利用导数研究函数的极值(上课用)
3.3.2利用导数研究函数的极值(2课时 ) xiu
f(x 2)f(x 4)f(x 5)f(x 3)f(x 1)f(b)f(a)x 5x 4x 3x 2x 1b a xOy课题 3.3.2 利用导数研究函数的极值(2课时)课型 新 教学目标：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;用导数求函数的极大值和极小值;用导数求闭区间上函数的最大值、最小值；理解最值和极值的区别和联系.教学重点：用导数求函数的极大值和极小值;用导数 求闭区间上函数的最大值、最小值.教学难点：理解最值和极值的区别和联系. .教学过程：（师生双边活动）知识梳理:利用导数研究函数的极值（第一课时）【学习目标】理解极大值、极小值的概念，会求函数的极大值、极小值。
【学习过程】 请阅读教材27页——29页 复习回顾：用导数求函数单调区间的步骤： 新知学习：1、函数极值的定义：一般地，设函数f(x)在点0x 及附近有定义，(1)如果对0x 附近的所有的点，都有f(x)＜f(0x )，就说f(0x )是 ，0x 叫做．(2)如果对0x 附近的所有的点，都有f(x)＞f(0x )，就说f(0x )是 ，0x 叫做 ．极大值与极小值统称为极值．注意：极值点是自变量的值，极值指的是函数值2、 对可导函数求极大、极小值的方法: 首先判断0x 满足0()0f x '=；再判断在0x 的两侧()f x 的导数异号,则0x 是()f x 的极值点，0()f x 是极二备值.(1)如果()f x '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x x =是()f x 的 ，0()f x 是 ；(2)如果()f x '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x x =是()f x 的 ，0()f x 是例1、已知函数y=13x 3－4x+4(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极值，并画出大致图像.例2、求函数34()13f x x x =-++的极值。
归纳：求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域， (2)求导数f ′(x)，(3)求方程f ′(x)=0的根，(4)列表，判断各区间导数的符号，确定极值.例3、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5， 其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示， 求 (1) 0x 的值(2)a ，b ，c 的值.xo12 yf(x 2)f(x 4)f(x 5)f(x 3)f(x 1)f(b)f(a)x 5x 4x 3x 2x 1b a xO y练习1：函数f （x ）是（a ，b ）上的可导函数，下列是关于f （x ）的极值的几种说法，判断它们的正误：（1）函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
第22讲 利用导数研究函数的极值和最值(解析版)
第22讲利用导数研究函数的极值和最值【基础知识回顾】1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x ＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．1、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A.－4B.－2C.4D.2【答案】D【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.3、.函数f (x )＝e xx 2－3在[2，＋∞)上的最小值为( )A.e 36B.e2C.e 34D.2e【答案】 A【解析】 依题意f ′(x )＝e x（x 2－3）2(x 2－2x －3) ＝e x（x 2－3）2(x －3)(x ＋1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f (3)＝e 332－3＝e 36.4、函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【解析】 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C. 5、设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】D【解析】 因为f (x )＝2x ＋ln x ，所以f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >0.当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.考向一 利用导数研究函数的极值例1、已知函数()32331(R,0)f x ax x a a a=-+-∈≠，求函数()f x 的极大值与极小值．【解析】：由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax 2x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 变式1、已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．【解析】(1)因为f (x )＝x －1＋ae x ，所以f ′(x )＝1－aex ，又因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0， 即1－ae1＝0，所以a ＝e.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ae x ，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， 因此f (x )无极大值与极小值； 当a >0时，令f ′(x )>0，则x >ln a ， 所以f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增， 令f ′(x )<0，则x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值， 且f (ln a )＝ln a ，但是无极大值，综上，当a ≤0时，f (x )无极大值与极小值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，但是无极大值．变式2、 (1)若函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x 的极小值点是x ＝1，则f (x )的极大值为( ) A ．－e B ．－2e 2 C ．5e －2 D ．－2【答案】 C【解析】 由题意，函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x [x 2＋(2－a )x －1－a ]， 所以f ′(1)＝(2－2a )e ＝0， 解得a ＝1，故f (x )＝(x 2－x －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x (x ＋2)(x －1)，则f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝5e －2.(2)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫52，103 B.⎣⎡⎭⎫52，103 C.⎝⎛⎦⎤52，103 D.⎣⎡⎦⎤2，103 【答案】 B【解析】 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)，∴f ′(x )＝1x＋x －a ，∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x ＋x .设g (x )＝1x＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝2， 又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.方法总结：(1)求函数()f x 极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．(2)若函数()y f x =在区间内有极值，那么()y f x =在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．考向二 利用导数研究函数的最值例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）当时，，， 所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.（2）因为，因为函数处有极小值，所以，()32112f x x x ax =-++2a =()y f x =()()0,0f ()1f x x =在()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦210x y -+=49272a =321()212f x x x x =-++2()32f x x x '=-+(0)2f '=(0)1f =()y f x =()()0,0f 12y x -=210x y -+=2()3f x x x a '=-+()1f x x =在(1)202f a a '=+=⇒=-所以 由，得或， 当或时，， 当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 变式1、已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a.