二重积分的变量代换

L
Pdx Q dy
(iii) P dx Q dy 是 D 内某一函数 u( x , y ) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Q dy ;
P Q . (iv) 在 D 内处处成立 y x
ARB 与 证 (i) (ii) 如图 21-19, 设 ASB 为联结点
T : x x ( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面由按段光滑封
闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平面上 的闭区域 D, 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在 内分别具有 一阶连续偏导数且它们的函数行列式
( x , y) J (u , v ) 0, ( u , v ) , (u , v )
C
任意的闭曲线 C G .
定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P ( x , y ), Q( x , y ) 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以 下四个条件等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有 P dx Q dy 0;
L
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 与路线无ຫໍສະໝຸດ Baidu, 只与 L 的起点及终点有关;
u( x , y ) 2 x d x x cos y dy
0 0 x y
2t dt x cos s ds y
0 0
x
y
B( x , y )
C ( x ,0)
x x sin y .
2

AB
(2 x sin y )dx ( x cos y )dy
§4 二重积分的变量变换
一、二重积分的变量变换公式 二、二重积分的极坐标变换 三、二重积分的广义极坐标变换
一、二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x ) 在区间 [a , b]上连续, x ( t ) 当 t 从 变到 时严格 单调地从a 变到 b, 且 ( t ) 连续可导, 则
统一写成如下的形式:

X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) | ( t ) |dt .
(4)
引理 设变换 T : x x( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 , 一对一地 映成 xy 平面上的闭区域 D. 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(2)
当 (即 ( t ) 0 )时, (1)式可写成
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(3)
故当 ( t ) 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可
水笔疾飞 草稿顷刻间湮灭 铃声响却 佩亚诺才刚出现 展开没 泰勒很复杂 麦克劳林简约 求极限 洛必达无愧
人事纷飞 凸还是凹 试卷最黑 驻点拐点 单调改用求导解 目测早已不精确 题设常千山万水 总被蒙骗 到底谁是谁
费马初现 罗尔浅笑 拉格朗日 而我独缺
我渐渐入深渊 顿觉头晕目眩 落井下石最会 对柯西的了解
1 故原式= xy dx yx dy 0dx ydy . 0 0 ( 0, 0 ) 2
(1,1) 2 2
1 1
多元函数的原函数：
若P , Q满足定理21.12的条件,
u( x, y)
具有性质:du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy 所以我们称u( x, y)为P( x, y)dx Q( x, y)dy的一个原函数. 并且原函数不唯一 由此,可以求某个全微分的原函数， y D( x , y ) 如何求u( x, y)使du( x, y) Pdx Qdy？ 0 M ( x, y )
在整个平面上成立
P Q cos y . y x 由定理21.12, 曲线积分AB (2 x sin y )dx ( x cos y )dy
只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.
为此, 取 O(0,0), B( x , y ), 取路线为图21-22中的折
. 于是有 线段 OCB
x ( x , y ) u J (u , v ) ( u , v ) y u 则区域 D 的面积

x v 0,( u , v ) y v
(5)
( D ) | J ( u , v ) |dudv .
定理21.13 设 f ( x , y )在有界闭区域 D 上可积, 变换
则有
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J ( u, v ) |dudv .
以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每
P Q 一点处都有 ux y ( x , y ) u y x ( x , y ) 即 . y x
例 5. 计算 I ( x 2 2 xy )dx ( x 2 y 4 )dy，其中L
为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线 y sin
A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得

ARB
P dx Q dy P dx Q dy
ASB ARB BSA
P dx Q dy P dx Q dy
ARBSA
P dx Q dy 0,
ASB
所以

ARB
P dx Q dy P dx Q dy .
计算
(1,1) ( 0,0 )
L
y
xy 2dx y ( x )dy.
(1,1)
解： P( x, y ) xy2 , Q( x, y ) y ( x ), 1 o x Q P [ y ( x )] y ( x ), 2 xy , x x y 2 P Q ( x ) x C 即 y ( x ) 2 xy ， 由已知知 y x 2 由 (0) 0， 知C=0, 则 ( x ) x 选择如图所示的路径
则I
L l
Pdx Qdy Pdx Qdy
l
补充曲线使其闭合后用格林公式.
则I
L l
Pdx Qdy Pdx Qdy
l
1.尽可能与x、y轴平行； 补充曲线的原则： 2. 与原来的图形围在一起为 D 或 D .
3.平面上曲线积分与路径无关的条件
(1)
这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.
公式(1)称为格林公式.
注意定理使用的条件.
有向性； 连续性； 封闭性.
利用格林公式计算 I

L
Pdx Qdy
L闭 合 L: L非 闭
1.满足连续性的条件，则可直接用格林公式. 2.不满足连续性的条件，则添加曲线挖去洞眼.
1 4
x
23 x dx 0 (1 y )dy 0 15 选择新路径应注意： （1）新路径的起点与终点不变, （2） 新路径 G, （3）一般选与坐标轴平行的新路径.

