2020高考数学考点题型深度剖析专题17导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的极值最值课后层级训练含解析

课下层级训练(十七) 利用导数研究函数的极值、最值

[A 级 基础强化训练]

1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －

x

D ．y ＝x ＋2

x

【答案】D [由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数；A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)；D 选项中的函数既为奇函数又存在极值．]

2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－e

D ．0

【答案】B [因为f ′(x )＝1

x －1＝1－x x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增

区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.]

3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件

D ．4百万件

【答案】C [y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当00；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大．]

4．(2019·河南南阳月考)已知函数f (x )＝13x 3－1

2ax 2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫12，3上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．⎝⎛⎭

⎫2，5

2 D ．⎝

⎛⎭⎫2，10

3 【答案】C [函数f (x )＝13x 3－1

2

ax 2＋x ，求导f ′(x )＝x 2－ax ＋1，由f (x )在⎝⎛⎭⎫12，3上既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫1

2，3内应有两个不同实数根.⎩⎪⎨⎪⎧

f ′⎝⎛⎭⎫12＞0，

f ＞0，

12＜1a ＜3，

f ′⎝⎛⎭

⎫1a ＜0解得2＜a ＜5

2

，实数a 的取值范围⎝⎛⎭⎫2，52.] 5．(2019·福建漳州月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 存在极大值0，则a 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．e

D ．1e

【答案】D [∵f ′(x )＝1x －a ，x ＞0，当a ≤0时，f ′(x )＝1

x －a ＞0恒成立，函数f (x )单调递增，不存在最大值；当

a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝1a ；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0，函数单调递增，当x ＞1

a 时，f ′(x )＜0，函数单

调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1＝0，解得a ＝1

e

.] 6．(2018·山东临沂期中)若函数f (x )＝x 3－mx 2＋4恰有两个零点，则实数m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

【答案】C [∵函数f (x )＝x 3－mx 2＋4，∴f ′(x )＝3x 2－2mx ，3x 2－2mx ＝0解得x ＝0或x ＝2

3m ，可知x ＝0或x

＝2

3m 是函数的两个极值点，函数f (x )＝x 3－mx 2＋4恰有两个零点，可知一个极值为0，因为f (0)＝4＞0，所以x ＝23m 是函数的极小值点，f (0)是函数的极大值．可得：2

3m ＞0，并且f ⎝⎛⎭⎫23m 是函数的极小值点，并且为0，f ⎝⎛⎭⎫23m ＝⎝⎛⎭⎫23m 3

－m ·⎝⎛⎭

⎫23m 2＋4＝0，解得m ＝3.] 7．(2019·河北三市联考)若函数f (x )＝1

3x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3，1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( ) A ．2b －4

3

B ．32b －23

C ．0

D ．b 2－1

6

b 3

【答案】A [f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)， ∵函数f (x )在区间[－3，1]上不是单调函数，

∴－30，得x 2，由f ′(x )<0，得b

3.]

8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的最小值为________. 【答案】－4 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.

f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.]

9．(2019·山东省实验中学诊断)已知f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax ，⎝⎛⎭⎫a ＞1

2，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________.

【答案】1 [由于当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，且函数y ＝f (x )是奇函数，所以当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln