解析几何(动点轨迹求法)

动点轨迹的求法
从近年高考题说起：
1、（15年广东理科）已知过原点的动直线l 与圆2
21:650C x y x 相交于不同的两点A ，B .
（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； （3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；
若不存在，说明理由.
【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2
234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，∴ 11C M AB k k ⋅=-即
13y y
x x
⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为2
23953243x y x ⎛⎫⎛⎫
-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（3）由（2）知点M 的轨迹是以3
,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心3
2
r =
为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点）
，且5,33E ⎛ ⎝⎭
，5,33F ⎛- ⎝⎭，又直线L ：
(
y k x =-当直线L 与圆C 3
2
=
得34k =±上图可知当3325,,447
k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L ：y k =
2、（2013上海）已知抛物线2
4C y x =： 的焦点为F .点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运
动时,求动点P 的轨迹方程。

解：设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,
因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，, 由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，
，. 即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A A
x x
y y =-⎧⎨=-⎩
代入2
4y x =,得到动点P 的轨迹方程为2
84y x =-.
3、（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22
(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|. 解：由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.
设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.
(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,
由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,
的椭圆(左顶点除外),
其方程为22
1(2)43
x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P 的半径最长时,其方程为2
2
(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为0
90时,则l 与y 轴重合,可得
|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则
||||QP QM =1
R
r ,可求得
Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M
1=,
解得k =当k
=时,
将y x =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x
12|x x -=187.
当k
时,由图形的对称性可知|AB|=18
7, 综上,|AB|=
18
7
或
|AB|=动点轨迹常用求法：
一、待定系数法
它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。

其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。

1、已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>
，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当
l 的斜率为1时，坐标原点O 到l
，求椭圆方程。

解：设(),0,c F 当l 的斜率为1时，其方程为O c y x ,0=--到l 的距离为
2
2
00c c
=
--，
故
2
2
2
=
c ， 1=c ， 由 33==a c e ，得 3=a ，22c a b -==2
2、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半 长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为
7
3。

求椭圆和双曲线的方程。

解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为
2
2a x +22b y = 1，双曲线的方程为22m x －22
n y = 1。

2c = 213 , ∴c = 13 . a – m = 4 ,
m c : n c = 7
3
, ∴a = 7 , m = 3 . b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 = 4 .
∴椭圆方程为492x +362y = 1，双曲线的方程为92x －4
2
y = 1 ；
如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得：
∴椭圆方程为492y +362x = 1，双曲线的方程为9
2
y －42x = 1 。

二、直接法
该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。

它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。

3、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为12
2
=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

解：设MN 切圆C 于N ，则2
22
ON MO MN -=。

设),(y x M ,
则
2
222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得
0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x
（1） 当1=λ时，方程为4
5
=
x ，表示一条直线。

（2） 当1≠λ时，方程化为2
2
22
222)
1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。

4、已知动圆过定点A(4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.求动圆圆心的轨迹C 的方程。

解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y)，由题意，|O 1A|＝|O 1M|，
当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，
∴1||O M =
1||O A =
=
y 2＝8x(x≠0)．
当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2
＝8x ，
∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2
＝8x.
5、已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2
x PB PA =⋅，则点P 的轨迹 为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
解：),3(),,2(y x PB y x PA --=---= ，2)3)(2(y x x PB PA +---=⋅∴
226y x x +--=. 由条件，2226x y x x =+--，整理得62+=x y ，此即点P 的轨迹方程，所以P 的
轨迹为抛物线，选D.
6、已知点)2,2(P ，圆C :082
2
=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为
M ，O 为坐标原点.求M 的轨迹方程；
圆C 的方程可化为2
2
(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4， 设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--，
由题设知0CM MP •=，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即2
2
(1)(3)2x y -+-=. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是2
2
(1)(3)2x y -+-=.
三、代入法（相关点法）
若动点P(x, y)依赖于某已知曲线上的另一个动点P 1(x 1,y 1)而运动，且x 1, y 1可用x, y 表示，则将P 1(x 1,y 1)代入已知曲线，求出P 点的轨迹方程。

此法也称代入法或转移法。

.,4)1(),3,4(722的轨迹方程的中点求线段上运动在圆端点的端点、已知线段M AB y x A B AB =++
8、自抛物线x y 22
=上任意一点P 向其准线l 引垂线。

垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交与R ，求R 点的轨迹方程。

解：设),(),,(11y x R y x P 则),21(1y Q -
、)0,2
1(F OP ∴的方程为：x x y y 11=
，FQ 的方程为：)2
1
(1--=x y y ，解方程组得
)21(212,21211≠-=-=
x x y y x x x ，代人x y 22=，可得)2
1
(222≠+-=x x x y 9、如图所示，已知P(4，0)是圆x 2
+y 2
=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程
解 设AB 的中点为R ，坐标为(x,y)，则在Rt △ABP 中，|AR|=|PR| 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理 在Rt △OAR 中，
|AR|2 =|AO|2－|OR|2=36－(x 2+y 2
)
又|AR|=|PR|=22)4(y x +-
所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2
－4x －10=0
因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动
设Q(x,y)，R(x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2
,241+=
+y y x , 代入方程x 2
+y 2
－4x －10=0,得
2
44)2()24(
22+⋅
-++x y x －10=0，整理得 x 2+y 2
=56,这就是所求的轨迹方程 四、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
10、如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆
解析：由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R ＞|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．
11、 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.
解：由平面几何知识可知，当ABM ∆为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆.此圆的圆心即为AB 的中点)1,1(--，半径为
2
5221=AB ，方程为13)1()1(2
2=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x .
12、1F 、2F 是椭圆13
42
2=+y x 的左右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点1F 向21AF F ∠的外角平分线作垂线，垂足为D ，求点D 的轨迹方程。