1
其中 ( x ) 例6. 设曲线积分 x y 2dx y ( x )dy 与路径无关，
具有连续的导数， 且 (0) 0.
b

a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .


(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成

（一）曲线积分与路径无关的定义 y 如果在区域G内对任意的 L1 , L2有

L1
Pdx Qdy

L2
Pdx Qdy
o
L2
B
L1
x
G
A
则称曲线积分 Pdx Qdy 在G内
L

与路径无关. 即只与起点和终点有关. 否则与路径有关.
显然 在G内 Pdx Qdy与路径无关
L
Pdx Qdy 0,
D
o
x
原式 d x
a
a
a2 x2 a2 x2
e
x2 y2
d y 积不出来,
a a2 y2
先x后y同样积不出来.
x2 y2 a y a 原式 d y 2 2 e dx D : a a y 2 2 2 2 a y x a y
兰亭序 之 高数版
数分难学 高数如高山流水 函数数列 何时也为我收敛 开和闭 区间易理解 却难求你极限 映射也 映不进心间
函数连续 然而可导 导数高阶 有间断点
却也不一定可导 竟又一定会可微 问莱布尼茨 他到底是个谁 而我不曾觉
费马初现 罗尔浅笑 拉格朗日 而我独缺
我渐渐入深渊 顿觉头晕目眩 落井下石最会 对柯西的了解
A R
S
B
图 21 19
(iii) (iv) 设存在函数 u( x , y ), 使得
d u P d x Q dy ,
因此 P ( x , y ) ux ( x , y ), Q( x , y ) u y ( x , y ). 于是由
P Q ux y ( x , y ) , u y x ( x , y ), y x
y
P( x, y0 )dx Q( x, y )dy 或u( x, y)
0
C ( x, y0 )
P( x, y)dx Q( x, y)dy Q( x0 , y)dy P ( x, y )dx M DM
y0 x0
o
x
x
例7 试应用曲线积分求 (2 x sin y )dx ( x cos y )dy 的原函数. 解 这里 P ( x , y ) 2 x sin y , Q( x , y ) x cos y ,
费马初现 到底等谁 几人痴醉 我最可悲
我渐渐入深渊 伯努利傅里叶 却恨透了数学 只爱上你的美
复 习
定理21.11 若函数 P ( x , y ), Q( x , y) 在闭区域 D 上 有连续的一阶偏导数, 则有
Q P Pdx Qdy , x y d L D
具有一阶连续偏导数.
2
x.
故曲线积分在 xoy面上与路径无关 .
选择如图所示的路径 L1 : y 0 x由0到 1
y
1
A
L2 : x 1 y由0到 1
I ( x 2 xy )dx ( x y )dy
2 2 4 L
L
L1
1
L2
[
L1

2
L2
o ]( x 2 2 xy )dx ( x 2 y 4 )dy
O
x
图 21 20
作业：P232:5(2); 6(1); P278 3
例如： 计算 e
D
x2 y2
dxdy , 其中D是由中心在原点，半径
为a的圆周所围成的闭区域.
y
a x a D : 2 2 2 2 a x y a x
x2 y2 a2
2
2 4
L

解： 因为 P x 2 xy， Q x y ， y Q P x 2 x， 则 2 x， y sin x 2 y 1 A P Q 在 xoy 平面上成立. 即 L y x 又开区域 xoy 平面是一个单连通域. x o 1 且函数 P ( x , y ), Q( x , y )在 xoy平面内
( x, y) ( x0 , y0 )
x x0
二元函数u( x, y)
M ( x, y)
M0 ( x0 , y0 )
Pdx Qdy ( x , y ) Pdx Qdy，
0 0
( x, y)
Pdx Qdy
y y0
M0CM
Pdx Qdy
M0 ( x0 , y0 )