第五章-戴蒙德模型

戴蒙德模型的设定（续）
对厂商来说，生产的假设与前面相同。一个社会中存在着众多 厂商，每个厂商具有生产函数Yt=F(Kt,AtLt)。F(•)具有不变的规模 报酬并满足稻田(Inada)条件，并且A再次以外生速率g增长。市场是 竞争性的，因此劳动与资本可获得其边际产出，厂商获得零利润。 不存在折旧。真实利率与每单位有效劳动的工资由rt f ' kt 和 wt f kt kt f ' kt 确定。最后，存在一些初始的资本存量k0，它们由 一切老年个人均等地持有。 在初始时期内，由老年人拥有的资本与年轻人供给的劳动被结 合起来生产产出。老年人消费其资本收入与现存财富，然后他们在 模型中消失。年轻人则把他们的劳动收入wtAt分配在消费和储蓄上。 他们把其储蓄带入下一时期，因此在t+1时期内资本存量Kt+1等于t时 期年轻人的数量Lt乘以这些个人的储蓄wtAt- C1t。这种资本与下一代 的年轻人供给的劳动相结合，这个过程不断延续。
1 /
1
于r是递增的；如果θ>1，s关于r是递减的。 r的上升具有收入与替代双重效应。如果两个时期消费之间的替代

1 2 / <1，s关 1 r ，因此如果θ
对第二时期的消费而言是有利的【跨期替代弹性较大】，将使人们趋向于增
加储蓄(替代效应)。如果既定的储蓄量会带来第二时期的更大消费， 这将使人们倾向于减少储蓄(收入效应)。因此，当人们十分乐于【富有
上式中C1t与C2t+1的一阶条件是：
C t
( )
( )
C t rt
把式（5-32）代入式（5-33）得：
C C t t rt ( )
将式(5-34)整理后也就可以得到式(5-30)相同结果。
将上式变型后，得到 ：
1 C1t 1/ 1 / 1 1 rt 1
1/
wt At （5-36）
方程(5-36)表明利率决定了第一时期的单个消费者的收 入份额。设s(r)表示收入被储蓄的部分，那么式(5-36)则意 味着： 1 /
第五章 无限期界与代际交叠模型
第一节 拉姆齐问题 第二节 拉姆齐模型的动态分析 第三节 代际交叠中的两期寿命 第四节 戴蒙德模型的动态分析
第三节 代际交叠中的两期寿命
戴蒙德模型的设计
戴蒙德模型也称为代际交叠模型，它与拉姆齐模型一起被称为是 以微观为基础的两个宏观经济学基本模型。这是戴蒙德(Damond， 1965)在阿莱(Allais，1947)和萨缪尔森(Sanuelson，1958)早期研究 成果基础上建立的。戴蒙德模型与拉姆齐-卡斯-库普曼模型之间的主 要差异是存在着人口的新老交替，而不是一个数量固定的永久性生存 的家庭【他们的效用函数也是相同的】。在这一模型中，新的人口不断出生，老 的人口不断消亡。 为了简化分析，模型假设每个人只活两期，即年轻期与老年期。 Lt代表t时期出生的人。如果人口以速率n增长，则Lt＝(1+n)Lt-1 。由 于个人只生活两个时期，因此在t时期，存在Lt个正处在他们生命第 一时期的个人，并且存在 Lt 1 Lt 个正处在其生命的第二时期 1 n 的个人。每个人在其年轻时供给一单位的劳动，并且将所得到的劳动 收入在第一期的消费与储蓄之间进行分配。在第二时期，个人只是简 单地消费其获得的储蓄与利息。
如果个人正在进行最优化，效用成本与变动的收益必定是相等的。如
果成本小于收益，个人会通过作出改变而增加其终生效用；如果成本 大于收益，个人则通过作出相反的改变而增加效用。
第三节 代际交叠中的两期寿命
方式一：欧拉方程（续）
t
C1t与C2t+1对终生效用的边际贡献分别是 C 与
C t
第三节 代际交叠中的两期寿命
家庭行为
