2(4,3,0,11)是否为 向量组 a1(1,2,1,5),a2(2,1,1,1)的线性组合. 若是, 写出表示式.
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❖ 线性组合 给定向量组 a1,…,am, 对任一数组 k1,…,km, 称向量
b k 1 a 1 k m a m 为向量组 a1,…,am 的一个线性组合, 称 k1,…,km 为这个 线性组合的[表示]系数. 并称 b 可由 a1,…,am 线性表示. 例3 设矩阵 A (a1,…, am), 线性方程组 Ax b 有一组 解 xi ki (i 1,…, m), 也即
的线性相关性. 解2 设方阵 A(a1T,a2 T,a3 T),则
1 1a |A|1 a 1(a1)(4a)
1 1 2
当 a 1, 4 时, | A| 0, a1,a2,a3 线性无关;
当 a 1 或 a 4 时, | A| 0, a1,a2,a3线性相关.
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例6 设向量组 a1, a2, a3 线性无关,