B
Q R
A
P
o
y x
13、已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，
2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.
解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2，
即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，
∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13
422-≠<=+x x y x .
14、已知圆A:(x+2)2
+y 2
=1与定直线 :x=1，且动圆Ｐ和圆Ａ外切并与直线 相切，求动圆的圆心Ｐ的轨迹
方程.
解：设P （x ，y ），圆P 半径为 r ，由于A （-2，0），圆A 半径为1 ，圆P 与圆A 外切，所以，|PA|-1=r ，即 |PA|=r +1，因此，P 到A 的距离等于P 到直线 x=2 的距离，由抛物线定义，P 的轨迹是以A 为焦点，以直线x=2为准线的抛物线，因为22
=P
，2p=8，所以P 的轨迹方程为x y 82-=。

15、已知圆M ：x 2
+(y-2)2
=1，直线l ：y=-1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 切，设动圆圆心P 的轨迹为E ．
(Ⅰ)求E 的方程；
(Ⅱ)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且
•
=-16，求证：直线AB 恒过定点．
（Ⅰ）解：由题意动圆P 与直线y=-1相切，且与定圆M ：x 2
+（y-2）2
=1外切，所以动点P 到M （0，2）的距离与到直线y=-2的距离相等，由抛物线的定义知，点P 的轨迹是以C （0，2）为焦点，直线y=-2为准
线的抛物线。

故所求P 的轨迹方程为：x 2
=8y ．
（Ⅱ）证明：设直线AB ：y=kx+b ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线AB 代入到x 2=8y 中得x 2
-8kx-8b=0，
所以x 1+x 2=8k ，x 1x 2=-8b…（6分）又因为•=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+=-8b+b 2
=-16，
∴b=4，∴恒过定点（0，4）．
16、已知动圆M 与圆C 1：（x+4）2+y 2=2外切，与圆C 2：（x-4）2+y 2
=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．
C
B y
x
O A
17、已知定圆F 1：x 2
+y 2
+10x+24=0，定圆F 2：x 2
+y 2
-10x+9=0.动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.
解：圆F 1：(x+5)2
+y 2
=1,圆F 2：(x-5)2
+y 2
=42
,所以F 1(-5,0)，半径r 1=1;F 2(5,0)，半径r 2=4. 设动圆M 的半径为R ，则|MF 1|=R+1，|MF 2|=R+4，所以|MF 2|-|MF 1|=3＜|F 1F 2|=10. 所以M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支且23=
a ,c=5,所以
b 2=4
91。

所以动圆圆心M 的轨迹方程为)2
3
(19149422-≤=-x y x 。

五、点差法
18、求过点)2,0(的直线被椭圆222
2
=+y x 所截得的弦的中点的轨迹方程。

法1：设直线l 的方程为y=kx+2,代入222
2
=+y x ,得068)12(2
2
=+++kx x k ，要使直线与椭圆有两
个不同的交点，则0>∆，解得2
6
-
<k 或26>k 。

设直线与椭圆的交点为),(),,(2211y x B y x A ，中点
),(y x M 则，1242221+-=+=
k k x x x ，1
222221+=+=k k y y y ，消去参数k 得：2)1(22
2=-+y x ，)2
1
0,2626(<<<<-
y x 法2：设直线与椭圆的交点为),(),,(2211y x B y x A ，中点),(y x M ，则212x x x +=，212y y y +=
由⎩⎨⎧=+=+2
2222
2222121y x y x 得0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x ，
所以
222121212121--==-=++⋅-=--x y k y x y y x x x x y y ，化简得2)1(22
2=-+y x
六、参数法
若题目出现当动点运动所受限制条件较多，不易直接建立x 、y 的某种联系，但且发现x 、y 同时受到另外一个变量t （如角度、斜率、截距等）的制约而将它们用t 表示，然后通过消去变量t 而得到所要求的动点的轨迹方程f(x, y)=0。

19、已知方程0916)41(2)3(22
2
2
2
=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆。

求圆心的轨迹方程。

20、过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

设M （x ，y ），设直线l 1的方程为y －4＝k （x －2），（k ≠０） )2(1
4221--=-⊥x k
y l ，l l 的方程为则直线由 ，，A x l )0k 42(1-
∴的坐标为轴交点与 ，k ，B y l )2
40(2+的坐标为轴交点与 ∵M 为AB 的中点，
)(1222421242为参数k k k y k k x ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
+=+
=-=-=∴消去k ，得x ＋2y －5＝0。

另外，当k ＝0时，AB 中点为M （1，2），满足上述轨迹方程；
当k 不存在时，AB 中点为M （1，2），也满足上述轨迹方程。

M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。

21、过抛物线px y 22
=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠k k ，则直线OB 的斜率为k
1
-
.直线OA 的方程为kx y =，由⎩⎨⎧==px y kx y 22解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=
=k
p y k p
x 222，即)2,2(2
k p k p A ，同理可得)2,2(2pk pk B -. 由中点坐标公式，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=+=pk k
p
y pk k p
x 22，消去k ，得)2(2p x p y -=，此即点M 的轨迹方程.。