专题23 矩阵与变换(解析版)

专题23 矩阵与变换
1、（2019年江苏卷）已知矩阵3122⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
A （1）求A 2；
（2）求矩阵A 的特征值. 【分析】
(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；
(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【解析】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
A ，
所以2
31312222⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
A
=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． （2）矩阵A 的特征多项式为
23
1
()542
2
f λλλλλ--=
=-+--.
令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. 2、（2018年江苏卷） 已知矩阵．
（1）求的逆矩阵
；
（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点
，求点P 的坐标．
【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 详解：（1）因为，
，所以A 可逆，
从而
．
（2）设P (x ，y )，则
，所以
，
因此，点P 的坐标为(3，–1)．
点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 3、（2017江苏卷）已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1002.
(1) 求AB ；
(2) 若曲线C 1：x 28＋y 2
2＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．
规范解答：(1) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1002， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0210.
(2) 设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨
⎪⎧
2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝y ，y 0＝x 2.
因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 20
2＝1，
从而y 28＋x 2
8
＝1，即x 2＋y 2＝8.
因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.
4、(2016年江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 2，求矩阵AB .
规范解答 设B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a b c d ，
则B －1B ＝⎣⎢
⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤1－120 2
⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b
c d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a －1
2
c ＝1，b －12
d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝14，
c ＝0，
d ＝12
，所以B ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1
14
012 .
因此，AB ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
20
－2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
14
012＝⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤1
540－1.
5、(2015年江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
x
1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．
规范解答 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y
0⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0.
从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)，令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－2，λ2＝1， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.
一、 二阶矩阵与平面向量 (1) 矩阵的概念
在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2 31
5，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，3， 42，0，－1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．
(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法 ① [a 11 a 12]⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]；
② ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.
二、. 几种常见的平面变换 (1) 当M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1001
时，则对应的变换是恒等变换． (2) 由矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤k 001
或M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤100k
(k>0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换．
(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．
(4) 当M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
cosθ－sinθsinθ cosθ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．
(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．
(6) 由矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1k 01或⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10k 1确定的变换称为切变变换．
三、 线性变换的基本性质 (1) 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤λx λy . (2) 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2. (3) A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A (λα)＝λA α，A (α＋β)＝Aα＋Aβ.
(4) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)． 四、 二阶矩阵的乘法 (1) A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 2 b 2c 2 d 2， 则AB ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2
(2) 矩阵乘法满足结合律(AB )C ＝A (BC )． 几种特殊的变换 反射变换：
M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00－1：点的变换为(x ，y)→(x ，－y)，变换前后关于x 轴对称；
M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－10 01：点的变换为(x ，y)→(－x ，y)，变换前后关于y 轴对称；
M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
－1 0 0－1：点的变换为(x ，y)→(－x ，－y)，变换前后关于原点对称；
M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为(x ，y)→(y ，x)，变换前后关于直线y ＝x 对称． 投影变换：
M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为(x ，y)→(x ，0)； M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为(x ，y)→(0，y)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→(x ，x)； M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→(y ，y)；
M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤1212
1
2
12：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→
⎝⎛⎭⎫x ＋y 2，x ＋y 2. 五、 逆变换与逆矩阵
(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． (2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－
1＝B －
1A －
1. (3) 利用行列式解二元一次方程组．
2. 特征值与特征向量
(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．
(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量。

题型一、由矩阵变换求曲线的方程
由矩阵变换求曲线的方程一般式通过代换法求得，要分布设变换前与变换后的点坐标，用变换后的坐标变式变换前的坐标，然后代入变换前的方程即可。

例1、(2019宿迁市直学校期末） 已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤12a 1的一个特征值为λ＝3，其对应的一个特征向量为α
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11，求直线l 1：x ＋2y ＋1＝0在矩阵M 对应的变换作用下得到的曲线l 2的方程． 规范解答 解法1 由Mα＝λα得⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤11，
所以a ＝2，M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1221.(2分) 设P 1(x 1，y 1)是直线l 1上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下得到点P 2(x 2，y 2)，且P 2在曲线l 2上． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2y 1，y 2＝2x 1＋y 1，
(4分) 所以⎩⎨⎧x 1＝－13x 2＋23
y 2，
y 1
＝23x 2
－1
3y 2
，
(6分)
代入直线l 1的方程得x 2＋1＝0，所以曲线l 2的方程为x ＋1＝0.(10分)
解法2 由Mα＝λα得⎣⎢
⎡⎦⎥⎤12a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以a ＝2，M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1221.(2分)
取直线l 1上两点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤－11，(4分)
所以在矩阵M 对应的变换作用下P 1，P 2变换为Q 1(－1，－2)，Q 2(－1，1)在曲线l 2上，(6分) 又因为二阶矩阵把直线变为直线，所以曲线l 2就是经过点Q 1，Q 2的直线x ＝－1.(10分)
例2、(2016南京三模） 已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝所对应的变换T 把曲线C 变
成曲线C 1，求曲线C 1的方程.