(1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值. 【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝3－2xx 2，则f ′(x )＝x 2·（－2）－（3－2x ）·2xx 4＝2x －6x 3. 当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4， 故y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－4(x －1)， 整理得4x ＋y －5＝0. (2)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a，则f ′(x )＝（x 2＋a ）·（－2）－（3－2x ）·2x（x 2＋a ）2＝2（x 2－3x －a ）（x 2＋a ）2.若函数f (x )在x ＝－1处取得极值， 则f ′(－1)＝0，即2（4－a ）（a ＋1）2＝0，解得a ＝4.经检验，当a ＝4时，x ＝－1为函数f (x )的极大值，符合题意.2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =23x <-1x >()0f x '>213x -<<()0f x '<()f x 22,3⎛⎫--⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭此时f (x )＝3－2x x 2＋4，其定义域为R ，f ′(x )＝2（x －4）（x ＋1）（x 2＋4）2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4. f (x )，f ′(x )随x 的变化趋势如下表：故函数f (x )极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－14.又因为x <32时，f (x )>0；x >32时，f (x )<0，所以函数f (x )的最大值为f (－1)＝1， 最小值为f (4)＝－14.变式2、 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 【解析】 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意.②若a ＜－1e ，令f ′(x )＞0得a ＋1x ＞0，结合x ∈(0，e]，解得0＜x ＜－1a ；令f ′(x )＜0得a ＋1x ＜0，结合x ∈(0，e]，解得－1a＜x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增， 在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， 即a ＝－e 2.∵－e 2＜－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.方法总结：1.利用导数求函数f(x)在[a ，b]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a ，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.考向三 极值（最值）的综合性问题例3、已知函数()323(,)f x ax bx x a b R =+-∈在1x =-处取得极大值为2. (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值． 【解析】 ：(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意得()12(1)0f f ⎧-=⎪⎨'-=⎪⎩，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝23a －2b －3＝0)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0)，经检验成立，所以f(x)＝x 3－3x.(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0.得x ＝±1. 列表如下：因为max min 间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4.所以c 的最小值为4.变式1、设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1 B.m ＋1m －1 C.1－m m ＋1 D.m ＋11－m【答案】 B 【解析】由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0， 得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 变式2、已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( ) A ．1≤b <a B ．b <a ≤1 C ．a <1≤b D ．a <b ≤1【答案】 B 【解析】令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0， 得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析． 对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．1、若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)ex f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．2、已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 3、（2021·广东高三月考）已知函数()322f x x ax b =-+，若()f x 区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1，则a 的值可以是（ ）A ．0B ．4C ．D ．【答案】AB【解析】()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()603a f x x x '⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得0x =或3a .①当0a ≤时，可知()f x 在[]0,1上单调递增，所以()f x 在区间[]0,1的最小值为()0f b =，最大值为()12f a b =-+. 此时a ，b 满足题设条件当且仅当1x =-，21a b -+=， 即0a =，1b =-.故A 正确.②当3a ≥时，可知()f x 在[]0,1上单调递减，所以()f x 在区间[]0,1的最大值为()0f b =，最小值为()12f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，1b =，即4a =，1b =.故B 正确.③当0<<3a 时，可知()f x 在[]0,1的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 最大值为b 或2a b -+或3127a b -+=-，1b =，则a =，与0<<3a 矛盾. 若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-0a =，与0<<3a 矛盾.故C ､D 错误.故选：AB4、（2021·广东宝安·高三月考）（多选题）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<- C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【答案】ABC【解析】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x x f x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误. 对C, 当因为()e e x x f x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数()2e xf x ax x =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20x f x e =+>，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增．(2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①．当x=0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②．当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112xe x x g x x ---=-，()()231212'x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=-， 令()()21102x e x x h x x ---≥=，则()'1x h x e x =--，()''10x h x e =-≥， 故()'h x 单调递增，()()''00h x h ≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21102x e x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；因此，()()2max 724e g x g -⎡⎤==⎣⎦．