121->--x x x f x f . 题3 (2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数α，记αM 为满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：∈∀21,x x R 且12x x >，有)()()()(121212x x x f x f x x -<-<--αα.下列结论中正确的是( )(答案：C.)
A.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f
B.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则2
1)()(ααM x g x f ∈
C.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f
D.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f
题4 (2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数)(),0(ln 2)(2x f x x a x
x x f >++=的导函数是)(x f '，21,,4x x a ≤是不相等的正数，求证：2121)()(x x x f x f ->'-'.
深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：
定理 设∈a R ，函数)(x f 在区间I 上可导，则
(1)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2
121； (2)2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；
(3)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2
121； (4)2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；
(5)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2
121； (6)2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立；
(7)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2
121； (8)2121,,x x I x x ≠∈∀有
a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立.
为证明定理，须介绍两个引理，它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2])： 引理1 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上单调不减(不增)的充要条件是0)()(≤≥'x f 在I x ∈时恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ≥≤，则称)(x f 在区间I 上单调不减(不增).)
引理2 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上严格递增(递减)⇔在I 上0)()(≤≥'x f 且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时0)(='x f 不能恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ><，则称)(x f 在区间I 上严格递增(递减).)
定理的证明 设ax x f x h ax x f x g +=-=)()(,)()(.
(1)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212
12211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔≤----有0)()(2
121≤--x x x g x g )(x g ⇔在I 上单调不增0)()(≤-'='⇔a x f x g ⇔右边. (2)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212
12211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔<----有0)()(2
121<--x x x g x g )(x g ⇔在I 上严格递减0)()(≤-'='⇔a x f x g (用引理2，这里省去了一些文字的叙述，下同)⇔右边.
(3)同(1)可证.
(4)同(2)可证.
(5)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212
121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔≤--≤-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭
⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 减上在上在单调不)(单调不增)(I x h I x g 右边. (6)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔<--<
-有⇔
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭
⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 上严格递增在上严格递减在I x h I x g )()(右边. (7) 2121,,x x I x x ≠∈∀有⇔≥--a x x x f x f 2
121)()( 2121,,x x I x x <∈∀有
a x x x f x f ≥--1212)()(或⇔-≤--a x x x f x f 1212)()( 2121,,x x I x x <∈∀有)()(21x g x g ≤或⇔≥)()(21x h x h
0)(,≥'∈∀x g I x 或⇔≤'0)(x h