思路分析 设变换T 把曲线C 上的任意点P (x ，y )变成曲线C 1上的点Q (x ′，y ′)，用x ′，y ′表示x ，y ，代入曲线C 的方程x 2＋2xy ＋2y 2＝1，则得关于x ′，y ′的方程，这就是曲线C 1的方程．
规范解答 设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1210对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．
则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′y ′， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，
所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′
2.(5分)
代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·
x ′－y ′2＋2⎝⎛⎭
⎫x ′－y ′22
＝1，即x ′2＋y ′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.(10分)
例3、(2019 南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港三调）已知a ，b ，c ，d ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤
a －20
b 的逆矩阵A －1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1c d 1.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到直线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程．
规范解答 由题意得，AA －
1＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2d ac －2bd b ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1001，
所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0， 即矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1－201.(5分)
设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .(8分) 由已知条件可知，P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.(10分) 题型二 矩阵的特征值与特征向量
求矩阵的特征值与特征向量要注意格式和步棸。

先求特征值然后再求特征向量。

例4、(2019 南京三模）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2112
(1) 求M 2；
(2) 求矩阵M 的特征值和特征向量． 规范解答
(1) M 2＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5445.(4分) (2) 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
λ－2－1－1λ－2＝(λ－1)(λ－3)．
令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3.(6分)
①当λ＝1时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0. 令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1－1.(8分) ②当λ＝3时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －y ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 1－1，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.(10分) 例5.(2018南通、泰州一调）已知x ∈R ，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01是矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1
x 0
2的属于特征值λ的一个特征向量，求
λ与A －
1.
规范解答 由已知得⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝λ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤01，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝0.所以A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1002.(4分) 设A －
1＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c d ， 则AA －
1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1001，
即⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ a b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤1001.
所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12
.
所以λ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤10012.(10分)
例6、(2016苏州暑假测试）求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1
4 2
6的特征值和特征向量．
. 规范解答 特征多项式f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
λ＋1 －4－2 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，
由f (λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝－2.(3分)
将λ1＝7代入特征方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧
8x －4y ＝0，－2x ＋y ＝0，即y ＝2x ，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤12为属于特征值λ1＝7的一个特征向量．(6
分)
同理，λ2＝－2时，特征方程组是⎩⎪⎨⎪⎧
－x －4y ＝0，－2x －8y ＝0，
即x ＝－4y ，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤
4－1为属于特征值λ2＝－2
的一个特征向量．(8分)
综上所述，矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
－1
4 2
6有两个特征值λ1＝7，λ2＝－2.属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤12，属于λ2
＝－2的一个特征向量为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
4－1.(10分) 题型三 矩阵运算及逆矩阵
(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． (2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－
1＝B －
1A －
1. (3) 利用行列式解二元一次方程组． 例7、(2019 苏锡常镇调查）已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤210
a ，其逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤b c 01，求A 2.