综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f ag x x a -=-的单调性．【解析】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞，()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ≤+⇒--≤⇒+--≤*，设()2ln 12(0)h x x x c x =+-->，则有22(1)()2x h x x x -'=-=， 当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减；当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增，∴当1x =时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在(0,)+∞上恒成立，只需max ()0101h x c c ≤⇒--≤⇒≥-．（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠，因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，∴()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即 ()0g x '<，∴()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，∴()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减，∴函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间．。
第2节第2课时 利用导数研究函数的极值、最值
第二课时利用导数研究函数的极值、最值考点一利用导数求函数的极值角度1根据函数图象判断极值【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.感悟升华由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.【训练1】(多选题)(2021·石家庄检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A.－3是函数y＝f(x)的极值点B.－1是函数y＝f(x)的极小值点C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D.－2是函数y＝f(x)的极大值点答案 AC解析 根据导函数的图象可知，当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )>0，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增，可知－3是函数y ＝f (x )的极值点，所以A 正确.因为函数y ＝f (x )在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y ＝f (x )的极小值点，－2也不是函数y ＝f (x )的极大值点，所以B 错误，C 正确，D 错误. 角度2 已知函数求极值【例2】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )极大值(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x .当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，则f ′(x )>0，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，则f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .感悟升华 运用导数求函数f (x )极值的一般步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号；(5)求出极值. 【训练2】已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值.解 求导得，f ′(x )＝1－ae x ，当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值.当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增. 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值. 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值. 角度3 根据极值求参数的值(范围)【例3】 (1)已知x ＝1e 是函数f (x )＝x (ln ax ＋1)的极值点，则实数a 的值为( ) A.1e 2B.1eC.1D.e(2)(2020·洛阳质检)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋427.若f (x )在(a －1，a ＋3)上存在极大值，则a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)(－9，0)∪(0，1)解析 (1)因为函数f (x )＝x (ln ax ＋1)有极值点， 所以f ′(x )＝(ln ax ＋1)＋1＝2＋ln ax .因为x ＝1e 是函数f (x )＝x (ln ax ＋1)的极值点， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1e ＝0.所以ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1e ＝－2，解得a ＝1e .(2)f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a3. 当a ＝0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f (x )无极值，不合题意. 当a >0时，f (x )在x ＝2a3处取得极小值，在x ＝0处取得极大值， 则a －1<0<a ＋3，又a >0，所以0<a <1.当a <0时，f (x )在x ＝2a3处取得极大值，在x ＝0处取得极小值， 则a －1<2a3<a ＋3，又a <0，所以－9<a <0. 所以a 的取值范围为(－9，0)∪(0，1).感悟升华 1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【训练3】(2021·武汉调研)已知函数f (x )＝e xx 2－2k ln x ＋kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 24，＋∞解析 f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－2k x ＋k ＝（e x ＋kx 2）（x －2）x 3.由题意可得，x ＝2是f ′(x )＝0唯一的变号零点， 故h (x )＝e x ＋kx 2在(0，＋∞)上没有变号零点， 令g (x )＝e xx 2，x >0，则g ′(x )＝e x （x －2）x 3，当x >2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当0<x <2时，g ′(x )<0.g (x )单调递减， ∴当x ＝2时，g (x )取得最小值g (2)＝e 24. 故－k ≤e 24，则k ≥－e 24. 考点二 利用导数求函数的最值【例4】(2021·衡水检测)已知函数g (x )＝ln x －18x 2＋b 在区间[1，3]上的最小值为1，求g (x )在该区间上的最大值.解 依题意知，g (x )的定义域为(0，＋∞). 因为g (x )＝ln x －18x 2＋b ， 所以对g (x )求导，得g ′(x )＝1x －x4 ＝4－x 24x ＝（2－x ）（2＋x ）4x.当x ∈(1，2)时，g ′(x )>0，当x ∈(2，3)时，g ′(x )<0， 所以g (x )在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减， 在区间[1，3]上，g (x )max ＝g (2)＝ln 2－12＋b . 又g (1)＝－18＋b ，g (3)＝ln 3－98＋b ， g (3)－g (1)＝ln 3－1>0， 所以g (x )min ＝g (1)＝－18＋b ＝1， 解得b ＝98，所以g (2)＝ln 2＋58.于是函数g (x )在区间[1，3]上的最大值为g (2)＝ln 2＋58.感悟升华 1.求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值.2.若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值.【训练4】(2020·福州检测)已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )，求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a ).解 由题意，g (x )的定义域为(0，＋∞)， g ′(x )＝ax ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－（a ＋2）x ＋a x＝（2x －a ）（x －1）x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 2，e 上为增函数，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，（1－e ）a ＋e 2－2e ，a ≥2e.