基于LMI的Lipschitz非线性不确定系统的鲁棒控制

等 ： ［ Ｔ ］ ｌ ］ 式 Ｆ 足 式Ｓ ｓ ， ｌ ：［ ＜ 中 满 ＋— ￡ ： ０ ｌ ＤＲ Ｅ 。
ＦｒｔＦ（） （ ） ｔ ≤Ｒｌ ３ 】 。
在常数 ＞ ， ＞ 使 ｌ Ａ ｌ ｘ，ｌ ｌ ａ 函数 ０ Ｏ ｌ ≤／ Ｉ △ ｌ △ ｌ ≤Ｐ ；
ｆｘ，） 非 线 性 光 滑 向量 函数 且 满 足 Ｌｐｃｉ 条 件 ： （ ｔ是 ｉｓｈｔ ｚ Ｉ（ ｔ 一 Ｉ ） ｆ ｔ Ｉ Ｉ 一 ， 任意 ｔ ）＿ ≤ Ｉ ｚｌ对 － ｌ ∈Ｒ成立 ， 其 中 为 Ｌｐｅｉ 常数 。 ｉｓｈｔ ｚ 根据 全维 观测 器设计方 法 观测器 设计 如下
王￡＝ ｆ＋ ｕｔ＋ （ ｔ＋ （（ 一 ｆ） （） Ａ （） Ｂ （） ， ） Ｇｊ ｃ （） ， ，）
（） （） ＝ ￡ （） ２
式 中：为估计状态 ；为系统输出估计值 ； Ｇ为观测增 益 矩 阵。 设 状态 反馈控 制器 为
Ｕ ｔ ＝ＩＣｔ （） Ｃ （） Ｓ （） ３
假 设 １ 对 于系统 状态参数 的不确定 时变矩 阵
Ｚ 满足 ｋ ４，
［４， ］ ＤＦ（） １ ］ ｚ ＝ ｔ ， ２
式中： Ｅ ， 已知适 当维数实常值矩阵。 （） Ｄ， 是 Ｅ Ｆ 为由 Ｌｂｓｕ 可测 函数构 成 的未知 矩阵 ， 足 Ｆｒ ） ≤ ｅｅｇｅ 满 （ Ｆ（） Ｊ 这里 Ｊ 是适当维数的单位矩阵。
第２ ９卷
第 ６期
中 国 民 航 大 学 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＶＩ ＡＶＩ ＯＦ ＣＩ Ｌ ＡＴＩ ＯＮ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ ＯＦ ＣＨＩ ＮＡ
Ｖｏ ． ９ １ Ｎｏ６ ２ ．
２１ ０ １年 １ ２月
Ｄｅ ｅ ｅ ２ ｅ ｍｂ ｒ ０１ １
基于 Ｌ ＭＩ Ｌ ｐ ｃ ｉ 的 ｉｓｈｔ ｚ非线 性不 确 定 系统 的鲁棒 控 制
式 中
１≤１ ｌ 。
Ｋ是 反馈 增 益矩 阵 ； 系统 观 测 的估 计误 差 为 ：（） 设 ｅｔ＝ ｘ ｔ一 （）两边求 导得 ｅｔ＝ （） 王 ， （） 王 ， （） ｘ ｔ一 （） 由式 （ ） ２得
（） Ａ ＋曰 ＋， ，） ， ｅ ｔ ｆ ＝（ Ｋ）（） 。 ｔ ＋Ｃ （） １ ［ Ｃ
关 键 词 ： ｉｓｈｔ； 线 性 系统 ； 棒 性 ； 测 器 ； 性 矩 阵 不 等 式 Ｌｐｃ ｉ 非 ｚ 鲁 观 线
中 图分 类 号 ： Ｐ ７ ；Ｐ ３ Ｔ ２ ３ Ｔ １ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：１ ７ — ５ ０ ２ １ ｝４ ０ ６ — ４ ６ ４ ５ ９ （ ０ Ｏ — ０ １ ０ １
巩长忠 ， 罗剑波
（ 中国民航 大学理 学院， 天津 ３０ ０ ０ ３０）
