第4章_随机信号的功率谱密度

为功率型平稳随机信号。 设 X( t )为功率型平稳随机信号。 由于随机信号的每一样本函数（ 或实现） 由于随机信号的每一样本函数 （ 或实现 ） 都是一个确 因此， 定的时间函数 x(t , ξ i ) ，因此，对于每个样本函数都可以求 得对应的功率谱密度函数， 得对应的功率谱密度函数，即 | xT (t , ξi ) |2 | XT (ω , ξi ) |2 GX (ω , ξ i ) = lim = lim ， T →∞ T →∞ 2T 2T
由付氏变换条件
∫
∞ −∞
可知， R X (τ ) d τ < ∞ 可知，平稳随机
必须满足： 过程 X(t )必须满足： 1. 不含直流分量； 不含直流分量； 2. 不含周期成分。 不含周期成分。 若含上述成分， 函数加以解决。 若含上述成分，则可引入 δ 函数加以解决。
§3 功率谱密度的性质
| X T ( ω , ξ ) |2 lim 因为各态历经平稳过程 G X ( ω ) = T → ∞ 因为各态历经平稳过程 2T
∫
T −T
x 2 ( t )dt
，
1 2T
∫
T −T
x 2 ( t )dt
若 x ( t ) , t ∈ [ −∞,+∞] , 则 总能量为： 总能量为：lim
T→∞
∫
T −T
x 2 ( t )dt < ∞
能量信号 功率信号
1 lim 平均功率： 平均功率： T →∞ 2T
∫
T
−T
x 2 ( t )dt < ∞
1/ 2
， 0 ≤ γ XY ( ω ) ≤ 1 。
当 X ( t ) = Y ( t ) 时，
γ XY ( ω ) = 1 。
§5 白噪声与带限白噪声
一、白噪声定义： 白噪声定义： 一个均值为零， 一个均值为零，功率谱密度在整个频域轴上为 非零常数， 非零常数，即
G N ( ω ) = N 0 / 2 , ω∈( −∞, + ∞)
1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T
+∞
∫
T −t
−T − t
[∫
T −T
T
−T
R X ( t , t + τ )dt ] e − jωτ d τ
1 = ∫ [ lim − ∞ T → ∞ 2T
∫
R X ( t , t + τ )dt ] e − jωτ d τ
1 令：R X ( τ ) = lim T → ∞ 2T
GN ( ω )
RN ( τ )
白噪声的相关系数： 白噪声的相关系数： ρ N (τ ) = C N (τ ) = R N (τ ) = δ(τ)
CN(0 ) RN ( 0 )
结论：同一时刻的白噪声才相关， 结论：同一时刻的白噪声才相关，即，任意不同时刻 的白噪声是不相关的。 的白噪声是不相关的。也就是说白噪声随时间变化极 功率谱极宽。 快，功率谱极宽。 引入白噪声概念的重要意义： 引入白噪声概念的重要意义： a) 白噪声在现实世界中是不存在的，它是对现实 白噪声在现实世界中是不存在的， 世界中随机噪声的一种理想化的近似； 世界中随机噪声的一种理想化的近似； ∵ 白噪声平均功率 P → ∞ b) 理论意义重大； 理论意义重大； 1. 可求系统性能的下界， 可求系统性能的下界， 2. 数学运算简便。 数学运算简便。
2
为偶函数 ∵ XT ( ω ) = XT ( ω )XT ( −ω )
2
∵ XT ( ω ) 已不含相位信息
2
∵ X T ( ω ) = X T ( ω ) X T ( −ω ) dX ( t ) GX′(ω)= ω2 GX(ω) ， 其中 ′( t ) = X dt
2
§4 互谱密度及其性质
一、 互谱密度 设 Z ( t ) = X ( t ) + Y ( t ) ，则 RZ ( t , t + τ ) = E {[ X ( t ) + Y ( t )][ X ( t + τ ) + Y ( t + τ )]} = R X ( t , t + τ ) + RY ( t , t + τ ) + R XY ( t , t + τ ) + RYX ( t , t + τ ) Y 单独平稳且联合平稳， 必然平稳，故有： 若 X( t )， ( t ) 单独平稳且联合平稳，则 Z ( t ) 必然平稳，故有： R Z ( τ ) = R X ( τ ) + RY ( τ ) + R XY ( τ ) + RYX ( τ ) ， 和 G Z (ω ) = G X (ω ) + GY (ω ) + G XY (ω ) + GYX (ω )
