《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)

微积分（II ）复习要点（共11页）

（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用 建议按照提纲罗列顺序进行复习）

Ch6+Ch7两章

第一部分 计算偏导与全微分（以二元函数为主）

()()()

.

y

z

,x z y

z ,

x

z

,y ,x f z .10000y ,x y ,x ∂∂∂∂∂∂∂∂=或偏导函数求解偏导数

具体形式已知初等函数问题()()().

x

z

,x x 3,

dx

dz 2,y ,x f ,y y 1x

z

0000y ,x 000y ,x ∂∂==∂∂即得所求最后代入）一元函数的导数利用上学期方法求上述）函数则原二元函数变为一元代入）步骤如下：

求具体点偏导解法：

*().y

z

,00y ,x ∂∂可求出

类似

()().

y

z

y ,x y ,x f ,*.

x z ,x z 2,

y y ,x f 1x

z

∂∂∂∂∂∂求导即得对视为常数中的将类似所得结果即为的导数对利用上学期方法求）视为常数中的将）步骤如下：

求偏导函数 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！

前提——熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64复合函数求导之链式法则！

P251 Ex8 2) 1) 4), Ex9 3) 2)

().dz ,y ,x f z .2求全微分已知问题=

.

dy y

z

dx x z dz ,

y

z ,x z 为所求则的具体结果—先分别求出—系利用全微分与偏导的关解法：∂∂+∂∂=∂∂∂∂

配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P253 Ex13 2) 7) 3)

().y

z

,x y z ,

y x z

,x z ,y ,x f z .322

2

222∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=求解二阶偏导数具体形式已知初等函数问题

().

y x z ,x z y ,x f z :y x z .P225,*2的偏导再求此新函数关于）

（即然后针对求出的结果求出首先针对比如求偏导

—按照符号的定义逐阶—求法相关定义和记号参见二阶偏导的含义务必准确识别以上四个∂∂∂∂=∂∂∂ 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P253 Ex12 1) 2)

.

,)107(P219,.

.4分结果再进一步具体算出各部）公式（如写出链式法则根据题目实际情况熟练“路线图”借助要点：（偏导）复合函数求导问题- 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex16 1) 4)

两例的法一即可！

学会套用即可公式二元隐函数偏导

一元隐函数导数公式熟记要点：（偏导或全微分）隐函数求导问题P224~P223.),167(P224),157(P223.

.5-- 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)

第二部分 求二元函数的极值和条件最值

()()().

/8.7P229,3z ,z ,z ,z 2y ,x ,,y ,x ,,0z 0

z ,z ,z 1y ,x f z .1yy yx xy xx k k 11y x y x 极小极大结论判定极值与否、定理逐个利用针对以上各驻点）求出）如解此方程组得所有驻点并令求出）解法步骤：

的极值求二元初等函数问题''''''''⎪⎩⎪⎨

⎧='

='''= .32P230*解答过程、例例学会

配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex20 1) 4)

()()()()()()()().

y ,x ,,y ,x 30y ,x F 0f F 0

f F ,F 2y ,x y ,x f ,y ,x F 1.0y ,x y ,x f z .200000y y y

x x x 为所求条件最值点则唯一若以上驻点）即解下列方程组：

的驻点求）令）解法步骤：

下的条件最值在条件二元初等函数（尤其经济背景）求具有实际背景问题令令

令

λ⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧=ϕ='=ϕ'λ+'='=ϕ'λ+'='λϕ+=λ=ϕ=λ

该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：

()()()式：

之间的关系如下经验公万元费用及报纸广告万元与电台广告费用万元销售收入统计资料据商品的广告报纸两种方式做销售某某公司通过电台、）例y x R ,. 22y 10x 2xy 8y 32x 1415R ---++=

.,5.1 求相应的最优广告策略万元且用尽为若提供的广告费用

5.1y ,0x Key ==：

第三部分 定积分相关要点

基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！

()()()()()()()().

a F

b F x F dx x f 2,x F x f ,1.dx x f ,x f .1b a b

a b

a -==⎰⎰从而）的一个原函数求出利用求不定积分的方法）莱布尼兹公式：

—牛顿主要方法）求解定积分具体形式已知问题

()[].

,,f f f ,c ,b ,a x f *b

c c

a b

a 再进行计算均取明确形式使得右端每个被积函数性质“拆区间”定积分的则需利用为分段点比如以上的分段函数是若重点：⎰⎰⎰+= 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)

⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰为偶函数

为奇函数有公式如下：定积分称时当积分区间关于原点对特殊方法）f ,f 2f ,

0f f ,a 0

a

a -a

a -

()

.

1100.1xdx 2dx x 2dx x ,x .0dx x 1x xdx sin x ,x 1x ,x sin x .dx x x 1x x sin x .1

01

01

11

121

12

2

2

1

122=++=====∴=-=∴-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰----从而原式为偶函数均有奇函数）

特点！（务必注意积分区间的解：求解例

()()()()()()

[

]

()[]()()()

()[

]

()[]()()[]().

,Hospital 'L ,2.x v x v f x u x u f dt t f x u x u f dt t f .

x f x dt t f x 1.2x u x v x u a

x

a 可求解某些极限法则结合利用以上求导公式）进一步有公式：的求导公式：熟记函数）要点）

变限积分的求导及应用问题⎪⎩⎪⎨⎧'-'='

'⋅='=Φ'=Φ⎰⎰⎰