非线性与离散系统
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
非线性离散薛定谔方程的显式精确解
cosh ( k) ) , r = 1, a0 = a1 = 0,
b1 = ±
( (
co sh ( k) 1 + cosh
- 1) ( k) )
,
c = 4 sin ( p) sinh ( k) / ( 1 + cosh ( k) ) ;
( 5) q = 2 ( 1 + cosh ( k) - 2cos( p) ) /
第 4期 朱加民 :非线性离散薛定谔方程的显式精确解
·403·
到了方程的精确解 。
1 双曲函数方法简述
为方便对改进的双曲函数方法的论述 ,以 ( 2
+ 1)维非线性差分微分方程为例 。设非线性差
分微分方程 (DDE)为
Δ( un + p1 ( x, t) , un + p2 ( x, t) , …,
+ co sh ( k) ) , a0 = 0, a1 = a1 ,
b1 = ±
( co sh ( k) - 1) (1 + cosh ( k) )
r= ±
( a21
-
1
+ cosh ( k) + a21 cosh ( k) ( cosh ( k) - 1
) ,
c = 4 sin ( p) sinh ( k) / ( 1 + cosh ( k) ) 。
( cosh2 ( k) - 1) cosh ( k)
tanh
(
kn
+ 2 sin
( p) sinh co sh ( k)
( k)
t
+ζ)
ei (
pn
+
2
( cosh2 ( k) - co s( p) cosh2 ( k)
离散控制系统的非线性控制设计
离散控制系统的非线性控制设计离散控制系统是一种常用于工业自动化领域的控制系统。
非线性控制设计是指在系统非线性特性存在的情况下，设计合适的控制策略以达到系统稳定控制的目标。
本文将介绍离散控制系统的非线性控制设计方法以及其应用。
1. 引言离散控制系统在工业中广泛应用，例如在机械制造、化学工程和电力系统等领域。
然而，受到系统本身的非线性特性的影响，传统的线性控制方法往往无法获得满意的性能。
因此，非线性控制设计成为离散控制系统中重要的研究方向。
2. 非线性控制设计方法为了解决离散控制系统的非线性特性，研究人员提出了多种非线性控制设计方法。
以下是其中几种常见的方法：2.1 反馈线性化控制反馈线性化控制是一种通过将非线性系统进行状态转换，使得转换后的系统线性化，然后设计线性控制器进行控制的方法。
它通过计算非线性系统的反馈线性化矩阵，将非线性系统映射到一个线性系统，从而简化了控制器的设计和分析过程。
2.2 滑模控制滑模控制是一种通过引入滑模面来实现对系统的非线性特性进行控制的方法。
滑模面是一条求解系统状态的曲线，通过引入滑模面，可以将非线性系统的行为限制在滑模面上，从而实现对系统的控制。
2.3 自适应控制自适应控制是一种通过根据系统的实时状态和误差信号来调整控制器参数的方法。
它可以自动调整控制器参数以适应系统的非线性特性和变化的工作条件，从而提高系统的控制性能。
3. 非线性控制设计的应用非线性控制设计方法在离散控制系统中有广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用案例：3.1 机械制造在机械制造过程中，离散控制系统常用于控制机器人的运动和姿态。
由于机器人的非线性特性，传统的线性控制方法无法满足对机器人运动的精确控制要求。
非线性控制设计方法可以通过引入反馈线性化控制或者滑模控制，实现对机器人的精确控制。
3.2 化学工程在化学工程过程中，离散控制系统常用于控制反应器或者传输管道。
由于反应器的非线性特性，传统的线性控制方法无法满足对反应器的稳定控制要求。
《自动控制原理》试卷及答案(a6套)
自动控制原理试卷A(1)1．（9分）设单位负反馈系统开环零极点分布如图所示，试绘制其一般根轨迹图。
（其中-P 为开环极点,-Z ，试求系统的传递函数及单位脉冲响应。
3.（12分）当ω从0到+∞变化时的系统开环频率特性()()ωωj j H G 如题4图所示。
K 表示开环增益。
P 表示开环系统极点在右半平面上的数目。
v 表示系统含有的积分环节的个数。
试确定闭环系统稳定的K 值的范围。
4．（12分）已知系统结构图如下，试求系统的传递函数)(,)(s E s C,3==p v （a ）,0==p v （b ）2,0==p v （c ）题4图题2图5．（15分）已知系统结构图如下，试绘制K 由0→+∞变化的根轨迹，并确定系统阶跃响应分别为衰减振荡、单调衰减时K 的取值范围。
6．（15分）某最小相位系统用串联校正，校正前后对数幅频特性渐近线分别如图中曲线(1)、(2)所示，试求校正前后和校正装置的传递函数)(),(),(21s G s G s G c ，并指出Gc （S ）是什么类型的校正。
7．（15分）离散系统如下图所示，试求当采样周期分别为T=0.1秒和T=0.5秒输入)(1)23()(t t t r ⋅+=时的稳态误差。
8．（12分）非线性系统线性部分的开环频率特性曲线与非线性元件负倒数描述曲线如下图所示，试判断系统稳定性，并指出)(1x N和G （j ω）的交点是否为自振点。
参考答案A(1)1、 根轨迹略，2、 传递函数)9)(4(36)(++=s s s G ；单位脉冲响应)0(2.72.7)(94≥-=--t ee t c tt 。
3、 21,21,21><≠K K K 4、6425316324215313211)()(G G G G G G G G G G G G G G G G G G s R s C ++++= 642531632421653111)()(G G G G G G G G G G G G G G G G G s R s E +++-= 5、 根轨迹略。
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
离散控制系统中的模型控制设计
离散控制系统中的模型控制设计离散控制系统是现代控制领域中的重要研究方向之一。
它涉及到对离散时间信号进行采样、量化和控制的技术。
