中心极限定理的例子

0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
从以上例子可以看出，随着 n 的增大， 掷 n 颗质体均匀的骰子出现的点数之和
X
=
X1
+
X2
+"+
Xn
的概率分布越来越接近于正态分布
N ⎜⎛ ⎝
7 2
n, 35 12
n ⎟⎞ ⎠
，这说明一系列相互
独立的随机变量之和以正态分布为极限分布。
X 服 从 区 间 [0 ， 1] 上 的 均 匀 分 布 ， 即 X ~ U[0,1] ， 其 概 率 密 度 函 数 为 ：
f
(
x)
=
⎧1 ⎩⎨0
0< x<1 其它
1.5 1.25
1 0.75 0.5 0.25
-2
-1
0
-0.2
1
2
x
X1, X 2 独立同分布，且均服从区间[0,1] 上的均匀分布， 根据和的概率分布 Y = X1 + X 2
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
掷两颗质体均匀的骰子出现的点数之和 X = X1 + X 2 的概率分布：
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
1 36
2
3
36 36
4 36
5
6
36 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
0.2 0.15
0.1 0.05
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.25
1
0.75
0.5
0.25
-2
0
-0.25
2
4
x
[ ] ⎧1
⎪ ⎪ ⎪
6 1
x3 x3
−
4( x
− 1)3
0< x<1 1≤ x < 2
[ ] 率分布密度函数：
p(x)
=
⎪⎪ ⎨
6 1
⎪ ⎪ ⎪
6 1
(4 − x)3 (4 − x)3
−
4(3
−
x)3
2≤ x<3 3≤ x<4
⎪6
⎪⎩0
其它
随 着 n 的 增 大 ， n 个 相 互 独 立 的 服 从 区 间 [0,1] 上 的 均 匀 分 布 的 随 机 变 量 之 和
掷三颗质体均匀的骰子出现的点数之和 X = X1 + X 2 + X 3 的概率分布:
X3
4
5
6
7
8
9
10
P1
3
6
10
15
21
25
27
216 216 216 216 216 216 216 216
X 11 12 13 14 15 16 17 18
P
27
25
21
15
10
6
3
1
216 216 216 216 216 216 216 216
35
56
80
104
125
140
146
1296 1296 1296 1296 1296 1296 1296 1296 1296 1296 1296
X 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
P
140
125
104
80
56
35
20
10
4
1
1296 1296 1296 1296 1296 1296 1296 1296 1296 1296
Y
=
X1
+
X2
+"+
Xn
的概率分布越来越接近于正态分布
N ⎜⎛ ⎝
n 2
, n ⎟⎞ 。 12 ⎠
由此可得一般的结论：一系列相互独立的随机变量的和的分布趋向于正态分布，这就是
中心极限定理的核心内容.
评注： 1、理论依据： 相互独立的随机变量和的概率分布，独立随机变量和的极限分布是正态分布。 2、应用与推广 一系列相互独立的随机变量的和的分布趋向于正态分布，这就是中心极限定理的核心内 容.中心极限定理为大样本统计提供了可靠的理论保证。在统计推断的过程中，不论总体服
0.14 0.12
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1
掷四颗质体均匀的骰子出现的点数之和 X = X1 + X 2 + X 3 + X 4 的概率分布:
Hale Waihona Puke Baidu
X4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
P1
4
10
20
⎧ x 0< x <1
的概率分布密度函数： f ( x) = ⎪⎨2 − x 1 ≤ x < 2
⎪⎩ 0
其它
1.25 1
0.75 0.5 0.25
-2
-1 0
-0.25
1
2
3x
X1, X 2, X3 独立同分布，且均服从区间 [0,1] 上的均匀分布， Y = X1 + X 2 + X3 的概率分
2
中心极限定理的例子
在概率论中，中心极限定理起着极其重要的作用。中心极限定理的基本思想是：n 个相 互独立、同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布，并且 n 愈大，此种近似程度愈好。 下面从两个具体的例子看起：
掷一颗质体均匀的骰子出现的点数 X 的概率分布： X1 2 3 4 5 6 111111 P 666666
布密度函数：
p(x)
=
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪
1 2 3 4 1 2
x2 − (x (3 −
−
3 2
x)2
)2
⎪⎩ 0
0< x <1 1≤ x < 2 2≤ x<3
其它
1.25
1
0.75
0.5
0.25
-2 -1 0
1
2
3
4x
-0.25
X1, X 2, X3, X 4 独立同分布，且均服从区间 [0,1] 上的均匀分布， Y = X1 + X 2 + X3 + X 4 的概
3
从什么分布，只要样本容量 n 较大（ n ≥ 30 ），就可以按照样本均值服从正态分布构造统计 量对总体进行统计推断。
参考文献：
茆诗松等.概率论与数理统计[M].中国统计出版社.2000.7.
4