浅谈数学教学中辩证思想的渗透

浅谈数学教学中辩证思想的渗透

摘要】数学是思维的体操，是我们辩证的有力工具和表达形式。数学中充满矛盾、蕴含哲理，因此运用辩证思想在解决数学

问题时，往往会带来新的生机，产生意想不到的效果。

【关键词】数学教学辩证思想思维渗透

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2010）07－0116－02

在教学实践中，我们清楚地认识到数学中充满着矛盾，也含有极其丰富的辩

证因素。在数学解题中，若能运用辩证的观点分析矛盾，揭示联系，把握事物发展、变化的规律，进而恰当、合理地进行思维转换，常常能化繁为简、化难为易，为解题带来新的生机，甚至使问题绝处逢生，柳暗花明。这对激活学生的思维，

优化思维品质，培养学生的创新意识及辩证唯物主义的观点都是极为重要的有效

途径。

一正与反

解决数学问题时，一般总是从条件出发按照习惯的思维模式，进行正面的、

顺向的思考，这对解决大多数问题是有效的，而对某些问题，若一味地进行正面

顺向思考，思维往往会受阻，此时，若能冲破思维定势的束缚，采取“正难则反”

的辩证思想策略，就可迅速找到解题的突破口。

。

解得：，所以符合题意的a 的取值范围是。

二进与退

对一个数学问题直接下手有困难时，可利用“以退求进”的思想，把复杂的问

题退到最简单、最原始的地方，把这个简单原始的问题想通了、看透了、钻深了，不仅可以进，还可以达到质的飞跃。

例2，（七年级华师大版《数学》上册）如果一条流水线上有依次排列的10

台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P1 使这10 台机床到供应站P 的距离

总和最小，这个零件供应站应该在何处呢？分析：先把问题“退”到比较简单的情形。见图1，如果流水线上有2 台机床时，很明显设在A1 和A2之间的任何地方

都行，反正甲和乙所走的距离之和总是从A1 到A2 的距离。

。

见图2，如果流水线上有3 台机床时，不难判断，供应站设在A2 处最合适，

因为此时P 到各处距离之和恰好为A1 到A3 的距离。

如果流水线上4 台机床，P 应设在何处？有5 台机床呢？更一般地，有几台

机床时，P 应设在何处？不难得出，当n＝4 时，P 应设在第2 台与第3 台之间的

任何地方，当n＝5 时，P 应设在第３台位置。一般地，如果n 为

偶数，P 应设在第2n台和第2n＋1 台之间的任何地方；如果n 为奇数，P 应设在

第2n +1 台的位置。故当n＝10 时，P 应设在第5台和第6 台之间的任何地方。

三动与静

动和静（定）是事物状态表现的两个侧面，动中有静，静中寓动，它们相互

依存，并在一定条件下相互转化。在求解“运动型”问题时，若善于“动”中觅“静”，以静制动；或者，用动的观点处理静的数量和形态，即以动求静，可使问题向有

利于解决的方向转化。

例3，见图3，边长为A 的等边三角形的顶点A、B 分别在x 轴和y 轴上运动，

试求动点C 到原点O 的最大值和最小值。分析：利用动静互化法，把动点C 视为

定点而把定点O 视为动点，这样就可以看作是坐标轴在运动。由于∠AOB＝90º，故原点O 应在AB 为直径的圆弧上运动，故当直线OC 经过以AB 直径的圆的圆心

O 时，线段OC 取得最大值或最小值，OC 最大值等于，OC的最小值为。

。

四数与形

数学是研究数量关系与空间形式的科学。数和形及它们的联系与转化是数学

研究的永恒主题。在解题中若从数、形两个方面对问题进行分析，既充分发挥形

的直观性，又注重数的严谨性，将有利于问题的解决。

例4，（2009 年巴中市中考题）见图4，抛物线与x 轴交于A、B 两点，与y

轴交于C 点，求征△OAC∽△OCB。分析：如果先求点A、B、C 的坐标，计算线

段长度，可以列出比例式，再证明相似，但其中的运算量比较大。以下解法借助

于韦达定理，直接就能找到比例线段。

设A（x1，0），B（x2，0）则x1·x2＝－1。

OA＝－x1，OB＝x2，则OA·OB＝1。

又C（0，－1）故OC＝1。

∴OC2＝OA·OB，∠AOC＝∠BOC＝90º。

∴△OAC∽△OCB。

五等与不等

等与不等既是矛盾的，又是统一的，在一定条件下“等”可推出“不等”，反之，“不等”也可导出“相等”。根据题设中的信息适时进行“等”与“不等”的机智转化，可打开解题通道，使问题获解。

例5，a、b、c 是三个正整数，它们满足条件a＜b＜c，而且，求a、b、c 的值。

分析：解一元一次方程（或一元二次方程），我们有固定的方法可循，而解

这类问题（三元分式程）就不行了，怎么办？靠充分利用条件，一步一步地把结

果逼出来。由于正整数a 最小，不妨先确定a 值，为此，可令a＝1，2，3......进

行检验。显然，a≠1，否则有。这与b，c 是正数矛盾，如果a≥3，则又有，这又

与条件矛盾，故，因为b＜c，所以b＜4，又b＞a＝2，故b＝3，则c＝6。

六主与次

主与次既是矛盾又是统一的，在一定条件下，主可转化为次，反之，次也可

导出主。

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七虚与实

虚与实相承，虚中有实，实中有虚，尤其是在解题中，尤显审题之重要，否

则极易出错。

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分析：很容易想到设y＝x2＋3x，用换元法求出y1＝1，y2＝－3。果真如此吗？事实上x2＋3x＝－3 没有实数根，只有虚数根。

八有限与无限

客观世界是有限与无限的统一体，我们既可以通过无限确定有限，也可以借

助有限来把握无限。

另外，如“数学归纳法”、欧几里得对“素数有无穷多个”的证明、数到极限的“ε－N”定义等都是由有限把握无限的极好例证，这些无限总体的有限个体、无限步