离散控制系统的模型控制设计是对这些系统的建模和控制器设计的过程，具有广泛的应用价值和实际意义。
1. 离散控制系统的基本模型在离散控制系统中，系统的输入和输出信号在时间上是离散的。
常见的离散控制系统模型包括差分方程模型和状态空间模型。
对于线性时不变系统，可以使用差分方程模型描述系统的输入输出关系。
而对于非线性或时变系统，常常使用状态空间模型来描述系统的动态行为。
2. 模型控制设计的目标离散控制系统的模型控制设计的目标是设计一个控制器，使得系统的输出能够满足预期的性能指标。
通常的性能指标包括系统的稳定性、快速性和抗干扰能力。
在模型控制设计中，需要根据系统的数学模型和性能指标，选择合适的控制器结构和参数，以实现对系统的精确控制。
3. PID控制器设计PID控制器是离散控制系统中最常用的控制器之一。
它由比例（P）、积分（I）和微分（D）三个部分组成，通过对系统的误差信号进行加权运算，调节系统的输出。
PID控制器的设计可以通过经验法则或者优化算法来实现。
常用的经验法则包括Ziegler-Nichols法则和Chien-Hrones-Reswick法则。
4. 线性二次调节器设计线性二次调节器（LQR）是离散控制系统中一种优化控制方法。
它通过最小化系统输出与期望输出之间的误差的平方和，设计一个线性状态反馈控制器。
LQR控制器采用系统的状态反馈控制策略，通过对状态变量进行测量和调节，实现对系统的稳定性和性能的优化。
5. 系统辨识与模型预测控制系统辨识是离散控制系统中的关键技术之一，它通过对实际系统的输入输出数据进行分析和处理，确定系统的数学模型。
基于系统辨识得到的数学模型，可以应用模型预测控制（MPC）方法进行系统控制。
MPC控制器通过对未来一段时间内系统的状态进行预测，计算控制信号，实现对系统的控制和优化。
现代控制理论 离散时间系统、 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
《现代控制理论》MOOC课程1.5 离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式一. 时间离散系统离散系统的状态空间表达式可用差分方程组表示为x(k +1)=Gx(k)+Hu (k)y k =Cx k +Du(k)二. 线性时变系统其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时间t 的函数；线性时变系统的状态空间表达式为：x =A t x +A t u y=C t x +D t u三. 非线性系统x =f (x,u , t ）y=g (x,u,t)1.非线性时变系统的状态空间表达式式中，f ，g 为函数向量；x =f (x,u ）y=g (x,u)2.非线性定常系统的状态空间表达式当非线性系统的状态方程中不显含时间t 时，则称为非线性定常系统3.非线性系统的线性化x =f (x,u ）y =g (x,u)设是非线性系统x 0，u 0的一个平衡状态, 即。
f (x 0,u 0)=0 , y 0=g (x 0,u 0)若只考虑附近小范围的行为，则可将非线性系统取一次近似而予以线性化。
x 0，u 0，y 0将非线性函数f 、g 在附近作泰勒级数展开，并忽略高次项，仅保留一次项：x 0，u 0f x,u =f x 0,u 0+ðf ðx x 0,u 0δx +ðf ðu x 0,u 0δu g x,u =g x 0,u 0+ðg ðx x 0,u 0δx +ðg ðu x 0,u 0δu则非线性系统的一次线性化方程可表示为：δx =x −x 0=ðf ðx x 0,u 0δx +ðf ðu x0,u 0δu δy =y −y 0=ðg ðx x 0,u 0δx +ðg ðu x 0,u 0δu 将微增量用符号表示，线性化状态方程就表示为：δx ，δu ，δy x ，u ，y x=A x +B u y=C x +D u 其中,A =ðf ðx x 0,u 0,B =ðf ðu x 0,u 0,C =ðg ðx x 0,u 0,D =ðg ðu x 0,u 0第一章控制系统的状态空间表达式第一章小结状态变量、状态空间、状态空间表达式的定义建立系统状态空间表达式的方法，特别是状态变量选取的方法；状态空间表达式非奇异线性变换的方法；由状态空间表达式导出传递函数矩阵的方法；组合系统状态空间表达式的建立方法；离散系统、非线性系统状态空间的基本形式；。
自动控制原理：自动控制系统的性能指标
自动控制系统的类型
2. 性质 ① 满足叠加原理 ② 齐次定理
1)叠加性：如果用c1(t)表示由r1(t)产生的 输出，用c2(t)表示由r2(t)产生的输出，则 当r1(t)和r2(t)同时作用时，输出量为c1(t) + c2(t) 。
2)齐次性：如果用c(t)表示由r(t)产生的 输出量，则在Kr(t)作用下的输出量为 Kc(t)。
自动控制系统的类型
3. 判断方法
对方程
a0
d n yt
dtn
a1
d n1 yt
dt n1
...
an
yt
b0
d m xt
dtm
b1
d m1xt
dt m1
...
bm xt
其中x(t)为输入量,Y(t)为输出量.
若方程中,输入、输出量及各阶导数均为一次幂,且各 系数均与输入量(自变量)Ｘ（ｔ）无关.就可定义为①, 用拉氏变换可求出输入输出关系函数(传递函数,动态 数模)。
处或几处的信号是离散信号，则称为离散系统。 对控制系统性能的主要要求是稳定性、暂态性能和稳态性能等几个方
面。这些性能常常是互相矛盾的。
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 14
第二章
§2 自动控制系统的数学模型
0 序言 §2-1 动态微分方程式的编写 §2-2 非线性数学模型线性化 §2-3 传递函数 §2-4 系统动态结构图 §2-5 系统传递函数和结构图的等效变换 §2-6 信号流图
导读
为什么要介绍本章?
分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模型。
本章主要讲什么内容?