根据上述假设，可以分析戴蒙德模型中的家庭行为。可知 在t时刻出生的人的第二期消费如下列公式所示：
C2t 1 1 rt 1 wt At C1t （5-26）
当上式的两边同时除以(1+rt+1)并把C1t移到左边，可以得到 如下的预算约束：
b
kt
第四节 戴蒙德模型的动态分析
kt 1
图5-4c表明如果k的初始值是
充分低的，k收敛于零，但如果k 的初姑值充分高，k收敛于一个严
格为正的水平。如果k0< k1*，那
么k趋于零，如果k0> k1*，则k收 敛于k2* 。
k1
c
k2
kt
第四节 戴蒙德模型的动态分析
' f ( k ) k f ( kt ) 1 ' t t k t 1 s( f (kt 1 )) f ( kt ) (1 n)(1 g ) f ( kt )
第三节 代际交叠中的两期Baidu Nhomakorabea命
方式一：欧拉方程
由于戴蒙德模型是关于离散时间的，因此欧拉方程的推导较之 拉姆齐模型更为容易。设想如果个人将消费C1t减少了较小的数量ΔC，
接着利用新增的储蓄与资本收入把C2t+1提高了(1+rt+1)ΔC。这种改变
并不影响个人终生消费流的现值【即新增部分的贴现值等于当前减少值】。因此，
第三节 代际交叠中的两期寿命
方式二：拉格朗日函数（续）
可以利用欧拉方程与预算约束写出用劳动收入与实际利率表 达的C1t。将式（5-30）两边乘以C1t ，并代人预算方程可以得到 下式： 1 /
C1t
1 rt 1 1/ 1
C1t wt At （5-35）
第四节 戴蒙德模型的动态分析
k t 1
kt 1
f ( kt ) kt f ( kt ) 1 ' s( f ( kt 1 )) f ( kt ) (1 n)(1 g ) f ( kt )
图5-4a表明了存在k的多个 值的情形。很显然，k1*和k3*是 稳定的，k2*是不稳定的。如果
第三节 代际交叠中的两期寿命
方式二：拉格朗日函数
构造拉格朗日函数去求解这个的最大化问题：
1 1 C1 1 C2 1 t t 1 = wt At C1t C2t 1 （5-31） 1 1 1 1 rt 1
(5 28)
C2t 1 1 rt 1 （5-29） C1 1 t

C2t 1 1 rt 1 （5-30） C1t 1
1/
这个条件与预算约束描述了家庭中个人的行为。式(5-30)与拉 姆齐模型中的欧拉方程类似，它意味着个人消费是否随着时间的变 化递增或递减---这取决于实际报酬大于还是小于贴现率【即权重】。 公式中的θ决定了个人如何对r和ρ之间的差异作出反应，这种反 应直接造成了消费行为的变化。
弹性意味着偏好于跨期替代】在两个时期进行消费替代以利用报酬率（上升）
的激励(即θ低)，替代效应相对占优。当个人对两个时期内的相似消 费水平有强有力的偏好时(即θ高) ，收人效应相对占优。θ＝1是对 数效用的特殊情况【即边际效用递减速率与θ无关 】，储蓄率是常数，仅取决于 贴现率或权重。
第四节 戴蒙德模型的动态分析
产量占劳动收入的比重与劳动
收入中储蓄所占的比重不变， 则不可能出现多个k*。例如服

从柯布-道格拉斯生产函数和对
k1
a
k2
k3 kt
数效用，则k*是惟一的【附录】。
附录：平衡增长路径(对数效用和柯布-道格拉斯生产函数)
第四节 戴蒙德模型的动态分析
kt 1
图5-4b表明了一个kt+1总是小于 kt的情景。在这种情况下，无论k的 初始值如何，k都会收敛于零。这种 情景发生的必要条件是，随着k趋于 零，或者劳动的收入份额或劳动收 入中被储蓄的份额趋于零。
1 C1t C2t 1 wt At （5-27） 1 rt 1