一个随机过程的功率谱密度函数为 随机过程的功率谱密度函数为： ∴一个随机过程的功率谱密度函数为：
| XT (ω, ξ i ) |2 | xT (t , ξ i ) |2 GX (ω) = E[G(ω, ξ i )] = E[lim ] = E[lim ] T →∞ T →∞ 2T 2T
GX (ω ) 称为随机过程的功率谱密度函数。由此可得随机过程的 称为随机过程的功率谱密度函数。
二、互谱密度的性质
∗ 1. G XY (ω ) = GYX ( − ω ) = GYX (ω ) 。
2. Re[GXY(ω )] 和 Re[G YX(ω )] 是
Im[GXY(ω )] 和 Im[G YX(ω )] 是
的偶函数； ω 的偶函数；
ω 的奇函数。 的奇函数。
满足： 因为任一复函数 f ( ω )满足：
1 lim 其中， 其中， → ∞ T 2T E [ X 2 ( t )]dt 为均方值的时间平均。 为均方值的时间平均。 ∫−T
T
X( t )为平稳过程时，则 E [ X 2 ( t )] = R X ( 0 ) = 常数， 为平稳过程时， 常数， 当 故有 1 +∞ 2 P = E [ X ( t )] = RX ( 0 ) = ∫−∞ GX ( ω )dω 。 2π
T
∴ RXT ( t1 ,t2 ) = E[ XT ( t1 )XT ( t2 )], −T ≤ ( t1 ,t2 ) ≤ T
1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T
∫ ∫
−T
+T
+T
Baidu Nhomakorabea
−T
R X T ( t 1 , t 2 )e − jω ( t 2 − t1 ) dt 1 dt 2
令： = t 1 ， τ = t 2 − t 1 ，则 t
确知信号的能量谱密度与功率谱密度 非周期信号的能量为： ∵ 非周期信号的能量为：
1 W = lim ∫ x ( t )dt = T → ∞ −T 2π
T 2 T
∫
∞
−∞
| X T ( ω ) | dω = ∫ | X T ( f ) | df
−∞
2
∞
2
其中, 为一付氏变换对; 其中 xT ( t ) ⇔ XT ( ω ) 为一付氏变换对
称为白噪声过程 简称白噪声 白噪声过程， 白噪声。 的平稳过程 N( t )，称为白噪声过程，简称白噪声。 W 其中， 为正实常数，单位： 其中， N 0 为正实常数，单位： Hz
白噪声的功率谱函数和自相关函数为： 白噪声的功率谱函数和自相关函数为：
N0 G N ( ω ) = 2 , ω ∈ ( −∞ ,+∞ ) N0 R N (τ ) = δ (τ ) 2
∫
T
−T
R X ( t , t + τ )dt
RX (τ ) 可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。 可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。
为平稳过程， 若 X( t )为平稳过程，则 RX ( t , t +τ ) = RX (τ )，故有
G X (ω ) =
∫
∞
−∞
R X (τ )e − jω τ dτ
为各态历经过程时， 当 X( t ) 为各态历经过程时，则 x( t,ξ ) = X( t ), 故有
| XT (ω , ξ i ) |2 GX (ω) = GX (ω , ξ i ) = lim 。 T →∞ 2T
两者依概率1相等。 两者依概率 相等。 相等
§2 功率谱密度与自相关函数的关系
2 −j t 由 X T (ω , ξ i ) = ∫−T xT (t , ξ i )e ω dt 与 | X T (ω , ξ i ) | = X T (ω , ξ i ) X T (−ω , ξ i ) 可证： 可证： 1 G X ( ω ) = lim E [ | X T ( ω , ξ i ) |2 ] T →∞ 2T T 1 T jω t1 xT ( t1 , ξ i )e dt1 ∫ xT ( t 2 , ξ i )e − jω t 2 dt 2 ] = lim E [ −T T →∞ 2T ∫−T 1 T T E [ X T ( t1 ) X T ( t 2 )]e − jω ( t 2 − t1 )dt1dt 2 = lim T → ∞ 2T ∫−T ∫−T
第四章 随机信号的功率谱密度
§1 功率谱密度 信号可用能量特征来加以区别。 信号可用能量特征来加以区别。 能量信号：总能量为有限值而平均功率为零的信号； 能量信号：总能量为有限值而平均功率为零的信号； 功率信号：平均功率为有限值而总能量为无穷大的信号。 功率信号：平均功率为有限值而总能量为无穷大的信号。 例如： 若 x ( t ), t ∈ [ −T , T ] , 则 例如： 信号能量为： 信号能量为： 平均功率为： 平均功率为：
4. 若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值 是两个不相关的平稳过程， 和 是两个不相关的平稳过程 mX 和 mY ， 则
G XY (ω ) = GYX (ω ) = 2π m X mY δ (ω )
三、 相干函数定义
γ XY ( ω ) =
G XY ( ω ) [ G X ( ω )GY ( ω )]
Re[ f ∗ ( ω )] = Re[ f ( ω )]
Im[ f ∗ ( ω )] = − Im[ f ( ω )]
3. 若平稳过程 X ( t ) 和 Y ( t ) 相互正交，则有 相互正交，
GYX (ω ) = 0 和 G XY (ω ) = 0 。
相互正交的条件为： R ∵平稳过程 X( t )和Y ( t ) 相互正交的条件为： XY (τ ) = 0
GX (ω ,ξi ) 称为样本函数的功率谱密度函数。 称为样本函数的功率谱密度函数 样本函数的功率谱密度函数。
由于随机信号的随机性，各样本函数不同， 由于随机信号的随机性，各样本函数不同，故任一样本 函数对应的功率谱密度函数都不能用来代表随机过程的功 率谱密度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个样本 率谱密度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个样本 函数的功率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率 函数的功率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率 谱密度函数才是合理的。 谱密度函数才是合理的。
平均功率： 平均功率： 1 +∞ P= ∫−∞ GX ( ω )dω 2π 1 T 1 T 2 = lim ∫ E [ xT ( t , ξi ) ]dt = lim ∫ E [ X 2 ( t )]dt T →∞ 2T −T T →∞ 2T −T E [| XT ( ω , ξi ) |2 ] 1 +∞ dω = ∫−∞ Tlim →∞ 2π 2T
2 1 ∞ Parseval定理 ∫−∞ x ( t )dt = ∫−∞ | XT ( ω ) | dω 。 定理 2π +∞ 2 T
| XT ( ω ) |2 为能量谱密度函数，由能量与平均功率的关系 为能量谱密度函数， 故
P = lim ∫
T
T → ∞ −T
2 xT ( t ) 1 dt = lim T →∞ 2π 2T
G 其中， XY (ω ) = 其中，
∫
∞
称为X(t) 和 Y(t) 的互谱密度。 的互谱密度。 称为
−∞
R XY (τ )e − jωτ dτ ， GYX (ω ) =
∫
∞
−∞
RYX (τ )e − jωτ dτ
Y 单独平稳和联合平稳不能相互推论。 注意： 注意：X( t ) ， ( t )单独平稳和联合平稳不能相互推论。
| X T ( ω ) |2 ∫−T 2T dω
T
由此可定义其功率谱密度函数为： 由此可定义其功率谱密度函数为：
| X T ( ω ) |2 G ( ω ) = lim 。 T →∞ 2T
为一功率信号， ∴ 若 x( t )为一功率信号，则其功率谱密度函数为 | X T ( ω ) |2 G ( ω ) = lim T →∞ 2T 问题：对确知的功率信号有上述的结论。 问题：对确知的功率信号有上述的结论。而对功率型的平 稳随机信号情况如何呢？ 稳随机信号情况如何呢？
1. 2. 3. 4. 5. 6.
非负性， 非负性，GX(ω)≥0 ； GX(ω)为实函数； 为实函数； 为实函数 GX(ω)为偶函数； 为偶函数； 为偶函数 GX(ω) 为有理函数； 为有理函数； GX(ω)不含相位信息； 不含相位信息； 不含相位信息
∵ E [ X T (ω ) ] ≥ 0
2
∵ XT ( ω ) 为实函数