首先介绍控制系统数学模型的概念，然后阐述分析、设计控 制系统常用的几种数学模型，包括微分方程、传递函数、结构 图以及信号流图。使读者了解机理建模的基本方法，着重了解 这些数学模型之间的相互关系。
动力学的一些简单概念
机械振动：机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。
本书涉及的振动均指机械振动。
激励、响应和系统三者之间的关系已知其中之二可求其一振动的分类线性振动：用线性微分方程描述。
在线性振动中叠加原理成立非线性振动：非线性微分方程描述系统的自由度数：描述系统运动所需要的独立坐标的数目。
•连续系统：在实际中遇到的大多数振动系统的质量和刚度都是连续分布的，通常需要无限多个自由度才能描述它们的振动，它们的运动微分方程是偏微分方程。
如等截面的梁、杆，以及板等。
•离散系统：在结构的质量和刚度分布很不均匀时或者为了解决实际问题的需要，把连续结构简化为由若干个集中质量、集中阻尼和集中刚度组成的离散系统。
所谓离散系统是指系统只有有限个自由度。
描述离散系统的振动可用常微分方程。
其他的分类:(1)按激励情况分类：自由振动：系统在初始激励下或原有的激励消失后的振动。
强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。
(2)按响应情况分类：简谐振动：振动的物理量为时间的正弦或余弦函数。
周期振动：振动的物理量为时间的周期函数，可用谐波分析的方法归结为一系列简谐振动的叠加。
简谐振动也是周期振动。
瞬态振动：振动的物理量为时间的非周期函数，在实际的振动中通常只在一段时间内存在。
离散振动系统三个最基本的元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。
在系统振动过程中惯性元件储存和释放动能，弹性元件储存和释放势能，阻尼元件耗散振动能量。
单自由度系统：只有一个自由度的振动系统称为单自由度振动系统。
单自由度线性振动系统可以用一个常系数的二阶线性常微分方程描述它的振动规律。
自由振动：系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。
其振动规律完全取决于系统本身的性质。
阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。
最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小与相对速度成正比，方向与速度方向相反。
等效阻尼方法是，假定系统做简谐振动，令原系统耗散的能量与粘性阻尼耗散的能量相同，从而求出等效阻尼系数。
信号与系统名词解释
名词解释1.双口网络：如果一个网络有两个端子与外部电路相连接，使网络有两个端口，为双口网络。
2.对称双口网络：如果将双口网络的入口与出口对调后，其各端口电压、电流保持不变，为对称双口网络。
3.双口网络分析：①端口电流的参考方向均为流入双口网络，且采用正玄稳态相量模式。
②双口网络内部不含独立电源，且初始状态为零的线性时不变网络。
4. 网络函数：在正玄稳态电路中，响应相量与激励相量之比。
若激励与响应在网络的同一端口，则为策动点函数；若不在同一端口，为传输或转移函数。
4.频率响应：在保持电源电压不变的情况下，电路中的电流、电压和阻抗等物理量随电源频率变化的关系。
5.系统：由若干相互关联、相互作用的事物按一定规律组合而成的具有某种功能的整体。
6.连续系统：当系统的输入是连续时间信号时，若系统的输出也是连续时间信号，则称该系统为连续系统。
7.连续信号：在连续时间范围内（—∞<t<∞）有定义的信号。
8.系统的时域分析：若求解系统响应的整个过程是在时间域里进行的，则为系统的时域分析。
9.线性系统：一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统为线性系统；否则，为非线性系统。
10.时不变系统：如果激励作用于系统引起零状态响应时，当激励延迟了一定时间后作用于系统时，其引起的零状态响应也延迟了相同时间的系统。
它具有微分特性和积分特性。
11.系统建模：根据实际系统的结构、元件特性，利用有关基本定律寻找能表征系统特征的数学关系式。
12.阶跃响应：当激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应为单位阶跃响应。
13.网络输出阻抗：将激励源置零保留激励源为阻抗，此时输出口得等效阻抗为网络输出阻抗。
14.谐振电路的选择性：若串联谐振电路中有不同频率的电源同时作用时，则接近谐振频率的电流成分将较大，而偏离谐振频率的电流成分则较小，由此可将谐振频率附近的电流成分选择出来。
15.线性性质包含的两个内容：齐次性：当激励增大a倍时，零状态响应也增大a倍。
MATLAB的控制系统数学建模
赵广元.MATLAB与控制系统仿真实践，
北京航空航天大学出版社，2009.8.
在线交流，有问必答
8
后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系 统为主。
（2）线性定常离散系统： 离散系统指系统的某处或多处的信号
为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分 方程(difference equations)来描述。 （3）非线性系统：
方式2：
>> s=tf(‘s’)
%定义Laplace算子
Transfer function:
s >> G=10*(2*s+1)/s^2/(s^2+7*s+13) %直接给出系统传递函
数表达式
Transfer function:
20 s + 10
s^4 + 7 s^3 + 13 s^2
--------------------
赵广元.MATLAB与控制系统仿真实践，
北京航空航天大学出版社，2009.8.
在线交流，有问必答
10
控制系统的传递函数模型
MATLAB与控制系统仿真实践，
北京航空航天大学出版社，2009.8.
在线交流，有问必答
12
本节主要内容
系统传递函数模型简述 传递函数的MATLAB相关函数 10.1.3 建立传递函数模型实例
北京航空航天大学出版社，2009.8.
在线交流，有问必答
7
原理要点——系统分类
按系统性能分：
线性系统和非线性系统；连续系统和 离散系统；定常系统和时变系统；确定系 统和不确定系统。
（1）线性连续系统： 用线性微分方程式(differential equations)
自动控制原理之非线性系统和离散系统
自动控制原理一、 非线性系统1、按照平衡状态的定义，在无外作用且系统输出的各阶导数等于0时，系统处于平衡状态。
2、自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。
3、描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。