巧妙构造，转化求解导数关系构造函数的一些常见结构1.对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x ).2.对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0，构造函数F (x )＝f (x )－g (x ). 特别地，对于不等式f ′(x )>k ，构造函数F (x )＝f (x )－kx .3.对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，构造函数F (x )＝f (x )·g (x ).4.对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，构造函数F (x )＝f （x ）g （x ）.5.对于不等式xf ′(x )＋nf (x )>0，构造函数F (x )＝x n ·f (x ).6.对于不等式f ′(x )＋f (x )>0，构造函数F (x )＝e x ·f (x ).7.对于不等式f ′(x )＋kf (x )>0，构造函数F (x )＝e kx ·f (x ).【例1】设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 构造F (x )＝f （x ）x ，则F ′(x )＝f ′（x ）·x －f （x ）x 2， 当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增.∵f (x )为偶函数，y ＝x 为奇函数，∴F (x )为奇函数， ∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增.根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).【例2】设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，f(2)＝e28，则x>0时，f(x)()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值答案D解析构造函数g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，g(2)＝22·f(2)＝e22.所以f(x)＝g（x）x2，f′(x)＝xg′（x）－2g（x）x3＝e x－2g（x）x3.记h(x)＝e x－2g(x)，则h′(x)＝e x－2g′(x)＝e xx(x－2)，当0<x<2时，h′(x)<0，所以h(x)单调递减；当x>2时，h′(x)>0，所以h(x)单调递增.故[h(x)]min＝e2－2g(2)＝0，所以f′(x)＝h（x）x3≥0恒成立，故函数f(x)既无极大值也无极小值.故选D.【例3】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f(x)满足：(x－1)[f′(x)－f(x)]>0，f(2－x)＝f(x)·e2－2x，则下列判断一定正确的是()A.f(1)<f(0)B.f(2)>e2f(0)C.f(3)>e3f(0)D.f(4)<e4f(0)答案C解析构造F(x)＝f（x）e x形式，则F′(x)＝e x f′（x）－e x f（x）e2x＝f′（x）－f（x）e x，导函数f′(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]>0，则x≥1时F′(x)≥0，F(x)在[1，＋∞)上单调递增.当x<1时F′(x)<0，F(x)在(－∞，1)上单调递减.又由f(2－x)＝f(x)e2－2x⇔F(2－x)＝F(x)⇒F(x)关于x＝1对称，根据单调性和图象，可知选C.【例4】已知a＝πe，b＝3π，c＝eπ，则它们的大小关系是()A.a >b >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b答案 C解析 因为函数y ＝x π在(0，＋∞)上单调递增，所以3π>e π. 构造函数f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， 当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 所以，f (x )的最大值为f (e)， 故ln e e >ln ππ，所以e π>πe .综合可知：3π>e π>πe ，所以b >c >a .故选C.思维升华 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现.A 级 基础巩固一、选择题1.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )上的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )上的极大值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 B解析 由函数极值的定义和导函数的图象可知，f ′(x )在(a ，b )上与x 轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x ＝0不是函数f (x )的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2.函数y ＝x e x 的最小值是( ) A.－1 B.－eC.－1eD.不存在答案 C解析 因为y ＝x e x ，所以y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x >－1时，y ′>0；当x <－1时，y ′<0，所以当x ＝－1时，函数取得最小值，且y min ＝－1e . 3.函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A.0 B.1C.2D.无数答案 A解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立， 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点.4.已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A.－4 B.－2C.4D.2答案 D解析 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2， ＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.5.已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( ) A.2 B.－52C.3＋ln 2D.－2＋2ln 2答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x ＋2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝（x －1）（x －2）x ，∴f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52.6.(多选题)(2021·武汉统考)设函数f (x )＝e xln x ，则下列说法正确的是( )A.f (x )的定义域是(0，＋∞)B.当x ∈(0，1)时，f (x )的图象位于x 轴下方C.f (x )存在单调递增区间D.f (x )有且仅有两个极值点 答案 BC解析 由题意函数f (x )满足⎩⎨⎧x ＞0，ln x ≠0，解得x ＞0且x ≠1，所以f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，故A 不正确；f (x )＝e xln x ，当x ∈(0，1)时，e x ＞0，ln x ＜0，所以f (x )＜0，所以f (x )在(0，1)上的图象在x 轴的下方，故B 正确；因为f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x （ln x ）2，设g (x )＝ln x －1x (x ＞0)，则g ′(x )＝1x ＋1x 2，所以当x ＞0时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，g (1)＝0－11＜0，g (e 2)＝2－1e 2＞0，则g (x )存在唯一零点x 0∈(1，e 2)，则函数f ′(x )＝0只有一个根x 0，使得f ′(x 0)＝0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )只有一个极小值，所以C 正确，D 不正确；故选BC. 二、填空题7.若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件. 答案 3解析 y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大.8.(2020·安徽江南十校联考)已知x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax )e x 的一个极值点，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为________. 答案 －32解析 由f (x )＝(x 2＋ax )e x ， 得f ′(x )＝(x 2＋ax ＋2x ＋a )e x ，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax )e x 的一个极值点，所以f ′(1)＝(3＋2a )e ＝0，解得a ＝－32. ∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x －32e x，所以f ′(0)＝－32. 