摘
要 ：在 常 态 Ｌｐｅ ｉ 非 线 性 的 基 础 上 ， 虑 状 态 参 数 不 确 定 性 。 针 对 这 类 Ｌｐｃ ｉ 线性 系统 的反 馈 控 制 问 ｉｓｈ ｚ ｔ 考 ｉｓｈｔ ｚ非
题 ， 用 Ｌ ａｕ ｏ 运 ｙ ｐｎ ｖ方 法 给 出 了该 系统 渐近 稳 定 的充 分 条 件 ， 并提 出 了应 用 线 性 矩 阵 不 等 式 （ ＭＩ来 求解 优 Ｌ ） 化反 馈 增 益矩 阵 ， 过 定 理和 Ｍａ ａ 通 ｔ ｂ仿 真 实例 得 出设 计 的 观 测 器有 效 ， 有 良好 的稳 定 性 和 鲁棒 性 。 ｌ 具
条件 ， 文献ｉ一】 ｔ ６均是对 系统参数确定的情况来讨论 ， 这 类 Ｌｐｃ ｉ 非 线性 系统 观测 器 的设 计 已 日益 完 备 ， ｉｓｈｔ ｚ
但 对 状 态 参 数 具 有 不 确定 性 的 Ｌｐｃｉ 线 性 系 统 ｉｓｈｔ ｚ非
收 稿 日期 ： ０ １０ — ４ ２ １— ５ ０ ；修 回 日期 ：０ １ ０ － ８ ２ １－ ７ ０
划 问题 ， 已有成 熟 的计 算 方法 及 Ｍａａ 件 ， 现 ｔ ｂ软 ｌ 因而
测 器 的 Ｌ 设 计 方 法 ； 献 ｆ１ 对 状 态 参 数 确 定 的 ＭＩ 文 ４针 Ｌｐｃ ｉ 非 线性 系统 ，提 出 了闭环 系统 观 测器 的 Ｌ ｉｓｈｔ ｚ ＭＩ
计算起来十分简便 ， 而且不必考虑观测器 的特征值是 否有 重根 等 限制条 件 。
Ｒｏ ｕｓ ｅ ｄｂ ｃ ｏ ｒ ｌｂ ｂ ｔｆ ｅ ａ ｋ ｃ ｎｔ ｏ ｙ ＬＭ Ｉｆ ｒ ｌ ｃ ｉｚ ｎｏ ｌｎｅ ｒ ｕｎ ｏ ｉ ｈ ｔ ｎ ｉ ａ ｋｎｏ ｙ ｔ ｍ ｓ ｐｓ ｗｎ ｓ ｓｅ
ＧＯ ｈ ｎ － ｈ ｎ ＬＵＯ Ｊａ － ｏ ＮＧ Ｃ ａ ｇ ｚ ｏ ｇ， ｉｎ ｂ （ ｏｅｅｏ Ｓ ｉｒｅ Ｃ Ｃ Ｔａｊ ０ ３ ０ Ｃ ｉａ Ｃ ｌｇ ｃ ￣ ， ＡＵ ， ｉ ｉ ３０ ０ ， ｈｎ ） ｌ ｆ ｅ ｎｎ
＝
进一步 ， 通过转化令 ， ＝ ｘ＋ （ ｔ 一Ｗ ， ａ ｔ Ｗ ， ， ） ） ｘ设 ｆ Ｌ 知识 ， 辅 助系统 （ ） ＭＩ 对 ７ 有下 面定 理 。 ， ， 一Ｗ ， 为逼近误差 ， 为适当维数 的常数 （ ｔ ） ｘ ｗ
（） Ａ ＋ Ａ＋（ ＋ ｋ Ｘ） （） ｔ ＝（ △ ＺＢ） ｘ ｔ ＋
（Ⅵ （） ６ （） ≤ ６ ｆ） Ｗ ） （
（ ｘ ｔ ） Ｗ， （） Ｗ， （） ｘ ｔ） （
（） ８
（） ４
２ 主 要 结 果
（） ５
ｆｘ，） ＋ ） ｅ ｔ （ ｔ 一（ △ Ｋ （）
式 中 ： Ｃ是 适 当维 数 的 常数 矩 阵 ； （ 配， 是 Ｌｐ— Ａ， ｆｘ， ￡ ） ｉｓ ｃｉ 非线 性 函数 。 ｈｔ ｚ
但在实际中， 非线性系统的状态参数往往具有不
（５ ｄ ３ ） ０ ｑ Ｏ ｘ
