普通圆柱螺旋弹簧的最优化设计

设计弹簧时，除选择材料及规定热处理要求外，主要是根据最大工作载荷、最大变形以及结构要求等来确定弹簧的钢丝直径d 、中径D 、工作圈数n 、节距t 或螺旋升角α和高度H 等，通常取弹簧钢丝直径d 、中径D 、工作圈数n 为最优化设计的设计变量，即

123x d X x D n x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦ （1） 目标函数可根据弹簧的工作特点和对它的专门要求来建立。例如，由于因工作特点极易导致疲劳损坏的弹簧，则应以疲劳安全系数最大作为最优化设计的目标；对于受到高速运转机构变载作用的弹簧，则应以其一阶自振频率最大或最小作为最优化设计的目标，使自振频率值远离载荷变化频率值，以避免共振；对于安装空间很紧、要求尽量减少轮廓尺寸的弹簧，则应以其外径或高度最小，从而得到最小安装尺寸作为最优化设计的目标；当价格成为主要问题时，也可以以弹簧的成本最小作为目标；还有按满应力原则建立目标函数的。对于一般弹簧，通常以质量或钢丝的体积最小作为最优化设计的目标，这时目标函数可表达为：

2

2()4f X d Dn πρ= （2）

式中，ρ为弹簧钢丝材料的密度，67.6410ρ-=⨯kg/mm 3

将ρ值及式（1）代入式（2），得以弹簧工作部分（除支撑圈外）的质量为目标的函数表达式：

42123()0.1885110f X x x x -=⨯ （3）

约束条件可根据对弹簧功能的要求和结构限制列出：

（1）根据对弹簧刚度的要求范围：min max k k k ≤≤（438Gd k D n

=），得约束条件 411min 323

()08Gx g X k x x =-≤ （4） 412max 323

()08Gx g X k x x =-≤ （5） 式中G 为弹簧材料的剪切弹性模量。

（2）根据弹簧钢丝的产品尺寸规格，给出弹簧钢丝直径d 的限制范围：

min max d d d ≤≤，从而得约束条件

3min 1()0g X d x =-≤ （6）

41max ()0g X x d =-≤ （7）

（3）根据弹簧安装空间对其中径D 的限制而有

5min 2()0g X D x =-≤ （8）

62max ()0g X x D =-≤ （9）

（4）根据对工作圈数n 的规定范围：min max n n n ≤≤而有

7min 3()0g X n x =-≤ （10）

83max ()0g X x n =-≤ （11）

（5）根据旋绕比（弹簧指数）D C d =的范围：418D d

≤≤，得 291

()40x g X x =-≤ （12） 2101

()180x g X x =-≤ （13） （6）根据弹簧在最大载荷下不碰圈的要求：

0max b H H δ-≥

式中，0H ——弹簧自由高度，当支撑圈数22n =且弹簧两端磨平时0 1.5H nt d =+； t ——节距，(0.280.5)t D ≈-，计算时可取0.4t D =；

max δ——弹簧在最大工作载荷max F 下的变形量，3max max 4

8F D n Gd δ= b H ——弹簧并紧高度，当支撑圈数22n =且弹簧两端磨平时，( 1.5)b H n d ≈+得约束条件：

3max 2311132341

8()0.40F x x g X x x x x Gx =+-≤ （14） （7）根据弹簧的强度条件：

[]max max 3

8F D K d ττπ=≤ （15） 式中，max τ——在最大工作载荷max F 作用下或在压并状态下钢丝截面内侧所产生的最大扭转应力；

K ——曲度系数：0.16410.615 1.66()44C d K C C D

-=+≈- []τ——许用扭转应力，视弹簧材料及受载情况而定。对于用碳素弹簧钢丝制成的1类弹簧：[]0.3b τσ=；对于2类弹簧：[]0.4b τσ=；对于3类弹簧：[]0.5b τσ=。进行预压

处理后[](0.50.6)b τσ=-。碳素钢以外材料的[]τ值可查有关手册或图书，亦可按上式选取。

b σ——弹簧钢丝抗拉强度极限，与材料品质及钢丝直径d 有关，设计手册中列表给出。利用表中数据通过线性回归分析，可建立弹簧钢丝的b d σ-回归方程，其形式为

b A Bd σ=-

式中，A ，B 为线性回归分析所求得的已知常数。 将0.161.66()d K D

≈及[]0.40.4()b A Bd τσ==-代入式（15），得 0.84

max 2.844.230.4()0F D A Bd d

--≤ （16） 由此得约束条件

3.84 2.840.841211max 2()0.40.4

4.230g X Bx Ax F x =-+≤ （17）

（8）根据压缩弹簧的稳定性条件：

0 1.50.5 1.5()c H nt d d b n b D D D

+===+≤ 得约束条件 11332() 1.5

0.50c x g X x b x =+-≤ （18） 式中，c b ——临界高径比，根据弹簧的支撑方式不同而异；

当两端固定时 5.3c b =

当一端固定另一端可转动时 3.7c b =

当两端均可转动时 2.6c b =

（9）根据弹簧的疲劳强度要求给出约束条件

当弹簧承受交变载荷并在min F 及max F 之间作交替变化时，在钢丝截面内侧产生的相应扭转应力分别为：

0.84max max max 3 2.848 4.23F D F D K d d

τπ== 0.84

min min min

3 2.848 4.23F D F D K d d τπ== 对于min τ为常数的弹簧，其疲劳强度安全系数为