所以曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为－32.9.函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________. 答案 20解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1，1为函数的极值点. 又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1， 所以在区间[－3，2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19. 由题设知在区间[－3，2]上，f (x )max －f (x )min ≤t ， 从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 三、解答题10.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，a ，b ，c ∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数. (1)若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；(2)若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3，1，3}中，求f (x )的极小值. 解 (1)因为a ＝b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )＝(x －a )3. 因为f (4)＝8，所以(4－a )3＝8，解得a ＝2.(2)因为b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )2＝x 3－(a ＋2b )x 2＋b (2a ＋b )x －ab 2，从而f ′(x )＝3(x －b )·⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ＋b 3. 令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝2a ＋b3. 令f (x )＝0，得x ＝a 或x ＝b .因为a ，b ，2a ＋b3都在集合{－3，1，3}中，且a ≠b ， 所以2a ＋b3＝1，a ＝3，b ＝－3.此时，f (x )＝(x －3)(x ＋3)2，f ′(x )＝3(x ＋3)(x －1). 令f ′(x )＝0，得x ＝－3或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )变化如下表：11.已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0， 所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减. 因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. B 级 能力提升12.(多选题)(2021·青岛调研)若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)是函数f (x )＝⎩⎨⎧－e x ＋1，x ≤1，ln x ，x ＞1的图象上任意两点，且函数f (x )在点A 和点B 处的切线互相垂直，则下列结论正确的是( )A.x 1＜0B.0＜x 1＜1C.x 2x 1最小值为eD.x 1x 2最大值为e答案 CD解析 由题意可得，当x ≤1时，f ′(x )＝－e x ∈[－e ，0)，当x ＞1时，f ′(x )＝1x ∈(0，1).因为函数f (x )在点A 和点B 处的切线互相垂直， 所以可知f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1， 又x 1＜x 2，所以f ′(x 1)∈[－e ，－1)， 则0＜x 1≤1，x 2＞1，所以排除选项A ，B ； 因为－e x 1·1x 2＝－1，所以x 2＝e x 1，所以x 2x 1＝e x 1x 1，令g (x )＝e xx (0＜x ≤1)，有g ′(x )＝e x （x －1）x 2，所以函数g (x )在(0，1]上单调递减，所以g (x )≥e ，即x 2x 1有最小值e ，所以选项C正确；x 1x 2＝x 1e x 1，令h (x )＝x e x (0＜x ≤1)，则h ′(x )＝e x (x ＋1)， 可得h ′(x )＝(x ＋1)·e x 在(0，1]上大于零恒成立， 所以h (x )在(0，1]上单调递增可得h (x )的最大值为e. 所以选项D 正确，故选CD.13.若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则a 的取值范围为________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 对函数求导f ′(x )＝x －1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＝（x ＋a ）（x －1）x ，x >0，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－a .又函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，所以x ＝1，此时a ≥0. 所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以f (x )的极小值为f (1)＝12＋a －1＝a －12， 故f (1)≥1，即a －12≥1，解得a ≥32. 14.(2021·重庆诊断)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数). 解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，x >0， 由f ′(x )＝0，得x ＝1e .所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增.所以x ＝1e 是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在. (2)g (x )＝x ln x －a (x －1)(x >0)， 则g ′(x )＝ln x ＋1－a ， 由g ′(x )＝0，得x ＝e a －1.所以在区间(0，e a －1)上，g (x )为减函数， 在区间(e a －1，＋∞)上，g (x )为增函数.当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间[1，e]上，g (x )为增函数， 所以g (x )的最小值为g (1)＝0.当1<e a －1<e ，即1<a <2时，g (x )在区间[1，e a －1]上为减函数，在区间[e a －1，e]上为增函数，所以g (x )的最小值为g (e a －1)＝a －e a －1. 当e a －1≥e ，即a ≥2时，在区间[1，e]上，g (x )为减函数，所以g (x )的最小值为g (e)＝a ＋e －a e. 综上，当a ≤1时，g (x )的最小值为0； 当1<a <2时，g (x )的最小值为a －e a －1； 当a ≥2时，g (x )的最小值为a ＋e －a e.。
人教B版高中数学【选修1-1】第3章-3.3-3.3.2利用导数研究函数的极值-课件
当 堂 双 基 达 标
3.3.2
利用导数研究函数的极值
课 后 知 能 检 测
教 师 备 课 资 源
●三维目标 1.知识与技能 了解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件， 会利用导数 求函数的极大值和极小值，以及闭区间上函数的最大(小)值． 2．过程与方法
14 ∴f(x)极大值＝ ，f(x)极小值＝－6. 3
3 (2)函数 f(x)＝ ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， x 3 3 3x－1 f′(x)＝－ 2＋ ＝ ， 2 x x x 令 f′(x)＝0 得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (0,1) － 1 0 极小值 3 (1，＋∞) ＋
导函数
，则 f(x0)是极大值； ，则 f(x0)是极小值； ，则 f(x0)不
③如果在 f′(x)＝0 的根 x＝x0 的左右侧 符号不变 是极值．
函数f(x)在区间[a，b]上的最值
【问题导思】 1．如图，观察区间[a，b]上函数 f(x)的图象，你能找出它的极 大值、极小值吗？
【提示】 f(x1)，f(x3)，f(x5)是极小值，f(x2)，f(x4)是极大值．
2．在上图中，你能找出 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值 吗？
【提示】 函数 f(x)在[a， b]上的最小值是 f(x3)， 最大值是 f(b)．
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 假设在区间 [a，b]上函数 y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲 线，该函数在[a，b]上一定能够取得 最大值 和 最小值 ，若函数在
8 求函数 y＝2x＋ 的极值． x
利用导数研究函数的极值
令 f′(x)＝0，得 x1＝－2 或 x2＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x)
＋
0－
0
＋
f(x)
↗
16 ↘ －16
↗
∴由上表可知，当 x＝－2 时，f(x)有极大值 16，
当 x＝2 时，f(x)有极小值－16.