基 金 项 目 ： 国 民 航 大 学 科 研启 动 ￣ 中
作者简 介： 巩长忠（ ９ ９ ）男 ， １５ 一 ， 山东蓬莱人 ， 教授 ， 士 ， 博 研究方 向为非线性系统控制与模糊控制．
状 态观测器设计是非线性控制 领域的重要问题 之一 ， 近几十年来 ， 观测器理论越来越成熟完善 ， 对于 Ｌｐｃｉ 非 线性 系统 的观测 器研 究 国 内外学 者也 取 得 ｉｓｈｔ ｚ
了很 多 的成果 【 。 献［】 Ｌｐｃｉ 非线 性系 统不 确 文 １ 对 ｉｓｈｔ ｚ 定日 输人 的观测 器进 行 了设 计 ， 出 了一 种 日 制 给 控
．
ｆ ｅ ｂ ｃ ｏ ｔｏ ｒ ｂ ｅ ｔ ｉ ｃａ ｓｏ ｉ ｓ ｈ ｔ ｏ ｌ ｅ ｒｓ ｓｅ ｘ ｒ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ ｎ ｒ ｐ ｓ ｄ ｅ ｄ ａ ｋ ｃ ｎ ｒ ｌ ｏ ｌｍ ｏ ｔ ｓ ｌ ｓ ｆＬ ｐ ｃ ｉ ｎ ｎ ｉ ａ ｙ ｔ ｍｓ ｅ ｅ ｔ ｏ ｆＬ ａ ｕ ｏ ，ａ ｄ ｐ ｏ ｏ ｅ ｐ ｈ ｚ ｎ ｔ ａ ｐ ｏ ｉ ｔｌ ｔａ ｙ ｓ ｆ ｃｅ ｔｃ ｎ ｉ ｏ ．Ｃ ｍｂ ｎ ｄ ｗｉ ｅ ｔ ｅ ｒ ｆ Ｌ ｏ ｓ ｌ ｅ ｔ ｅ ｏ ｔ ｍ ｅ ｄ ａ ｋ ｐ ｒ ｘｍａｅ ｙ ｓ ｄ ｕ ｉｎ ｏ ｄｔ ｎ ｏ ｉ ｅ ｔ ｔ ｈ ｏｙ ｏ ＭＩｔ ｏｖ ｐ ｉ ｅ ｉ ｉ ｈｈ ｈ ｍｕ ｆ ｅ ｂ ｃ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｃ ｎ ｉ ｅ ｔ ｎ ｅ ｔｉ ｔｔ ａ ａ ｔｒ ｂ ｓ ｎ ｎ ｒ ｌ Ｌ ｐ ｃ ｉ ｏ ｌ ｅ ｒ ｓ ｓｅ ｓ ｃ ：Ｔ ｉ ａ ｅ ｏ ｓｄ ｒｗｉ ｕ ｃ ｒ ｎ ｓａ ｅ ｐ ｒ ｍｅ ｅ ａ ｅ ｏ ｏ ｍａ ｉ ｓ ｈｔ ｎ ｎ ｉ ａ ｙ ｔ ｍｓ Ｔ ｅ ｒ ｂ ｓ ｒ ｈ ａ ｚ ｎ ｈ ｏｕｔ
成 立 的充 分必 要条 件是 ： 在 ｓ ０满 足下 面 的矩 阵 不 存 ＞
量 ；（） Ｒ 为输入变量 ； Ｈ ∈ ｐ 矩阵 Ａ， ｃ分别为适当维 ，
数 的常数 矩 阵 ；Ａ，曰是 适 当维数 的时变矩 阵 ，表示 △ △ 在 系统 状态 模 型 中参 数不 确定 性 ， 但其 模 有界 ， ： 即 存
的新 方 法 ； 文献 【】 出 了 Ｌｐｃ ｉ 非 线 性 未知 输 入 观 ２给 ｉｓｈｔ ｚ
观测 器及其 反馈 控制 问题讨 论 的很少 。本 文采用 Ｌ ａ ｕ ｏ 稳 定 性 理 论 及 Ｌ 理论 对 该 系 统 观 测反 馈 ｙｐ ｎ ｖ ＭＩ 输 人 控 制 问题 进 行讨 论 ，给 出 了观 测 误 差 稳定 的条 件， 并将观测器的设计问题转化为一组线性矩阵不等 式的求解问题 。由于线性矩阵不等式的求解为一凸规
一
６ ２一
中 国 民 航 大 学 学 报