对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
4、奇点定义以微分方程()x x f x ,=表示的二阶系统，其相轨迹每点切线的斜率为()xx x f dx x d ,=，若在某点处()xx f ,和x 同时为0，即有00=dx xd 的不定形式，则称该点为相平面的奇点。
5、相平面的奇点亦称为平衡点，奇点必与x 轴相交。
6、奇线奇线就是特殊的相轨迹，它将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域。
最常见的奇线就是极限环。
极限环是相互孤立的，在任何极限环的邻近都不可能有其他的极限环。
极限环是非线性系统特有的现象，只发生在非守恒系统中，这种周期运动的原因不在于系统无阻尼，而是系统的非线性特性，它导致系统能量做交替变化。
由此就有可能从某种非周期性的能源中获取能量从而维持周期运动。
7、描述函数法的基本思想当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。
此时，非线性系统近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。
8、描述函数的定义设非线性环节输入输出描述为()x f y =，当非线性环节输入为()t A t x ωsin =时，可对非线性环节的稳态输出()t y 进行谐波分析。
一般情况下()t y 为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数()()()∑∑∞=∞=++=++=1010sin sin cos n n n n n nt n Y A t n B t n AA t y ϕωωω，其中0A 为直流分量；()n n t n Y ϕω+sin 为第n 次谐波分量，且有nnn nn n B A B A Y arctan22=+=ϕ，式中n n B A ，为傅里叶系数，用下式描述 ()()()()td t y A n t td n t y B ttd n t y A n n ωπωωπωωππππ⎰⎰⎰====2002020212,1sin 1cos 1若00=A ，且当n>1时，n Y 均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量：()()1111sin sin cos ϕωωω+=+≈t Y t B t A t y上式表明，非线性环节可以近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。
S3-非线性自治系统
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔
2 1 x1 ( x12 x2 x ) x2 2 2 x2 ( x12 x2 x ) x1
例：考虑系统
（3）分岔特征
1 r r 3 , r
u u C v v
f h
u u 1 B JB v v
1 0 C 0 2
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
a c
2
b 0 d
aij
( p1 , p2 )
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
练习：确定下列方程的平衡点及其类型、稳定性。
3 ⑴ u 2au u u 0
⑵
3 u 2au u u 0
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点 非线性系统典型特征之一：多重孤立的平衡点
x1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
A
1
1.5
B
2
A
B
3.4 典型分岔类型 3.4.3 叉形分岔 例：考虑系统
1 x1 x13 x 2 x2 x 1 x1 x13 x 2 x2 x
① 0 (0, 0)
(0, 0) ② 0 ( , 0) ( , 0)
0
1
1
0
0.5
0.5
0
0
-0.5
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点
1 0.5[h( x1 ) x2 ] x 2 0.2[ x1 1.5 x2 1.2] x
离散控制系统中的非线性控制
离散控制系统中的非线性控制离散控制系统是现代自动控制领域中的重要研究方向之一。
随着科学技术的发展，人们对控制系统性能的要求越来越高，对非线性控制方法的研究也变得更加重要。
本文将探讨离散控制系统中的非线性控制问题，并介绍其中的常见方法和技术。
1. 引言离散控制系统是指系统中的信号和变量以离散的形式存在和变化的控制系统。
它由离散元件和连续元件组成，常见的离散元件包括开关、计数器等。
在离散控制系统中，非线性控制方法能够更好地适应系统的特性，提高系统的鲁棒性和性能。
2. 非线性控制方法2.1 反馈线性化方法反馈线性化方法是一种常用的非线性控制方法，它通过在系统输入和输出之间引入一个反馈环节来实现控制。
该方法的基本思想是将系统的非线性部分通过反馈环节进行抵消，使系统整体表现为线性系统。
反馈线性化方法可以有效地解决一些非线性系统的控制问题。
2.2 滑模控制方法滑模控制方法是一种基于离散滑动模式的非线性控制方法。
它通过引入一个滑模面来强制系统状态跟踪预期轨迹，从而实现对系统的控制。
滑模控制方法具有较强的鲁棒性和抗干扰能力，能够有效地应对系统中的非线性特性。
3. 应用案例3.1 摆杆控制系统摆杆控制系统是一个经典的非线性控制问题。
在该系统中，通过对摆杆的控制来实现系统的稳定性和性能要求。
非线性控制方法可以通过引入适当的控制策略，使摆杆系统达到预期的控制效果。
3.2 机器人控制系统机器人控制系统是一个典型的离散控制系统。
在机器人控制中，非线性控制方法可以用来处理机器人运动的非线性特性，提高机器人的运动控制性能和鲁棒性。
4. 结论离散控制系统中的非线性控制方法具有重要的理论和应用价值。
反馈线性化方法和滑模控制方法是两种常见的非线性控制方法，可以有效地解决离散控制系统中的非线性控制问题。
在实际应用中，非线性控制方法可以用于摆杆控制系统、机器人控制系统等领域，为系统的稳定性和性能提供支持。
通过对离散控制系统中的非线性控制方法的研究，可以更好地理解离散控制系统的特性和性能，提高系统的控制质量和鲁棒性。
【doc】非线性离散动力系统稳定性的等价定理