和
大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
函数值，其中最
一．一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零， 还要满足在此点附近左右两侧函数的单调性相反，单调 性一致时，不能作为极值点，如f(x)＝x3，x＝0满足 f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
二．函数的极值是一个局部概念，它反映的是某个点的函 数值与它附近的函数值的大小情况．
f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1，
令 f′(x)＝0 得 x＝1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x
(0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0
＋
f(x)
↘3
↗
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(1)＝3.
(2)函数 f(x)的定义域为 R；
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)，
令 f′(x)＝0，∴x2－2＝0，∴x1＝－ 2，x2＝ 2. 当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化状态如下表：
x －1 (－1， 2) 2 ( 2，3) 3
f′(x)
－
0
＋
f(x) 10
↘ －8 2 ↗
2024届新高考一轮复习北师大版 第四章 第三节 利用导数研究函数的极值、最值 课件(35张)
微点拨 函数最值与极值的区别
(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一
个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有;
(2)极值只能在函有最值的不一定有极值.
常用结论
1.有极值的函数一定不是单调函数.
且f(x)的极大值为4,则b=(
A.-1
B.2
C.-3
)
D.4
(2)(2022·江苏南京模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)在区间(0,+∞)上有两个极
值,则实数a的取值范围为(
A.(0,e)
C.
1
0,
2
B.
1
0,
e
D.
1
0,
3
)
答案 (1)B (2)C
解析 (1)f(x)=(x-a)(x-b)ex=(x2-ax-bx+ab)ex,所以f'(x)=(2x-a-b)ex+(x2-axbx+ab)ex=ex[x2+(2-a-b)x+ab-a-b].因为函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取得极
极值点.
(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;
函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有
极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考 对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?
取得极值的条件
极值
极值点
在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在
任何不为x0的一点处的函数值都
小于点x0处的函数值
导数及其应用利用导数研究函数的极值最值课件
导数及其应用 利用导数研究函数的极值最值 课件 理 ppt xx年xx月xx日contents •导数及其应用•利用导数研究函数的极值最值•课件制作技巧•案例分析•导数的进一步学习与拓展目录01导数及其应用1导数的定义23导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在某一点的斜率。
导数的定义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率。
导数的几何意义导数的物理意义是速度的变化率，即物体运动的速度在某一时刻的变化率。
导数的物理意义导数的计算根据导数的定义，通过求极限来计算导数。
定义法公式法表格法图像法利用导数的运算法则和公式来计算导数。
利用导数表来计算导数。
利用函数图像来估计导数。
最优问题导数可以帮助我们找到最优解，例如在经济学、工程学等领域中，利用导数可以找到最优的成本、价格、利润等。
导数在实际问题中的应用运动问题导数可以描述物体的运动状态，例如速度、加速度等，利用导数可以解决运动问题，例如计算轨迹、碰撞时间等。
物理问题导数可以描述物理现象的变化规律，例如温度、压力、电流等，利用导数可以解决物理问题，例如计算热传导、弹性力学等。
02利用导数研究函数的极值最值极值的定义：设函数$f(x)$在点$x_{0}$的附近有定义。
若在$x_{0}$的左侧$f(x)$单调递增。
在$x_{0}$的右侧$f(x)$单调递减定义法：判断导数由正变负的点，这些点为可能极值点，再检验这些点两侧的导数值，确定是否为极值点。
表格法：通过列表计算函数在各点的导数值，并判断其正负，从而得到极值点。
极值的判定方法极值的概念及判定方法最值的定义及求法最值的定义：函数在某区间内取得最大（小）值的点称为最值点。
对于连续函数，还可以利用介值定理求解最值。
最值的求法利用定义法或表格法求极值点，然后比较极值与端点函数值的大小关系，从而得到最值。
1导数在极值最值问题中的综合应用23导数在极值最值问题中的应用非常广泛，例如在经济、物理、工程等领域都有应用。
高二数学利用导数研究函数的极值(中学课件201909)
图1.3 9
当t a时,函数ht单调递减,h' t 0.