确定性 。 因此 ，本 文研 究 系统状 态不 确定 的 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ
非 线性 系统 ， 具有 下列形 式 ｘ ｔ ＝（ ＋ Ａ）（） 曰＋ ） （） ． ，） （） Ａ △ ＋（ △ ｕ ｔ ＋ ｔ ｙ ｔ ＝Ｃ （） （） ｘ ｔ （） １
假设 ２ 存 在有 界矩 阵 △ 使得 下 面的不 等 式成 ｗ 立 ：ｌ 厂ｌ≤ Ｉ 骶 （）ｌ， ｌ Ｉ ｌ ４ △ Ｉ 对于 所有 的状 态 向量 ｘ ｔ， （） 有界 矩 阵 △ｗ 表示 ）
（ 骶 （） △ （） ≤ △ ） 骶 ￡） （
ｐ ｕ ｔ ｘ ｈ ｒ ｓ ｎｅ ｈ ｏ ｎ ｔ ｂ ｉ ｓａ ｃ ａ ｏ ｉ ｅ ｕ ｔｗｈ ｃ ｈ ｓ ｃａ ｓ ｏ ｉ ｓ ｈ ｔ ｌ ｓ ｍａｒ ．Ｔ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ｔ ｅ ｒ ａ ｄ Ｍａｌ ｎ ｔ ｎ ｅ ｈ ｄ ｇ ｔ ｍａｎ ｒ ｓ ｌ ｉ ｙ ａ ｉ ｈ ｔ ｉ ｌｓ ｆ Ｌ ｐ ｅ ｉ ｚ
设计方法 。文献［ 特别针对求解允许最大的 Ｌｐｃｉ ５ 】 ｉ ｈｚ ｓ ｔ 常数 ， 运用梯度下 降法和 Ｓ ｖｓ ｒ ｌ ｅ ｅ 方程 ， ｙ ｔ 计算极小化 条 件 数 ，从 而 达 到 优 化增 益 矩 阵 和求 解 Ｌｐｃｉ 常 ｉｓｈｔ ｚ
数。 文献 【— 】 出 了不 同的关 于 Ｌｐｃｉ 常数 满 足某 ５ ６给 ｉｓｈｔ ｚ
１ 系统描述与预备知识
目前 ， 多数 文 献 研究 的 Ｌｐｃｉ 非 线性 系统 大 ｉｓｈｔ ｚ
是下列 形式 ｘ ｔ ＝ ｘ ｔ ＋ ， ｔ （） Ａ （） Ｕ，） Ｙ ｔ ＝Ｃ （） （） ｘ ｔ
不等式 的条件下， 系统能渐近稳定的充分条件。
关 于 Ｌｐｃｉ 非线 性 系 统 的观 测器 设 计 问题 ， ｉｓｈｔ ｚ 目 前 一 般 采用 Ｌａｕ ｏ 论 来 获得 观测 误 差 的稳 定 性 ｙｐｎｖ理
ｎ ｎ ｉ ｅ ｎ ｎ ｗ ｙ ｔ ｍｓｈ ｖ ｌ ｓａ ｉ ｔ． ｏ ｌ ａ ｕ ｋ ｏ ｎ ｓ ｓｅ ａ ｅｗｅｌ ｔｂ ｌ ｙ ｎｒ ｉ Ｋｅ ｒ ｓ ｉ ｓ ｈ ｔ ；ｎ ｎｉ ｅ ｒｓ ｓｅ ；ｒｂ ｓ ；ｏ ｓ ｒ ｅ ；Ｌ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｌ ｐ ｃ ｉ ｚ ｏ ｌ ａ ｙ ｔｍｓ ｏ ｕ ｔ ｂ ｅｖ ｒ ＭＩ ｎ
＜０， Ｓ¨一Ｓｌ ２ ２ ＜０ 。 ２ ～Ｓ ｌ 嗍
引理 ３ 对 具 有 适 当维 数 的 常数 矩 阵 Ｄ， Ｅ及 对
称常数矩阵 Ｓ 有矩阵不等式 ，
＋ＤＦ（） ｒ ｔ ＜０ ｔＥ＋ Ｆ （） Ｄ
其 中 ，（） 系 统 状 态 向量 ； （） Ｒ 为输 出变 ｘ ｔ ∈Ｒ 为 Ｙ ｔ∈ ｑ