规范解答 因为AA －
1＝⎣
⎢
⎡⎦⎥⎤1001，则有⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2
10a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1001，(2分) 即a ＝1，b ＝12，c ＝－12，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101，(5分) 则A 2＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4301.(10分)
例8、(2018苏州期末）已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 22
1，向量β＝⎣⎢⎡
⎦⎥⎤17，求M 4β.
. 思路分析 若矩阵M 的特征值为λ1，λ2，对应的特征向量为α1，α2，且β＝m α1＋n α2，则M 4β＝m M 4α1
＋n M 4α2＝mλ41α1＋nλ42α2
. 解法1(公式法) 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ－3)(λ＋1)．(2分)
令f (λ)＝0，得特征值λ1＝3，λ2＝－1.
属于λ1＝3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于λ2＝－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1－1.(5分)
设β＝m α1＋n α2，易得m ＝4，n ＝－3，即β＝4α1－3α2，(7分)
所以M 4β＝4M 4α1－3M 4α2＝4λ41α1－3λ42α2
＝324⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
1－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤321327.(10分) 解法2(直接法) 因为M 4＝(M 2)2，所以也可直接硬解． 因为M 2＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5445，
⎣⎦45⎣⎦45⎣⎦
4041所以M 4
β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41404041⎣⎢⎡⎦⎥⎤17＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤321327.(10分) 易错警示 矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d ，若将M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－a －b －c λ－d 误写为⎪⎪⎪⎪⎪⎪
λ－a b c λ－d ，虽
然不影响特征值的结果，但是由此算得的对应特征向量不正确． 例9、(2018扬州期末）下得到点N (3，5)，求矩阵A 的逆矩阵A －
1.
规范解答 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，
所以A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2132.(5分)
解法1(定义法) 设A －
1＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
100
1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，
3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，
3b ＋2d ＝1，
(7分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝－1，
c ＝－3，
d ＝2，所以A
－1
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2－1－32.(10分)
1、(2019 盐城市2019届高三第三次模拟考试）直线l ：2x －y －3＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1041所对应的变换
T M 下得到直线l ′，求l ′的方程．
规范解答 在直线l 上点取A (1，－1)，
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1041 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，故A (1，－1)在矩阵M 的变换下得到A ′(－1，3)，(4分) 再在直线l 上取点B (2，1)，
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1041 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－29，在矩阵M 的变换下得到B ′(－2，9)，(8分) 连结A ′B ′，可得直线l ′：6x ＋y ＋3＝0.(10分) 2、(2018南京三模）已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2001，若直线l ：x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作
用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．
思路分析 设直线l 上任意一点P(x ，y)在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1上的点Q (x ′，y ′)，用x ′，y ′表示x ，y .由关于x ，y 的方程转化为关于x ′，y ′的方程．
⎣⎦0 1⎣⎦0 1⎣⎦
1设直线l 上任意一点P (x ，y )在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1上的点Q (x ′，y ′)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20
1⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
x y ，即⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋2y ，y ′＝y ，(6分) 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′－y ′，y ＝y ′.因为x －y ＋2＝0，所以1
2
x ′－y ′－y ′＋2＝0，即x ′－4y ′＋4＝0.
所以直线l 1的方程是x －4y ＋4＝0.(10分) 3、(2018苏北四市二模）已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 10－11，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1203，C ＝AB .
(1) 求矩阵C ；
(2) 若直线l 1：x ＋y ＝0在矩阵C 对应的变换作用下得到另一直线l 2，求l 2的方程． 规范解答 (1) C ＝AB ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 10－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1203
＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12－11.(4分) (2) 设直线l 1：x ＋y ＝0上任意一点(x ，y )在矩阵C 对应的变换作用下得到点(x ′，y ′)，则[]x ′y ′＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 12－11[]xy ， 其坐标变换公式为{x ′＝x ＋2y ，y ′＝－x ＋y .(6分)
由此得⎩
⎨⎧x ＝x ′－2y ′3，y ＝x ′＋y ′
3，
代入x ＋y ＝0得2x ′－y ′
3＝0，即2x ′－y ′＝0，
所以直线l 2的方程为2x －y ＝0.(10分)
4、(2017南京学情调研）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2－21－3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 00－1，设M ＝AB .