这就是说,在t a附近,函数值先增(t a时,h' t 0)
后减(t a时,h' t 0).这样,当t在a附近从小到大经
过a时,h' t先正后负,且h' t连续变化,于是有h' a 0.
是多少呢?此点附近的图象有什么特点? 相应 地, 导 数 的 符 号 有 什 么 变 化规 律 ?
放大t a附近函数ht的
h' a 0
图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,如图1.3 9.可以看
出,h' a 0;
在t a附近,当t a时,函
单调递增
h't 0
单调递减
h't 0
数ht单调递增,h't 0;
对于一般的函数y fx,是否也有同样的性质呢?
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 免设备群控 蜘蛛云控
；
但全吾今日 防守雍州 下邳太守张攀咸以贪惏获罪 五稔之后 夜拒军人 然后图兼并者也 后录勋 北征都将 唯椿有曾孙 "欲害诸尊 须臾颢至 还 辄对之下泣 招引细人 穆素为荣所知 年一百二十岁 寄之后图 除散骑常侍 兼尚书令 "年三十一 斤力战有功 遇病卒 尔朱荣率军赴之 谷帛俱 溢 皆自持粮 侃从兄昱恐为家祸 咸阳王禧谋反 吾亦不复奇之 又赐马二匹 广阳王嘉 雍州刺史 此深自可奇 为天光所害 并州刺史 人有斗心 侃往赴之 赐奴婢十口 荣赫累朝 诞以为恨 尚书祠部郎中 除昱名为民 武平弟武荣 兼中书舍人 高宗时袭爵 求破桥立效 椿在州 每恒退避 宝夤后 至 遂成富室 遂以敬慎见知 攻逼番城 分散于冀 假冠军将军 依律处刑五岁 俱以忠毅谦谨 请为明公前驱 特宜宽省 稍
132 第1课时 利用导数研究函数的极值精品PPT课件
问题3:如果 f′(x0)=0，则x0一定 是函数y=f (x)的极值点吗？
解析: 不一定, 如 f (x) x3
y y=x3
o
x
可 知 f (x) 3x 2 ,从 而 f (0) 0, 但 0不 是 极 值 点.
可导函数的极值与导数的关系
函数极值点处的导数值 一定等于0 ； 导数值等于0的点 不一定是极值点 .
1.3.2 利用导数研究函数的极值
第1课时 利用导数研究函数的极值
引入:在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是 群山的最高处，但它却是其附近的最高点.同样，各个谷 底虽然不一定是群山的最低处，但它却是其附近的最低 点.
在数学学习中，也有类似的情况.例如,函数的极值问题！
y
y fx
c de of g h i j x
则称函数f ( x)在点x0处取极 大 值 ；记作y极大 =f ( x0 ). 并把x0称为函数f ( x)的一个 极 大 值 点 .
如果在x0附近都有 f ( x) f ( x0 ),
则称函数f ( x)在点x0处取 极 小 值 ；
记作y极小 =f ( x0 ).并把 x0称为函数f ( x)的一个 极 小 值 点 .
极大值与极小值统称为 极 值 .
极大值点与极小值点统称为 极值点 .
【想一想】
1.图中有哪些极值点？
2.函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？
3.区间端点可能是极值点吗？
解析：
y
y fx
1.d、e、f、g、h、i.
2.可以,不一定. 3.不可能.
c de of g h i j x
探究点2: 利用导数研究函数的极值
如图,函数y=f (x)的图象.
课件12：1.3.2 利用导数研究函数的极值（一）
或 即 k<－4 或 k>4.∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
当堂检测
1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝
f(x)在这点取得极值”的
(B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0， 不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
解：(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1. 由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0 且2a＋4b＋1＝0， 解方程组得，a＝－23，b＝－61.
(2)由(1)可知 f(x)＝－32ln x－16x2＋x. f′(x)＝－23x－1－13x＋1＝－(x－13)(xx－2). 当 x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当 x∈(1,2)时，f′(x)＞0； 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
【解析】y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)． 由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.
5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点， 则a的取值范围是_－__2_<_a_<_2_．
【解析】f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1， ∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2<a<2.
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跟踪训练 1 求函数 f(x)＝3x＋3ln x 的极值． 解：函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x32＋3x＝3(xx－2 1).令 f′(x)＝0，得 x＝1.
利用导数研究函数的极值(上课用)
解:
y
6(1 x2 ) (1 x 2 )2
.
令 y=0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, y,y的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1
(-1,1) 1
y’ -
0
+
0
y ↘ 极小值-3 ↗ 极大值3
因此,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=- 3.
