计算机辅助几何设计论文

计算机辅助几何设计期末论文

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班级_______________

学号______________

、Coo ns曲面

1、基本概念

假定参数曲面片方程为，P(u,v),u,v_ [0,1]参数曲线P(u,0),P(u,1),

P(0,v),P(1,v)称为曲面片的四条边界,P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1称为曲面片的四个角点。P(u,v)的u向和V向求偏导矢有：龄心畔I檢小譽

分别称为u线上和v线上的切矢。边界线P(u,0)上的切矢为：

ap（u,v）

同理，Pu(u,1),Pv(0,v),Pv(1,v)也是边界线上的切矢

曲面示意图

边界曲线P(u,0)上的法向(指参数v向)偏导矢:

恥,0)■警L

称为边界曲线的跨界切矢，同理，Pv(u,1),Pu(0,v),Pu(1,v)也是边界曲线的

跨界切矢

/＞（0,0） = ^

Oil

矢量。

n

、 护尸(心

CflfCV

称为混合偏导矢或扭矢，它反映了 Pu 对v 的变化率或Pv 对u 的变化率。同样,

称为角点的扭矢，显然，曲面片的每个角点都有这样的扭矢。

2、曲面表示法与记号

1) 曲面上的点(x,y,z )可表示为双参数u 和w 的函数平P(u,w):

2) 令w wo ，则Pu,w0是曲面上一条以u 为参数的曲线，称为u 向线或u 线 wo 的值由0变化到1，可得到一组u 向线，由此构成整张曲面片，类似地，参数 u 由0变化到1,可得到一组w 向线，同样构成了整张曲面片。

3) 曲面片的四条边界曲线为 P(u,0),P(u,1),P(0,w 和P(1,w)。 4) 曲面片的四个角点为 P(0,0),P(0,1),P(1,0)和P(1,1). 3、插值四个角点的双线性曲面

给定四个角点P(0,0),P(0,1),P(1,0和P(1,1),则可按下式定义一双线性曲面 Q(u,w):

Q u,w P 0,0 1 u 1 w P 0,1 1 u w P 1,0 u 1 w P 1,1 uW (〔 “

显然上式满足给定的约束条件：

Q 0,0 P 0,0 ,Q 0,1 P 0,1 ,Q 1,0 P 1,0 ,Q 1,1 P 1,1

4、线性插值两条边界的曲面

给定两条边界P(u,0)和 P(u,1)，可在其间构造一线性曲面 Q 1 u ,w :

dv

称为角点P(0,0)的u 向和 向切矢，在曲面片的每个角点上都有两个这样的切

P u,w x u,w,y u,w,zu,w

u,w 0,1

Pu ，1。类似地，可构造插值与另两边界P(0,w)

和P(1,w)的线性曲面Q 2 u ，w :

Q 2 u, w P 0, w 1 u p 1, w u

上述两式就是用Coons 方法定义的直纹面。 5、双线性Coo ns 曲面

如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线， P(u,0),P(u,1), P(u,v),u,v _ [0,1]，使

问题的解有无穷多个，我们来看一种最简单的情况。首先，在 u 向进行线

性插值，可以得到以P(0,v)和P(1,v)为边界的直纹面P1(u,v),，如3.5.2(a)

(u, v) = (1 - « mV )+aP(l ,v), tf,ve[0,l]

显然，Q i u,0 P u,0 , Q i

u,1 P(0,v),P(1,v) ，如图3.5.1，怎样构造一张参数曲面

如 3.5.2(a)

再在v 向进行线性插值，可以得到以P(u,O)和P(u,1)为边界的直纹P2(u,v), 如图 3.5.2(b )

巴(虬巧=(1 - v)P(w ?O)+vP( w J),

u,v

e [0,1]

如果把和迭加，产生的新曲面的边界是除给定的边界外，迭加了一个连 接边界两个端点的直边。为此，我们再构造分别过端点 P(0,0)、P(0,1)及

P(1,0、P(1,1)的双线性曲面

pg 二

(17)[(1—巧玖0,0)+仃(0」)]卡呗 7)P(l,0)+vP ⑴)]

容易验证卩狰总 W 兄沁4■號琛匕次 釘:阖Ml 便是所要求构造的曲面，称 之为双线性Coo ns 曲面片。

可进一步改写成矩阵的形式

:

■ o >(u,0) g.

—1

P(w 7 v) = -[*1 1 —w u\ mv)尸〔0®

P(0?l)

1- V

\

/(Xv)

P(L0) P (口〔 V

■■ J

观察，可以发现：对曲面片满足边界条件的要求提高一阶，曲面方程中

fPQO) P(OJ) L

—■

{P (1Q ?Q,1) V

[0,1] 吨

o>

pg i)

的边界信息矩阵就要扩大二阶，并且要多用一对调和函数；边界信息矩阵的 第一行与第一列包含着全部给定边界信息；余下的子方阵则包含着角点信息。 认识了这些规律后，就能容易地构造出满足更高阶边界条件的 Coons 曲面方程。

、 Bezier 曲面

1，双三次 Bezier 曲面

定义一张双三次 Bezier 曲面需 16 个控制顶点，式 (2.1)为该顶点

A SA

B SBA B SAD TA TB SBC

V

SDA TD TC SCB

D

SDC SCD

C

(2.i)

V 称为定义双三次 Bezier 曲面的特征多边形网格，双三次 Bezier 曲面的形成过 程如下：

1) 由式(2.1)中的四个列阵生成四条三次 Bezier 曲线So u 卢u , S 2 u 和S 3 u , 表示为

3

2

2 3

S 0 u S 1 u S 2

u S 3

u 1 u 3

31 u 2

u

31 u u 2

u 3

V

u 0,1

(2.2)

2) 给定任一 u ,设u 5 , 5

0,1

，则可在上述四条曲线上分别得到点 SoUl ,

S 1 u

1

，S 2 u 1 和 S3 u1 ，它们构成了一个新的多边形，该多边形在 w 向定义了

一条新的三次Bezier 曲线Pui,w :

(2.3)

取任意一 w ，如w w i ，w i °」，则可求得曲线Pu i ，w 上的一个点Pu i ，w i 实际上， P u 1,w 1 就是曲面上与参数 u 1,w 1 对应的一个点。

3) 当参数u 和w 在0到i 上的区间上遍历时，就构成了整张双三次Bezier 曲面 我们可以将式 (2.3)表示成更一般的形式，即

Pu 1,w S 0 u 1 S 1 u 1

S 2 u 1 S 3 u 1

1 31 3

w

2

ww 2

31 w w

w 3