导数的求导法则切线计算(教师用)

第10讲 变化率与导数、导数的计算
、
知 识 梳 理
1．基本初等函数的导数公式
2.导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．
(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．
(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f (x )
g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．
3．复合函数的导数
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(u)·v′(x)．
[感悟·提升]
1．“过某点”与“在某点”的区别
曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
2．导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，如(4)．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).
考点一 导数的计算
【例1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ·cos x ； (2)y ＝x －sin x 2cos x
2； (3)y ＝ln (2x ＋1)
x
.
解 (1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x . (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －1
2sin x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12sin x ′＝1－12cos x .
(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2
＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x
2x ＋1－ln (2x ＋1)
x 2
＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)
(2x ＋1)x 2
.
规律方法 (1)本题在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误；②不能正确运用求导公式和求导法则，在第(3)小题中，忘记对内层函数2x ＋1进行求导．
(2)求函数的导数应注意：
①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量； ②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．
③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．
【训练1】 (1)(2013·江西卷改编)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.
(2)若f (x )＝3－x ＋e 2x ，则f ′(x )＝________. 解析 (1)令e x ＝t ，则x ＝ln t ， ∴f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x .
因此f′(x)＝(ln x＋x)′＝1
x＋1，于是f′(1)＝1＋1＝2.
(2)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(×)
(3)(教材习题改编)函数y＝x cos x－sin x的导函数是y′＝－x sin x．(√)
(4)[f(ax＋b)]′＝f′(ax＋b)．(×)
考点二导数的几何意义
【例2】(1)(2013·广东卷)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
(2)设f(x)＝x ln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为____________________．
解析 (1)函数y ＝kx ＋ln x 的导函数y ′＝k ＋1
x ， 由导数y ′|x ＝1＝0，得k ＋1＝0，则k ＝－1. (2)因为f (x )＝x ln x ＋1， 所以f ′(x )＝ln x ＋x ·
1
x ＝ln x ＋1. 因为f ′(x 0)＝2，所以ln x 0＋1＝2， 解得x 0＝e ，所以y 0＝e ＋1.
由点斜式得，f (x )在点(e ，e ＋1)处的切线方程为y －(e ＋1)＝2(x －e)，即2x －y －e ＋1＝0.
答案 (1)－1 (2)2x －y －e ＋1＝0
规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．第(1)题要能从“切线平行于x 轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力．
(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q (a ，b )是否为切点，若已知点Q (a ，b )不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．
【训练2】 (1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________________．
(2)若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )． A ．0 B ．锐角 C ．直角 D ．钝角
解析 (1)∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·
3
x ＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. (2)f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )， ∴f ′(1)＝e(cos 1－sin 1)．
∵π2>1>π
4.而由正余弦函数性质可得cos 1<sin 1. ∴f ′(1)<0，即f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率k <0， ∴切线的倾斜角是钝角．
答案 (1)4x －y －3＝0 (2)D
考点三 导数运算与导数几何意义的应用
【例3】 (2013·北京卷)设l 为曲线C ：y ＝ln x
x 在点(1,0)处的切线． (1)求l 的方程；
(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 审题路线 (1)求f ′(1)――→导数几何意义点斜式求直线l 的方程
(2)构建g (x )＝x －1－f (x )――→转化g (x )>0对x >0且x ≠1恒成立――→运用导数研究函数y
＝g(x)的性质―→获得结论
解(1)设f(x)＝ln x
x，则f′(x)＝
1－ln x
x2.
∴f′(1)＝1－ln 1
1＝1，即切线l的斜率k＝1.
由l过点(1,0)，得l的方程为y＝x－1.
(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．
g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝x2－1＋ln x
x2.
当0<x<1时，x2－1<0，ln x<0，
∴g′(x)<0，故g(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，x2－1>0，ln x>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．
所以除切点之外，曲线C在直线l的下方．
规律方法(1)准确求切线l的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线l的位置关系转化为函数g(x)＝x－1－f(x)在区间(0，＋∞)上大于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．
(2)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.
【训练3】(2014·济南质检)设函数f(x)＝a e x＋
1
a e x＋b(0<a<1)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3
2x，求a和b的值．
解(1)f′(x)＝a e x－
1
a e x＝
(a e x－1)(a e x＋1)
a e x.
令f′(x)＝0，得x＝ln 1 a>0.
当0≤x<ln 1
a时，f′(x)<0；
当x>ln 1
a，f′(x)>0.
∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln 1a 上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
ln 1a ，＋∞上递增．
从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ln 1a ＝2＋b .
(2)∵y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线为y ＝3
2x ， ∴f (2)＝3，且f ′(2)＝3
2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a e 2
＋1a e 2＋b ＝3a e 2
－1a e 2＝32
①②
解之得b ＝12且a ＝2e 2.
理解导数的概念时，要注意f ′(x 0)，(f (x 0))′与f ′(x )的区别：f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ′(x 0)是f (x )在x ＝x 0处的导数值，是常量但不一定为0，(f (x 0))′是常数一定为0，即(f (x 0))′＝0.