非线性离散动力系统稳定性的等价定理第4期2004年12月华东师范大学(自然科学版)JournalofEastChinaNormalUniversity(NaturalScience)No.4Dec.2004文章编号:1000—5641(2004)04—0010—06非线性离散动力系统稳定性的等价定理汪志鸣,郑毓蕃,戴浩晖(1.华东师范大学数学系,上海200062;2.华东师范大学计算机系,上海200062)摘要:证明了用K类函数表示的离散动力系统一致稳定和一致渐近稳定的等价定理.进而给出用KL函数刻划的一致渐近稳定判定定理及其逆定理.从而对于离散时间动力系统的扰动分析和相应控制问题研究奠定了严格的理论基础.关键词:非线性系统;自动控制;离散动力系统中图分类号:0175.13文献标识码:A0引言随着自动控制理论研究领域的扩大和计算机技术的普及,离散时间系统已日趋成为系统与控制理论中的一类主要研究对象L1].不少文献(例如文献[2])在没有严格证明的基础上认为连续时间系统表示的离散动力系统行之有效的K函数理论在离散情形自然成立而直接使用.本文给出用K类函数刻划一致稳定和一致渐近稳定等价定理的严格证明,进而给出了用KL函数刻划的一致渐近稳定判定理及其逆定理.从而为离散动力系统的扰动分析和相应控制问题的研究奠定了严格的理论基础.1稳定性概念的K函数表示从数学上看,离散动力系统由如下差分方程表示:x(k+1)一f(k,(忌))(1.1)其中z∈R,fEC[N×,R],N为非负整数集合.设f(k,O)一0,V忌∈N,并且假设原点是唯一的平衡点,x(k,k.,X.)表示系统(1.1)过初始点(忌.,X.)的解.又设V(k,)∈C[N×R,R],则V(k,)沿系统(1_1)的差分定义为def△V(忌,(忌))一V(忌+1,x(k+1))一V(忌,(忌))=V(忌+1,f(k,z(忌)))一(忌,(忌)).(1.2)函数a(?):R≥.×一R≥.称为K函数,如果它是严格单调增加的连续函数,且a(0)一0;函数a(?)称为K函数,如果它是K函数,并且a(5)一..;函数卢(?,?):R≥.×R≥.一R≥.称为KL函数,如果对每一个固定的￡≥0,卢(?,￡)是K函数,以及对每一个固定的≥0,卢(5,?)是单调下降的连续函数,并且卢(5,￡)一0定理1.1系统(1.1)的平衡点一0一致稳定的充分必要条件是存在K函数a(?)和与k.无关的常数d>0使得ll(忌)ll≤a(1lx(k.)l1),V忌≥忌.≥O,Vllx(k.)ll<d.(1.3)收稿日期:2003—03基金项目:国家自然科学基金(10371040)和上海市重点学科建设项目作者简介:汪志鸣(1953一),男,副教授.第4期汪志呜,等:非线性离散动力系统稳定性的等价定理11证明充分性:若存在K函数a(?)和与忌.无关的常数a>O使得II(忌)II≤a(1lx(k.)II),V忌≥忌.≥O,Vllx(ko)ll<,则V e>O,令(e)一min{,a(e)),对任何llx(k.)II<(e),都有ll(忌)ll≤≤口(1lx(k.)l1)<:口((e))≤口(口一(e))一e,因此系统(1.1)的平衡点一0一致稳定.必要性:若系统(1.1)的平衡点一0一致稳定,即V e>O,了一(e)>O使得llx(k.)II<(e)II(忌)II<e,V忌≥忌..固定e,记(e)一sup{所有适用的(e)),则llx(k.)II<(e)II(忌)Il<e,V忌≥忌..这样取定的(e)为正,并且关于e不减,但未必连续.选一个K函数(r)使得(r)≤c(r),O<c<1.设a(r)一(r),则a(r)为K函数,记—lim(r),则与忌.无关.于是对任意满足llx(k.)II<的(忌.),取e—a(II(忌.)l1)>O,则有llx(k.)ll—a(e)一(e)<(e)以及II(忌)II≤e—a(1lx(k.)l1),V忌≥忌..证毕.定理1.2系统(1.1)的平衡点一0一致渐近稳定的充分必要条件是存在KL函数卢(?,?)和与忌.无关的常数>O使得llx(k)II≤卢(1lx(k.)ll,忌--k.),V忌≥忌.≥O,Vllx(k.)II<.(1.4)系统(1.1)的平衡点一0全局一致渐近稳定的充要条件是存在KL函数卢(?,?)使得上述不等式(1.4)对任意初始状态x(k.)都成立.证明充分性:倘若存在的KL函数卢(?,?)和与忌.无关的常数>O使得ll(忌)ll≤卢(1lx(k.)ll,忌一忌.),V忌≥忌.≥O,Vllx(k.)ll(.由于对每一个固定的s≥0,卢(s,?)是单调下降函数,所以成立II(忌)II≤卢(1lx(k.)ll,O),V忌≥忌.≥O,因此由定理1.1可知,系统(1.1)的平衡点一0一致稳定.其次又由于llx(k)ll≤卢(,忌一忌o),所以(忌)当忌一..时关于忌.一致地趋于0.故系统(1.1)的平衡点一0一致渐近稳定. 必要性:设系统(1.1)的平衡点一0一致渐近稳定,即平衡点一0一致稳定以及一致吸引.因为一致稳定,所以存在与忌.无关的常数>O以及K函数a(r),rE(O,),使得系统(1.1)的解x(k)满足:II(忌)lI≤a(1lx(k.)l1)<a(r),V忌≥忌.,Vllx(k.)II<r.(1.5)又由于一致吸引,对于V e>O,存在T—T(e,r)(依赖于e和r,但与忌.无关)使得llx(k)ll<e,V忌o+T(e,r).记Tr(e)一inf{J(e,r)),于是有llx(k)ll<e,V忌≥忌.+T(e).并且supllx(k)ll≥e,忌≤忌<忌o+T(e).如此得到的序列{Tr(e))满足(1)对每一个固定r>0,T(e)关于e不增;(2)对每一个固定e>0,T,(e)关于r不减;(3)当a(r)≤e时,由于II(忌)II<a(r)≤e,V忌≥忌.,故得Tr(e)一0.所以Tr(e)≥O.12华东师范大学(自然科学版)令(￡)=÷I丁r(s)ds.由于丁r(￡)单调,所得到的序列{(￡))可积,关于￡连续,且'/2 局部绝对连续,因此它有定义,并且满足(￡)≥÷T(￡)Idx=Tr(8).'/2进一步,因为局部绝对连续,所以下式几乎处处成立'一一)ds+kETr(e)._1e)]一1ETa(￡)一(￡]+÷『-丁r(￡)一Tr(--~)I(No.因此关于￡不增.于是(￡),满足:(1)对每一个固定r>O,(￡)关于￡不增,且连续;(2)对每一个固定￡>o,(￡)关于r不减;(3)T—r(￡)≥O.记则W,(￡)满足:w(￡)一T—r(￡)+.(1)对每一个固定r>0,W,(￡)=￡)关于￡严格递减,连续且limw(￡)一0和￡一o.limW,(￡)一;e-?0(2)对每一个固定￡>O,W(￡)关于r严格递增,且liraW,(￡)一o.;(3)W(￡)>0以及W,(￡)>T,(￡).对每一个固定r)0,令V,(￡)一w(￡),即V(￡)为W(￡)的反函数.于是V,(￡)仍具有w,(￡)所满足的前两条性质,并且((s))<w,(,(s))=s.当k—k.≥(￡),llz(k.)ll<r时,都有IIz(忌)II≤￡,从忌一忌.≥(￡)中解出￡:￡≤T(忌一忌.)≤V(忌一忌.),所以I1z(忌)I1≤V(忌一忌.),V忌≥忌.,VI1x(k.)l1<r,(1.6)于是由式(1.5)和(1.6)可得llz(忌)lI≤~/口(『1x(k.)『1)(忌--k.),V忌≥忌.,Vllx(k.)ll<c.记fl(r,s)一呵,则容易验证fl(r,s)是KL函数.全局一致渐近稳定的证明类似.由于篇幅关系,故省略.证毕.