博迪《投资学》笔记和课后习题详解(套利定价理论与风险收益多因素模型)【圣才出品】

第11章套利定价理论与风险收益多因素模型

11.1 复习笔记

1.多因素模型综述

（1）证券收益的因素模型

①单因素模型

用F表示普遍因素期望值的偏差，βi表示公司i对该因素的敏感性，e i表示公司特有的扰动，则该单因素模型表明公司i的真实收益等于其初始期望收益值加上一项未预料的经济事件的随机量(零期望值)，再加上另一项由公司特有事件引起的随机量(零期望值)。

单因素模型可表示为：

这里E(r i)表示股票i的期望收益。如果在任何时期宏观因素值均为0(即无意外的宏观事件)，则证券收益就仅等于其先前的期望值E(r i)加上公司特有事件引起的随机量。所有收益中的非系统因素e i之间均不相关，且与F也不相关。

②多因素模型

因素模型将收益强制性地分解为系统和公司特有两个部分,但不将系统风险限制为单因素。运用多种因素的划分，对风险进行解释，可以更准确地描述风险和收益。

（2）多因素证券市场线

多因素指数模型构造了多因素证券市场线，风险溢价由每一个系统风险因素所决定，并

且每一个风险溢价都与那些因素相关。

例如，把GDP和利率当作两种因素，风险能够用下式来衡量，证券的期望收益率是以下三项之和：

①无风险收益率；

②对GDP风险的敏感度(即GDP贝塔)乘以GDP风险的风险溢价；

③对利率风险的敏感度(即利率贝塔)乘以利率风险的风险溢价。

即

2.套利定价理论

（1）理论前提

斯蒂芬·罗斯在1976年提出了套利定价理论(APT)。同资本资产定价模型一样，套利定价理论预测了和风险期望收益相关的证券市场线，但它所得出证券市场线的方式却与前者有很大不同。

罗斯的套利定价理论基于三个基本假设：①证券收益能用单因素模型表示；②有足够多的证券来分散掉不同的风险；③功能强的证券市场不允许有持续性的套利机会。

（2）套利、风险套利与均衡

①一价法则与套利

一价法则指出，如果两种资产在所有经济意义的相关方面都相等，则它们的市场价格应相同。套利者一旦发现有违背法则的情况，就开始实施贱买贵卖的套利行为。随着套利的进行，低价的市场价格上扬，高价的市场价格被压低，直到套利机会消失。

由于套利者的活动将会导致价格上涨或下跌直至套利机会完全消除，市场均衡时，证券

价格应当满足“无套利”的条件，即证券价格要满足不存在套利机会的价格水平。

②套利与风险—收益的支配性观点的比较

两者在支持均衡价格关系上存在着重要的区别。支配性的观点认为，当均衡价格关系被打破时，许多投资者将改变他们的资产组合。虽然每一个投资者将根据其风险厌恶的程度只进行有限的改变，但这许多有限的资产组合改变的集合将引起大规模的买卖活动以使均衡价格得到恢复。相比之下，当套利机会存在时，每一个投资者总想尽可能地拥有较多头寸，因此，无需很多的投资者参与就可以带来足够的价格压力使其恢复平衡，正因如此，对由无套利论点得出的价格意义要比由支配性的风险—收益观点得到的价格意义更有力。

资本资产定价模型便是一个支配性观点的例子。该模型认为所有投资者均持有平均方差效率的投资组合。如果一种证券出现了价差，投资者就会将其投资组合向过低定价的证券倾斜而减少对过高定价的证券的投资。许多投资者的投资转移，尽管每人只是一个相对较小的数量，便会形成对均衡价格的压力。假设众多的投资者对平均方差敏感很关键，比较而言，无套利条件的本质就是，即便是很少的投资者能判断出套利机会，并动用大笔资金以便从中获取好处，均衡价格就会恢复。

③风险套利

风险套利是指在特定领域比如并购目标股票的搜寻中寻找定价有偏差的证券的专业行为，而不是指寻找严格意义上的(无风险)套利机会。

（3）充分分散的投资组合

如果一个投资组合是充分分散的，那它的公司特有风险或非因素(非系统)风险将可以被分散掉，保留下来的只有因素(系统)风险。

构造一个由n种股票按权重组成的资产组合，其权重为w i，∑w i=1，则该资产组合的收益率为：

式中，，是n种股票的βi的加权平均值。该资产组合的非系统成分(与

F无关) i是n种股票的e i的加权平均值。将这一投资组合的方差分为系统的和非系统的两方面。投资组合的方差为：。

式中，σ2F为因子F的方差，σ2(e P)为资产组合的非系统风险，它还可以表示为：

如果该投资组合是等权重的，即w i=1/n，则非系统方差将为：

最后一项是证券非系统平均方差。也就是说，资产组合非系统方差等于非系统平均方差除以n。因此当资产组合增大时，即n增大，则非系统方差趋于零。这就是分散化的结果。

随n增大而非系统方差趋于零的各种投资组合不仅仅包含等权重的资产组合，还有其他形式。任何能满足随n增大每个w i均稳定地减小(随n增大每个w2i趋于零)的投资组合都将满足该组合之非系统风险随n增大而趋于零的条件。

因此充分分散的投资组合可定义为：组合按比例w i分散于足够大数量的证券中，而每种成分又足以小到使非系统方差σ2e p可以被忽略的投资组合。

（4）贝塔与期望收益

为了排除套利机会，所有充分分散化投资组合的期望收益必需位于图11—1的通过无风险资产点的直线上。这条直线的方程给出了所有充分分散化投资组合的期望收益值。

风险溢价与资产组合的β值成比例。风险溢价由竖向箭线给出，它由无风险利率与该资产组合的期望收益之间的距离表示。风险溢价在β=0时为零，并直接与β成比例地增长。

图11—1 贝塔与期望收益

（5）单因素证券市场线

当市场投资组合是一个充分分散化的投资组合时，把系统因素视为是市场投资组合的意外收益。市场投资组合的贝塔值为1，即β=1，由于市场投资组合也在图11—2所示的曲线上，可用它来决定该曲线的方程。如图11—2所示，直线的截距为r f ，斜率为E(r M)－r f，其方程为：

因此，图11—1与图11—2的关系和资本资产定价模型与证券市场线关系是一致的。

图11—2 证券市场线在没有严格的资本资产定价模型假设的情况下，已经用无套利条件得到期望收益与β之