(1) 求矩阵M ； (2) 求矩阵M 的特征值．
规范解答 (1) M ＝AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－21－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2213.(5分)
(2) 矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－2－2－1λ－3＝(λ－2)(λ－3)－2＝λ2－5λ＋4，
令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4， 所以矩阵M 的特征值为1和4.(10分)
5、(2017苏州暑假测试）已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21)为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.
规范解答 由条件可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤21， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.(5分) 因此A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 12－14， 所以
A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－110－514.(10分) 6、(2017苏锡常镇调研）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．
(1) 求矩阵M ；
(2) 求矩阵M 的另一个特征值．
规范解答 (1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ，(3分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤6244.(5分) (2) 令特征多项式f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪λ－6－2－4λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，(8分) 解得λ1＝8，λ2＝2. 所以矩阵M 的另一个特征值为2.(10分)
7、(2018南京学情调研）设二阶矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1234. (1) 求A －1；
(2) 若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C ′：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程． 规范解答 (1) 根据逆矩阵公式，可得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
－2 1 32－12.(4分) (2) 设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y .(8分) 因为(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以6x ′2－y ′2＝1，代入得6(x ＋2y )2－(3x ＋4y )2＝1，化简得8y 2－3x 2＝1， 所以曲线C 的方程为8y 2－3x 2＝1.(10分)
8、（2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1 0 0 1对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标． B. 规范解答 设B ′(x ，y )，
依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1
0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，得A ′(1,2)．(4分) 则A ′B →＝(2,2)，A ′B ′→＝(x －1，y －2)．
记旋转矩阵N ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 －11 0，(6分) 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝4， 所以点B ′的坐标为(－1,4)．(10分)
9、(2017扬州期末） 已知a ，b ∈R ，若点M (1，－2)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 1b 4对应的变换作用下得到点N (2，－7)，求矩阵A 的特征值．
规范解答 由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－7，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＝2，b －8＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4114，(5分) 所以矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－4－1－1λ－4＝λ2－8λ＋15. 令f (λ)＝0，解得λ＝5或λ＝3，即矩阵A 的特征值为5和3.(10分) 10、(2018镇江期末）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2
a b 1，其中a ，b 均为实数，若点A (3，－1)在矩阵M 的变换作
用下得到点B (3，5)，求矩阵M 的特征值．
规范解答 由题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤35， 即⎩
⎪⎨⎪⎧6－a ＝3，3b －1＝5，(3分)
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，所以M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2321.(5分) 令f (λ)＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，(7分)
解得λ＝－1或λ＝4，(9分)
所以矩阵M 的特征值为－1和4.(10分)
11、(2017南京、盐城二模）设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0，求实数a ，b 的值．
思路分析 设矩阵A 对应的变换把直线l 上的任意点P (x ，y )变成直线l ′上的点P 1(x 1，y 1)，将x 1，y 1用x ，y 表示．由9x 1＋y 1－91＝0，得x ，y 的方程，此方程也是l 的方程．
规范解答 设矩阵A 对应的变换把直线l 上的任意点P (x ，y )变成直线l ′上的点P 1(x 1，y 1)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＝x 1，－x ＋by ＝y 1.(4分) 因为9x 1＋y 1－91＝0，所以27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0.(8分)
因为直线l 的方程也为ax ＋y －7＝0，所以26a ＝b 1＝－91－7
，解得a ＝2，b ＝13.(10分) 12、(2018无锡期末）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
3
4a b ，若矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，属于特征值λ2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2－3.求矩阵A . 规范解答 由矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1－2，可得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，即⎩
⎪⎨⎪⎧3－8＝λ1，a －2b ＝－2λ1，(2分) 得a －2b ＝10，(4分)
由矩阵A 属于特征值λ2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 2－3， 可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，即⎩
⎪⎨⎪⎧6－12＝2λ2，2a －3b ＝－3λ2，(6分) 得2a －3b ＝9，(8分)
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－11，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34
－12－11.(10分)。