在定理 1.1和定理 1.2的基础上,一致渐近稳定性概念可以用满足不等式(1.4)的KL函数来刻划,文献[3]曾经用满足不等式(1.4)的KL函数定义渐近稳定性来讨论问题,但由于没有严格的证明,在文献[3]中称这种稳定为稳定.实质上就是通常的李雅普诺夫意义下的渐近稳定.本节的两个定理证明了用满足不等式(1.4)的KL函数刻划渐近稳定的等价性.在此基础上发展离散李雅普诺夫直接方法,建立离散李雅普诺夫稳定性理论现代处理的框架对以后问题的进一步研究大有帮助.2一致渐近稳定的判别的定理及其逆定量众所周知,各种李雅普诺夫稳定性的判定定理是整个稳定性理论的核心,其逆定理的研第4期汪志鸣,等:非线性离散动力系统稳定性的等价定理13究从理论上说明判定定理的有效性及有效程度.因此对离散动力系统相应问题的研究是十分必要和有意义的,本节讨论用KL函数刻划的离散动力系统一致渐近稳定的李雅普诺夫判定定理及其逆定理.当离散动力系统求解困难时,离散时间比较原理的方法十分有用.引理2.1设g:N志×R一R对每一个固定的七,g(k,)关于Y非减,其中R为非负实数集,N一{忌∈Nl忌≥忌.1).如果对任意忌≥忌.,下列不等式x(k+1)≤g(k,(忌)),且y(k+1)≥g(k,(忌))(2.1)同时成立,则x(k.)≤y(k.)成立,可以推出对任意的忌≥忌.,都有(忌)≤(忌).类似于连续情形文献E33中的引理3.4,我们有如下重要引理,引理2.2设:N一R满足下列不等式x(k+1)一(忌)≤一口((忌)),忌∈N(2.2)其中a∈K,则存在∈KL使得(忌)≤((忌.),忌--k.),忌∈N(2.3)证明作辅助函数:()一(忌)+[(忌+1)--x(k)-I(￡一是)tE[忌,忌+1],忌≥忌.,则(￡)在tE[忌.,..]上连续,且(忌)≥一[(忌+1)--x(k)](￡一是)≥口((忌))(￡一是)>1o.所以(￡)≥O,关于t逐段线性,因此局部绝对连续,于是对t下式几乎处处成立士(￡)一(忌+1)--x(k)≤一口((忌)),tE[忌,忌+1],忌≥忌..由于不等式(2.2),故得(￡)≤(矗),tE[忌,忌+1],忌≥忌.,因此可得士(￡)≤一口((忌))≤一口((￡)),于是由文献E63中节4的结论可知,存在∈KL,使得(￡)≤((忌0),￡一是0),tE[忌0,∞).取￡一是,忌≥是.,贝U(忌)≤((忌.),忌--k.),tEN.证毕.定理2.3若存在连续函数V(k,):N×D,一R,以及口,口2,∈K使得,对V,c∈N和V∈D,成立l1)≤V(忌,)≤az(l1)f24)1z~V(k,)≤一(1ll1),'则离散动力系统(1.1)的平衡点x=0在上一致渐近稳定,其中a—a(a(r)).如果a∈K,以及性质(2.1)在Dr—R"上成立,则离散动力系统(1.1)的平衡点一0全局一致渐近稳定.证明选取x(k.)使得llx(k.)ll<口(口(r)),记—(口(r))≤r,所以有(是.)∈D,,并且口(1l(,c)l1)≤V(k,x(忌))≤V(k.,x(k.))≤口2(1lx(k.)l1)<口(r),进而可得(忌)∈D,忌∈N,所以过x(k.)∈D的轨道(忌)在区域D,内存在唯一.同时有△V(忌,(忌))≤一(口(V(忌,(忌)))).引进辅助函数y(k+1)一(忌)=tool3(口((忌))),y(k.)一V(忌.,x(k.)),忌≥忌..14华东师范大学(自然科学版)则由引理2.2可知,存在∈KL,使得(忌)≤J9((忌.),k—k.),V忌≥忌..因为y(k.)一(忌.,x(k.)),所以V(k,(忌))≤(忌),忌≥忌..于是有V(k,(忌))≤(忌)≤J9((忌),忌一k.)~fl(V(k.,x(k.)),k—k.),所以(忌)II≤a((忌,(忌)))≤aO(V(k.,x(k.),忌一是.)))aF(a2(x(kl.)),忌一是.))det((忌.),k--k.),Vx(k.)∈DD,.(2.5)其中fl(x(k.),k—a(J9(az)((忌.)),忌))仍然是KL函数.因此离散时间系统(1.1)式在D上一致渐近稳定.如果a∈K..,则显然a.∈K..,并且性质(2.4)在D,一R上成立,则上述所构造的KL函数J9(?,?)使得不等式(2.5)对所有的(忌.)∈R成立.因此离散时间系统(1.1)式的平衡点一0全局一致渐近稳定.证毕.对于平衡点一0一致渐近稳定的离散动力系统(1.1)式是否存在函数V(k,)满足式(2.4),这就是着名的李雅普诺夫反问题.专着[4]中第五章的定理5.12.5是相应问题的传统处理.定理2.4如果离散动力系统(1.1)式是在N×D,上解存在,并且系统(1.1)式的平衡点一0一致渐近稳定,则在N×D,上存在满足性质(2.4)的函数V(k,).如果系统(1.1)的平衡点一0全局一致渐近稳定,则存在在N×R"上满足性质(2.1)的函数V(k,主).如果系统(1.1)是自治系统,则V(k,)可以选择为与k无关的函数.证明V(忌,)∈N×D,,设(r,k,)为离散动力系统(1.1)通过初始点(忌,)的轨道.由题设条件可知,存在J9∈KL使得ll(r,k,)ll≤p(1lll,r一是).利用文献[5]的命题7可知,存在a,y∈K..使得.(』9(lI,r一是))≤y(l1)exp{一),(2.6)其中9>0为待定的常数.定义函数V(k,)如下:V(k,)一defsupa(1l(r,k,)l1)exp{盟),(2.7)其中是使得exp{一鲁)≤告成立的常数,而取为>.的任何常数.取rl=k可得V(k,z)≥a(1l(忌,k,)l1)一a(1ll1)一defa(1ll1).同时有V(k,)≤sup(J9llll,r一是)exp{)≤y(Ill1)supexp{一.(~--2).(r--k)}≤y(1lXl1)一a.(1lXl1).而对于沿着轨道的差分,由于V(k+l,(忌+1,k,x=supa(I(r,k+l,~(k--kI,忌,))I)exp{)=supa(1,k,)exp{)exp{一第4期汪志鸣,等:非线性离散动力系统稳定性的等价定理15≤sup(I(r,k,z)I)exp()exp(一害).r≥^厶厶一(忌,z))exp(一A).因此可得A V(k,)一V(k+1,(忌+1,忌,z)--V(k,(是,k,z))~--V(k,(忌,k,z))(1一exp{一))≤一V(k,z)≤一1a(1lzl1)一def—a.(1lzl1),其中Ol.(1lXl1)为K函数.所以存在满足性质(2.4)的函数V(k,z).如果D一R,则r 可以选择为无穷大,所以函数V(k,z)在上满足性质(2.4),此时显然Ot∈K..,因而Ot∈K... 当系统(1.1)是自治系统时,如果(r)一(r,k,z)是系统(1.1)的解,则(r)一(r一忌,0,z)也是系统(1.1)的解,进一步,因为(忌)一z一(忌),所以(r)=(r),Vr≥忌.因此我们总可以取k一0.于是V(k,z)可以选择如下:(z)=defsupa(z(r,o,)l1)exp(),vzED.它与变量k无关.证毕.注:对于全局一致渐近稳定的情形,性质(2.4)中的K函数a.可以选为K...