易错辨析3——求曲线切线方程考虑不周
【典例】 (2014·杭州质检)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )． A ．1 B.164 C ．1或164
D ．1或－1
64
[错解] ∵点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， ∴直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点O . 则k ＝f ′(0)＝2，直线l 的方程为y ＝2x . 又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切，
∴x 2＋a －2x ＝0满足Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，选A.
[答案] A
[错因] (1)片面理解“过点O (0,0)的直线与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切”．这里有两种可能：一是点O 是切点；二是点O 不是切点，但曲线经过点O ，解析中忽视后面情况．
(2)本题还易出现以下错误：一是当点O (0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l 的方程，导致解题复杂化，求解受阻．
[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．
(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.
又k ＝y 0x 0
＝x 20－3x 0＋2，
由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14， ∴所求切线l 的方程为y ＝－1
4x . 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，
得x 2＋1
4x ＋a ＝0.
依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝1
64.
[防范措施] (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P 的切线与在点P 处的切线的差异．
(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．
【自主体验】
函数y＝ln x(x>0)的图象与直线y＝1
2x＋a相切，则a等于()．
A．2ln 2 B．ln 2＋1 C．ln 2 D．ln 2－1
解析设切点为(x0，y0)，且y′＝1
x，∴＝
1
x0＝
1
2，则x0＝2，y0＝
ln 2.又点(2，ln 2)在直线y＝1
2x＋a上，
∴ln 2＝1
2×2＋a，∴a＝ln 2－1.
对应学生用书P247
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()．
A．－1 B．－2 C．2 D．0
解析f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2. 答案 B
2.
如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝
( )．
A ．2
B ．6
C ．－2
D ．4
解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2.
答案 A
3．(2014·济南质检)设曲线y ＝x ＋1x －1
在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )．
A ．2
B ．－2
C ．－12 D.12
解析 ∵y ′＝x －1－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，∴y ′|x ＝3＝－2(3－1)2＝－12，∴－a ＝2，即a ＝－2.
答案 B
4．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点横坐标为( )．
A ．－2
B ．3
C ．2或－3
D ．2
解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，∵y ′＝12x －3x ，∴
＝12x 0－3x 0
＝－12，即x 20＋x 0－6＝0，解得x 0＝2或－3(舍)．
答案 D
5．(2014·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )．
A.13
B.12
C.23 D ．1
解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程为y
＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，故围成的三角形的面积为12×1×23＝13.
二、填空题
6．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值为________． 解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，∴f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝2－1，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案 1
7．(2013·南通一调)曲线f (x )＝f ′(1)e e x －f (0)x ＋12x 2
在点(1，f (1))处的切线方程为________．
解析 f ′(x )＝f ′(1)e e x －f (0)＋x ⇒f ′(1)＝f ′(1)e e 1－f (0)＋1⇒f (0)＝1.在函数f (x )＝f ′(1)e e x －f (0)x ＋12x 2中，令x ＝0，则得f ′(1)＝e.所以f (1)＝e －12，所以f (x )在
(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋f (1)＝e x －12，即y ＝e x －12.
答案 y ＝e x －12
8．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为
非负数，则实数b 的取值范围是________．
解析 y ′＝x 2＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立，∴Δ＝4b 2－16≤0，∴－2≤b ≤2. 答案 [－2,2]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．
(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；
(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．
解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．
(1)由题意得⎩⎨⎧
f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，
解得b ＝0，a ＝－3或1.
(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，
∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，
∴a ≠－12.
∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10.
(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ，f (2)＝14，
曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8，
∴曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －14＝8(x －2)，即8x －y －2＝0.
(2)由已知得a >x 3＋10x 2＝x ＋10x 2，
设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，g ′(x )＝1－20x 3，
∵1≤x ≤2，
∴g ′(x )<0，∴g (x )在[1,2]上是减函数．
g (x )min ＝g (2)＝92，∴a >92，
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·北京西城质检)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()．
A．1 B．3 C．－4 D．－8
解析依题意，得P(4,8)，Q(－2,2)．
由y＝x2
2，得y′＝x.
∴在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.①
在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.②
联立①，②得点A(1，－4)．
答案 C
2．已知f(x)＝log a x(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C ＝f′(a＋1)，则()．
A．A>B>C B．A>C>B
C．B>A>C D．C>B>A
解析记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝f(a＋1)－f(a) (a＋1)－a
，
表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝log a x在点M处的切线斜率；C ＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝log a x在点N处的切线斜率．由图象得，A>B>C.
答案 A
二、填空题
3．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．
解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，
点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，
令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1
， ∴x 1·x 2·…·x 2 012＝12×23×34×…×2 0112 012×2 0122 013＝12 013，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…
＋log 2 013x 2 012
＝log 2 013(x 1x 2…x 2 012)＝－1.
三、解答题
4．(2013·福建卷改编)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．
(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；
(2)当实数a >0时，求函数f (x )的极值．
解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .
(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，
因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，
所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.
(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，x >0.
令f ′(x )＝0，得x ＝a >0.
当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；
当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.
从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值.。