这个条件表明，终生消费的现值等于其初始财富(为零)加上终 生劳动收入的现值(即wtAt)【模型开始时刻有初始财富，以使老年者有消费能力(更符合 实际)，其后任意时刻t没有初始财富，老年者的消费能力来自自己年轻时的储蓄】。 在式(5-27)的预算约束下，个人按式(5-25)最大化其效用。求 解这个最大化问题有两种方式：第一种方式是沿用拉姆齐模型中的 欧拉方程式进行推导。第二种方式是构造拉格朗日函数求解最大化 问题。
K t At Lt
kt 1
1 n 1 g
1
s rt 1 wt （5-39）
代换rt+1和wt可以获得：
kt 1
1 n 1 g
1
' s f ' kt 1 f k k f （5-40） kt t t
sr
1 rt 1 （5-37） 1/ 1 / 1 1 rt 1
第三节 代际交叠中的两期寿命
方式二：拉格朗日函数（续）
式(5-37)意味着，年轻人的储蓄是随着 1 rt 1 1 / 的递增而递增的。
由于
1 rt 1 关于r的导数是
这个函数是为了平衡增长所需要的。由于生命是有限的，不再
假设ρ>n+(1-θ)g以确保终生效用不再发散。ρ代表权重【分析上的意
义相当于贴现率】，如果ρ>0，则个人给第一时期的权重大于第二消费
时期，如果ρ<0，则情形相反。同时需要假设ρ>-1 ，以确保第二
消费时期的权数为正。
第三节 代际交叠中的两期寿命
。设
ΔC趋于零，变动的边际成本就趋于 Ct C ，并且效用收益接近
。当个人正在进行最优化时，它们是相等的。因此， C t ( rt ) C
最优化要求：
1 C2 t 1 (1 rt 1 ) C 1 两边同时消去ΔC可得：
C1 t C
第四节 戴蒙德模型的动态分析
为了直觉上理解的方便，把式(5-40)改写如下：
kt 1
1 n 1 g
1
s f ' kt 1
f kt kt f ' kt f kt （5-41） f kt
式（5-41）把t+1时期的单位有效劳动的资本表示为四个 子项的乘积。从右至左，这四个子项的内容如下：在t时期单 位有效劳动的产出；支付给劳动的产出份额；劳动收入中被储 蓄的部分；以及t时期有效劳动量与t+1时期的有效劳动量之比。
第三节 代际交叠中的两期寿命
戴蒙德模型的设计（续）
设C1t与C2t代表年轻与年老两代人在t时期的消费。这样，在t 时期出生的人的效用依存于C1t与C2t+1【指t+1时期年老者的消费，不是2乘以t+1】。 再次假设不变相对风险厌恶效用函数为：
1 1 C1 C 1 2t 1 Ut t （5-25） 1 1 1
kt 1
ka
d
kb
kt
图5-4d表明在kt+1并不是唯一地由kt决 定的情景：当kt处在ka和kb之间时，总会存 在kt+1的三个可能值：如果储蓄是利率的一 个减函数，这种情景就可能发生。当储蓄关 于r是递减的时候，如果个人预期一个较高 的kt+1的值，并因此预期r是较低的，那么储 蓄将很高。当个人预期一个较低的kt+1值时， 储蓄就很低。如果储蓄对r作出充分的反应， 并且如果r对k作出充分的反应，那么必然存 在一个以上的同既定水平的kt相一致的kt+1 值。因此，这时经济的路径是不确定的，即 使没有外部冲击，经济也会波动。
从动态角度看，戴蒙德模型中的k的运动和演化可以说明很多问
题。由于t+1时期的资本存量等于t时刻年轻人的储蓄量，因此有：
Kt s(rt ) Lt At wt
( )
这里，t时刻的储蓄依存于该时刻对下个时期资本报酬的预期。这 便是t时期的w与t+1时期的r进入t+1时期的资本存量的表达式。 将式(5-38)两边除以Lt+1At+1，得到一个关于每单位有效劳动 的表达式：