函数嘲. [参考文献][1]KokotovicP,ArcakM.Constriuctivenonlinearcontrol:Ahistoricalperspective[J~.Auto maticl,2001,37:637～662.[2]NesicD,TeelAR,KokotovicPV.Sufficientconditionsforstabilizationofsampled—datanonlinearsystemsviadis—crete-timeapproximatios[-J~.SystemsControlLetter,1999,38:259～270.[3]KhaililHK.NonlinearSysems[M].NewJersey,PrenticeHall:1996.[4]AgarwalRP.DifferenceEquationsandInequalities,Theory,Methods.andApplications[ M].NewY ork:MarcelDekker,Inc,2000.Is]mentsonintegralvariantsofISS[J].SystemsControlLetters,1998,34:93～100.[6]SontagEnSmoothstabilizationimpliescoprmefactorization[J].IEEETransAutomatCo ntrl,1989,34:435～443.EquivalentTheoremsforV ariousUniformStabilitiesofDiscrete-timeNonlinearSystemsW ANGZhi—ming,ZHENGYu—fan,DAIHao—hui(1.DepartmentofMathematics,EastChinaNormalUniversity,Shanghai,200062,China;puterSciencesDepartment,EastChinaNormalUniversity,Shanghai.200062.China )Abstract:EquivalenttheoremsintermsofclassKfunctionsarepresentedforuniformstability anduni—formasymptoticstabilityofdiscrete-timenonlinearsystems.Onthebaseoftheequivalentthe orems.thetheoremofuniformasymptoticstabilityforthediscrete-timenonlinearsystemsanditscomve rsetheoremarealsoobtained.Keywor~:nonlinearsystems;automaticcontrol:discrete-timedynamics。
S2-非线性离散系统
3.55
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2.1 解的形态及稳定性 问题1：如何观察和确定迭代解？ Poincare截面
3.8
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1
N 100
N 500
1 0.9 0.8 0.7
循环：扫描参数区间
循环：数值迭代 消除过渡过程并画图
2.1 解的形态及稳定性 问题4：分岔图的程序实现
2.1 解的形态及稳定性
2.1 解的形态及稳定性 【分岔】 随着参数的变化，动力系统的解的性态发生质的变化。
发生分岔的前提：失稳
分岔：把定常解、周期解的稳定性和混沌联系在一起。 运动稳定性：经典的课题 混沌：现代的课题
临界慢化现象：在解的性态发生改变的临界点处，过 渡过程变得很长，收敛速度变得非常慢。
2.1 解的形态及稳定性
一元一次离散映射系统数值迭代的问题： 观察和确定迭代解 临界点处的迭代：临界慢化现象 初值点对迭代解性态的影响 分岔图的绘制
2.1 解的形态及稳定性 问题3：初值对解的性态的影响
8 7 6 5 4 3 x 10
29
60
80
100
120
y = 4.7332e-031
f ( x) 2 x
2 1 0
2.1 解的形态及稳定性
f ( x) x(1 x)
x=0.1; u=0.5; for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y; end y
运行结果： y = 7.8544e-008
自动控制原理总经典总结
自动控制原理总经典总结自动控制原理》总复控制系统控制系统是由受控对象和控制器组成的系统，用于控制和调节被控量。
根据不同的角度，控制系统可以分为恒值系统和随动系统、线性系统和非线性系统、连续系统和离散系统、定常系统和时变系统等。
线性系统线性系统是指系统的输出与输入之间存在线性关系的系统。
建模时可以采用求传函或脉冲传函的方法，分析时可使用根轨迹法、频率特性法等方法。
非线性系统非线性系统是指系统的输出与输入之间不存在线性关系的系统。
建模时可以采用描述函数法或相平面法，稳定性分析时可以求奇点和极限环，运动时间可以通过振幅和频率计算得出。
控制系统的基本概念控制系统的基本术语包括自动控制、系统、自动控制系统、被控量、输入量、干扰量、受控对象、控制器、反馈、负反馈控制原理等。
掌握这些基本概念可以帮助理解控制系统的基本组成和工作原理。
基本控制方式控制系统的基本方式包括开环控制系统、闭环控制系统和复合控制系统。
开环控制系统没有反馈，闭环控制系统则通过反馈控制来实现对被控量的调节，复合控制系统则是开环控制和闭环控制的组合。
数学模型数学模型是用数学表达式描述控制系统的工作原理和特性的模型。
建模时可以采用物理系统的微分方程描述、拉普拉斯变换及反变换、传递函数及典型环节的传递函数、脉冲响应函数等方法。
图形表示可以采用结构图、信号流图等方法。
基本要求研究自动控制原理需要掌握控制系统的基本概念、基本控制方式、数学模型等知识。
同时，需要了解控制系统的分类和典型输入信号，并能够正确理解数学模型的特点和概念。
掌握这些知识可以帮助理解控制系统的工作原理和实际应用。
2.了解动态微分方程建立的一般方法和小偏差线性化方法。
3.掌握使用拉普拉斯变换解微分方程的方法，并对解的结构、运动模态、特征根的关系、零输入响应、零状态响应等概念有清晰的理解。
4.正确理解传递函数的定义、性质和意义，并熟练掌握系统开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数等概念。
离散系统非线性行为的描述与建模
离散系统非线性行为的描述与建模摘要：综合已给数据，使用最小二乘法，非线性拟合的方法，建立非线性回归模型，描述离散系统的非线性行为函数，并利用傅里叶变换，研究系统非线性行为的优化并分析模型的鲁棒性。
关键词：无线通信系统；最小二乘法；非线性拟合；傅里叶变换一、问题的提出无线通信系统的电子电路或多或少存在一定的非线性效应，这种非线性行为会导致接收信号产生失真。
由此对这种非线性现象的精确描述与建模对通信电路的设计有重要的意义。
