专题23 矩阵与变换(解析版)

专题23 矩阵与变换

1、（2019年江苏卷）已知矩阵3122⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

A （1）求A 2；

（2）求矩阵A 的特征值. 【分析】

(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；

(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【解析】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

A ，

所以2

31312222⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

A

=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

． （2）矩阵A 的特征多项式为

23

1

()542

2

f λλλλλ--=

=-+--.

令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. 2、（2018年江苏卷） 已知矩阵．

（1）求的逆矩阵

；

（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点

，求点P 的坐标．

【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 详解：（1）因为，

，所以A 可逆，

从而

．

（2）设P (x ，y )，则

，所以

，

因此，点P 的坐标为(3，–1)．

点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 3、（2017江苏卷）已知矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1002.

(1) 求AB ；

(2) 若曲线C 1：x 28＋y 2

2＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．

规范解答：(1) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1002， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0210.

(2) 设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨

⎪⎧

2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩

⎪⎨⎪⎧

x 0＝y ，y 0＝x 2.

因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 20

2＝1，

从而y 28＋x 2

8

＝1，即x 2＋y 2＝8.

因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.

4、(2016年江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 2，求矩阵AB .

规范解答 设B ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤a b c d ，

则B －1B ＝⎣⎢

⎢

⎡⎦

⎥⎥⎤1－120 2

⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b

c d ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a －1

2

c ＝1，b －12

d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1，

b ＝14，

c ＝0，

d ＝12

，所以B ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤1

14

012 .

因此，AB ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1

20

－2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1

14

012＝⎣⎢

⎢⎡⎦⎥⎥⎤1

540－1.

5、(2015年江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

x

1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．

规范解答 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y

0⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0.

从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)，令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－2，λ2＝1， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.

一、 二阶矩阵与平面向量 (1) 矩阵的概念

在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤

2 31

5，⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1，3， 42，0，－1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．

(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法 ① [a 11 a 12]⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]；

② ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.

二、. 几种常见的平面变换 (1) 当M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤1001

时，则对应的变换是恒等变换． (2) 由矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤k 001

或M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤100k

(k>0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换．

(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．

(4) 当M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

cosθ－sinθsinθ cosθ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．

(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．