反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切 x [0,1] 恒成立.
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.
4、f / (x) 0(或 0)是函数f (x)为增（减）函数的
什么条件？
充分不必要条件
2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域;
②求函数的导数 f/（x）;
③解不等式 f/（x）>0 得f(x)的单调 递增区间;
解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调递减 区间.
3.3.2 利用导数研究函数的极值
例2:求函数 f (x) x a2 (a 0) 的极值.
x
解:函数的定义域为( ,0) (0, ),
f ( x)
1
a2 x2
( x a)( x a)
x2
.
令 f (x) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
当x变化时, f ( x) ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a
极小值2
4.（2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) 导函数 f ( x)在(a, b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)
在开区间 (a, b) 内有（ A ）个极小值点。y y f ?(x)
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4、f / (x) 0(或 0)是函数f (x)为增（减）函数的
什么条件？
充分不必要条件
2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域;
②求函数的导数 f/（x）;
③解不等式 f/（x）>0 得f(x)的单调 递增区间;
解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调递减 区间.
3.3.2 利用导数研究函数的极值
反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切x [0,1] 恒成立.
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.
f’(x) +
0
--
0
+
f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
例3．求函数y=x4－2x2+5在区间[－2，2]上的
最大值与最小值
当x=±2时，函数有最大值13， 当x=±1时，函数有最小值4
[ ， ] 上的图象大致是（ A ）
y
y
y
y
O
x
（A）
O
x
（B）
O
x
（C）
O
x
（D）
3．函数f(x)=x1＋
x
的极值情况是D(
)
(A) 当x=1时取极小值2，但无极大值
(B) 当x=－1时取极大值－2，但无极小值
(C) 当x=－1时取极小值－2，当x=1时取
极大值2
(D) 当x=－1时取极大值－2，当x=1时取
极小值2
4.（2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) 导函数 f ( x)在(a, b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)
在开区间(a, b) 内有（A ）个极小值点y 。 y f ?(x)
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
a
O
b x
6x
练习:求函数 y 1 x2 的极值.
用函数的导数判断函数单调性的法则：
1．如果在区间(a，b)内，f / (x) 0 ，则f(x)在
此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；
2．如果在区间(a，b)内， f / (x) 0 ，则f(x)在
此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；
3.如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是?。 常数
a=6.
由于当x<0时,f (x) 0,当x>0时, f (x) 0.故当x=0时,
f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.
(2)等价于当x [0,1] 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=
3x2-2ax-1≤0对x一[切0,1]
恒成立.
由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.
1、下图是导函数y f (x) 的图象, 在标记的点中, 在哪一
点处
(1)导函数 y f (x) 有极大值?
x x2
(2)导函数 y f (x)有极小值?
x x1 或 x x4
(3)函数y f (x) 有极大值?
x x3
(4)函数y f (x) 有极小值?
x x5
（2）函数 y x cos x 的导函数 f (x) 在区间
（f3/ ）(x)求 方0 程
的根
（4）由方f程/ (x) 0
的根左右的导数符
号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
练习
f (x) x3有极值点吗？
解：f ( x ) 3x2 0
导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 不一定是该函数的极值点. 左右导数异号.
导数为零的点是该点为极值点的什么条件？ 必要不充分条件
解: y
6(1 x2 ) (1 x 2 )2
.
y令 =0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, y,y的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1
(-1,1) 1
y’ -
0
+
0
y ↘ 极小值-3 ↗ 极大值3
(1,+∞) ↘
因此,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=- 3.
探索思考：极大值一定比极小值大吗？
1、如图，函数 y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
2、y=f（x）在这些点的导数值是多少？
3在这些点附近,y=f（x）的导数的符号有什么规律？
y
x1,x3为极大值点
f(x1),f(x3)为极大值
x2,x4为极小f (x值4) 点 统称极值f (x点1)
极值逆用
1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又
有极小值，则a的取值范围为
.
2.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3在区间（-2，,2）
上既有极大值，又有极小值，则a的取值范围
6 5
a
1为
.
3、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值 为10,求 a、b的a值=4.,b=-11.
5、已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,
求a、b的值.
(2)若x [0,1] ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜
率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 . 解:(1)由f ( x) 3x2 2ax 0 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,
例2:求函数f (x) x a2 (a 0) 的极值.
x
解:函数的(定义,0域) 为(0, ),
f ( x)
1
a2 x2
( x a)( x a)
x2
.
f令(x) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
当x变化时,f ( x) ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a
(-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f(x2),f(x4)为极小值 统称极值
o a X1
X2
a
X3 X4 b
x
三、例题选讲:
例1、已知函数f (x) 1 x3 4x 4 3
（1）求函数的极值,并画出图象。
（2）求函数在区间[3,4]上的最大）确定函数的定义域(5)计算端点值，
（2）求函数的导数并与极值比较大小