另外由于在通信电路中存在储能元件。
此时系统的输出不仅依赖于系统当前时刻的输入，也依赖于之前若干时刻的输入。
虽然上述非线性行为描述和建模的方法很多，但都有一定的局限性，往往在工程实现的时候要综合考虑计算精度和算法鲁棒性等。
考虑一个输入和输出均为离散信号的系统，附件给出了一组输入信号幅度和输出信号幅度的测量值，请研究下述问题：问题1：对附件中的数据集，建立输入和输出之间的数学模型。
问题2：通过对输入信号进行一定的预处理，可以保障系统的最终输出和输入之间呈现线性关系。
一般情况下，在通信电路中，输入信号的幅值是受限的，也就是说其峰值要小于某一个值。
在峰值受限的情况，建立模型研究输入信号的预处理。
问题3：对问题1、问题2模型中提出的方法进行精确度和鲁棒性的分析。
二、非线性回归模型的建立（一）线性系统的假定根据附件数据，作输出/输入关于序列N的图像，得图1，N=0~800时系统可近似为线性。
图1：输出比输入的值随N的变化因此假定此时该系统为常系数线性离散系统，其一般形式为：（1）（二）最小二乘法辨识系统离散系统的模型已知，为线性差分方程，需要辨识的内容包括系统的阶次n，延时d，以及系数。
所以可以将辨识分为两步，第一步辨识系统的延时d，通过计算残差平方总和J和d的关系，分析J最小时对应的d即为该离散系统延时。
第二步假设系统的阶次n=7，使用递推最小二乘法计算并观察系数。
将N=0—800数据带入程序，得结果如下：依图延时d取1时，J最小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《非线性与离散系统》课程教学大纲
Nonlinear and Discrete Control System
课程编号：2000492 学时数：32
适用专业：电气工程及其自动化学分数：2学分
执笔者：王艳邱瑞昌编写日期：2002.5
一、课程的性质和目的
课程性质：非线性离散控制系统是电气工程及其自动化专业的技术基础选修课之一。
主要目的：培养学生
１、掌握非线性控制系统、离散控制系统的分析方法；
２、学会使用非线性环节改善系统的动态性能及用离散系统的理论分析数字系统；
３、掌握典型非线性环节及采样系统的实验方法，获得实验技能的基本训练。
4．了解非线性控制系统和离散控制系统的发展方向。
二、课程教学内容
第一章非线性控制系统
内容：理解非线性控制系统的基本概念及其与线性控制系统的区别，掌握非线性控制系统的两种分析方法 描述函数法和相平面法；学会利用非线性特性改善系统的动态性能。
了解如何运用计算机对非线性系统进行辅助分析和设计。
重点：描述函数法、相平面法。
难点：运用两种分析法分析非线性系统。
作业：9个。
自学内容：典型环节描述函数的求取，（自学不占课时，但要考试）。
自学前给出求取描述函数的一般方法，自学后布置作业检验自学效果。
课堂讨论：如何利用非线性特性改善控制系统的动态性能。
实验环节：非线性控制系统的综合与校正、采样控制系统设计实验。
第二章线性离散控制系统
理解采样过程的数学描述，掌握采样定理，会确定采样周期；掌握信号如何恢复和保持，会运用Ｚ变换求取系统的脉冲传递函数；会分析线性离散系统的稳定性；学会运用时域分析法分析离散系统；了解数字控制器的模拟化和数字化的设计方法。
重点：采样定理、信号的采样和保持、Ｚ变换、脉冲传递函数、离散系统的稳定性。
难点：采样过程、离散系统的稳定性、数字控制器的设计。
作业：8个。
自学内容：Z变换与Z的反变换，（自学不占课时，但要考试）。
自学前对内容作简要介绍，自学后布置作业检验自学效果。
课堂讨论：数字控制器的设计方法。
实验环节：采样控制系统的校正
三、课程教学的基本要求
本课程的教学环节包括：自学、课堂讲授、自制多媒体电子课件、习题课、课外作业、实验。
通过本课程各个教学环节的教学，重点培养学生的自学能力、动手能力、分析问题和解决问题的能力。
（一）课堂讲授
1、教学方法：
采用启发式教学，鼓励学生自学，培养学生的自学能力；精选教学内容，精讲多练；思考题和课外作业为主，调动学生学习的主动性。
2、教学手段：
课堂讲授与电子教案授课相结合，开展CAI课件的研制、引进和应用、研制多媒体教学系统。
3、计算机的应用：
在模拟非线性系统、离散系统仿真实验的同时，适当安排学生上机使用MATLAB软件作数字仿真实验。
4、外语的要求
在讲授过程中，给出各章节主要专业名词的英语单词，通过本课的学习，学生可接触到80个左右专业名词的英语单词。
如：Nonlinear time-invaried Control System（非线性时不变控制系统） saturation nonlinearity（饱和非线性） dead-zone nonlinearity （死区非线性） backlash nonlinearity（间隙非线性） describing function（描述函数） phase plane （相平面）phase portraits（相轨迹） singular points（奇点）limit cycles（极限环） Linear time-invariant discrete System（线性离散时不变系统） difference equations（差分方程） z-transform（Z变换） inverse z-transform （Z反变换）sampled data（采样） data reconstruction （信号保持）pulse transfer function（脉冲传递函数） zero-order hold（零阶保持器） digital filter（数字滤波器） discrete system stability （离散系统的稳定性）
（二）教学辅助资料
《自动控制原理习题集》，引导学生复习和自学。
实验指导书，非线性离散系统试题库。
（三）实验环节
两个设计性实验。
(四)习题课、
第一章:4个。
第二章4个
(五)作业方面
1、目的：
巩固讲授的基本理论知识；培养解题能力和技巧；学会分析非线性系统和离散系统，了解数字控制器的设计方法。
2 、课外习题内容：
第一章 9个。
第二章8个。
(六)考试环节
考试形式采用笔试，题型有：填空、选择、问答、计算。
四、本课程与其它课程的联系与分工
本课程的先修课为：电路基础、电机拖动及其控制系统、自动控制原理等。
后续课程《现代控制理论》、《最优控制》、《过程控制》、《计算机控制》、《控制系统的计算机仿真》等。
五、建议教材及教学参考书：
1、吴麒主编,《自动控制原理》清华大学出版社
2、戴忠达,《自动控制理论基础》清华大学出版社
3、Feedback Control Systems Phillips PRENTICE HALL Cliffs,New Jersey 07632
4、非线性离散系统实验指导书
六、对教师的基本要求：
1、熟练掌握非线性时不变系统和线性离散系统的分析方法，了解这两种系统的发展方
向，同时了解非线性时变系统和非线性离散系统的基本分析方法。
2、能够改革这两种系统的仿真方法，使学生最终能够达到设计系统的目的。