教学设计——二次函数专题训练点的存在性问题

二次函数点的存在性专题——等面积问题
【教材分析】
二次函数隶属于数与代数领域，是初中阶段一种重要的函数，二次函数面积问题本身是学习二次
函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决代几综合问题能力的一个考查。

二次函数面积
问题将数与代数，空间与图形两大领域有机结合，目的在于让学生通过二次函数面积问题，学会
用函数知识，深化学生对由形到数，再由数到形的数学思想方法的理解，体会图形变换在函数中
的作用，学会用分类讨论，转化的思想去解决和函数有关的面积问题。

此部分内容是学习一次函
数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

【教学目标】
1.知识与技能：能利用二次函数解析式，求出相应线段的长度及图形面积，并根据面积相等的条
件，在图像上确定点的位置，并求出相应点的坐标
2.过程与方法：在探索等面积点存在性问题的过程中，进一步体会研究函数图像和图形面积问题
的基本方法，以及数形结合、分类讨论的思想方法；体会利用平移变换，确定点的位置的方法
3.情感态度价值观：经历解决问题的过程，感受数学思想方法的价值，培养学生合作意识，让学
生积累经验，提升学生总结归纳的能力
教学重点：确定点的位置，求出点的坐标
教学难点：利用同底等高及平移变换，确定点的位置；利用函数解析法及代几综合法求出点的坐
标
【学情分析】
对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步
认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能利用数形结合的思想方法解决三角形底边在x轴上的简单的同底等高的问题，但在三角形底边不在x轴上也不用x轴平行时，学生就不容易在函数图
像上确定出点的位置，并且还不能熟练地应用一次函数及二次函数的相关知识，以及数与形之间
的转化的思想解决问题。

本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生综合运
用函数知识的能力，深化学生对由形到数，再由数到形的数学思想方法的理解，从而解决解决学
生解决面积问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

【教学过程】
环节一【自主学习，合作释疑】
已知：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
（1）求△ABC的面积
【设计意图】：二次函数面积问题，将函数与图形紧密相结合，由二次函数中的数的问题，转化
成图形问题，学生体会“数与代数”与“空间与图形”两大领域之间的关系。

由（1）中简单的三角形面积入手，让学生体会三角形面积与底边及高之间的关系，同时体会由数到形的数形结合思
想。

环节二【合作探究，积累经验】
已知：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
（2）抛物线上是否存在点M，使△ABC与△ABM的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
【设计意图】
本节为二次函数上点的存在性面积专题，解决这类问题的突破口就在于同底的条件，问题（2）在问题（1）的基础上，考虑抛物线上点的存在性问题，确定点的位置，利用同底等高，求出点的坐
标，解决这一问题，体现了由形到数的思想；同时注意分类讨论的思想方法，点位于AB上方及点位于AB下方的不同情况的讨论问题；同时注意平移变换，确定点的位置，以平移变换为切入点，
“两平行线间的距离处处相等”为依据，确定等面积点的位置并求解，为下一问做铺垫。

同时也
体会坐标与线段长度的关系，激发学生学习的兴趣，使学生经历规律产生的过程。

环节三【分组展示，拓展提升】
已知：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
（3）抛物线上是否存在点P，使△ABC与△PBC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【设计意图】
问题（2）主要让学生体会当三角形的同底位于坐标轴上或与x轴平行时，就以这条公共边为底，
做高求面积即可；问题（3）在问题（2）的基础上，仍然以同底为突破口，但是此时的同底并不
在x轴上，也不与x轴平行，学生不能直接根据高确定要求点的纵坐标；有了上一问的解题经验，部分学生能够根据上题的解题经验进行迁移，利用平移变换，抓住“两平行线间的距离处处相等”，从而利用平移变换，抓住平移要素，确定直线平移后的位置及点的位置，利用平移前后一次函数
间的关系确定直线解析式，再将一次函数和二次函数综合运用，求出点的坐标。

学生再次体会并
积累解决此类问题的经验
环节四【反思总结，课后作业】
本节课你都有那些收获？
已知：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C
求：抛物线上是否存在点E，使△NDB与△EDB的面积相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由
【设计意图】
学生经历分析问题，解决问题的过程，体会数与形之间的关系，从图形变换的角度，利用分类的
思想解决问题。

学生归纳总结，是对自身已有知识及解题经验的一种升华，总结提炼解决二次函
数点的存在性问题——等面积专题的方法；通过课后作业，让学生利用自己总结的经验及方法，
尝试解决新问题，深化已有经验。