利用导数研究函数的极值(上课用)

极值逆用
1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又
有极小值，则a的取值范围为
.
2.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3在区间（-2，,2）
上既有极大值，又有极小值，则a的取值范围
6 5
a
1为
.
3、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值 为10,求 a、b的a值=4.,b=-11.
探索思考：极大值一定比极小值大吗？
1、如图，函数 y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
2、y=f（x）在这些点的导数值是多少？
3在这些点附近,y=f（x）的导数的符号有什么规律？
y
x1,x3为极大值点
f(x1),f(x3)为极大值
x2,x4为极小f (x值4) 点 统称极值f (x点1)
用函数的导数判断函数单调性的法则：
1．如果在区间(a，b)内，f / (x) 0 ，则f(x)在
此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；
2．如果在区间(a，b)内， f / (x) 0 ，则f(x)在
此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；
3.如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是?。 常数
[ ， ] 上的图象大致是（ A ）
y
y
y
y
O
x
（A）
O
x
（B）
O
x
（C）
O
x
（D）
3．函数f(x)=x1＋
x
的极值情况是D(
)
(A) 当x=1时取极小值2，但无极大值
(B) 当x=－1时取极大值－2，但无极小值
(C) 当x=－1时取极小值－2，当x=1时取
极大值2
(D) 当x=－1时取极大值－2，当x=1时取
4、f / (x) 0(或 0)是函数f (x)为增（减）函数的
什么条件？
充分不必要条件
2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域;
②求函数的导数 f/（x）;
③解不等式 f/（x）>0 得f(x)的单调 递增区间;
解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调递减 区间.
3.3.2 利用导数研究函数的极值
（f3/ ）(x)求 方0 程
的根
（4）由方f程/ (x) 0
的根左右的导数符
号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
练习
f (x) x3有极值点吗？
解：f ( x ) 3x2 0
导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 不一定是该函数的极值点. 左右导数异号.
导数为零的点是该点为极值点的什么条件？ 必要不充分条件
5、已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,
求a、b的值.
(2)若x [0,1] ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜
率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 . 解:(1)由f ( x) 3x2 2ax 0 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,
反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切x [0,1] 恒成立.
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.
极小值2
4.（2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) 导函数 f ( x)在(a, b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)
在开区间(a, b) 内有（A ）个极小值点y 。 y f ?(x)
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
a
O
b x
6x
练习:求函数 y 1 x2 的极值.
a=6.
由于当x<0时,f (x) 0,当x>0时, f (x) 0.故当x=0时,
f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.
(2)等价于当x [0,1] 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=
3x2-2ax-1≤0对x一[切0,1]
恒成立.
由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.
例2:求函数f (x) x a2 (a 0) 的极值.
x
解:函数的(定义,0域) 为(0, ),
f ( x)
1
a2 x2
( x a)( x a)
x2
.
f令(x) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
当x变化时,f ( x) ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a
(-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f(x2),f(x4)为极小值 统称极值
o a X1
X2
a
X3 X4 b
x
三、例题选讲:
例1、已知函数f (x) 1 x3 4x 4 3
（1）求函数的极值,并画出图象。
（2）求函数在区间[3,4]上的最大值与最小值
求函数最极值值的一般步骤： （1）确定函数的定义域(5)计算端点值，
（2）求函数的导数并与极值比较大小
1、下图是导函数y f (x) 的图象, 在标记的点中, 在哪一
点处
(1)导函数 y f (x) 有极大值?
x x2
(2)导函数 y f (x)有极小值?
x x1 或 x x4
(3)函数y f (x) 有极大值?
x x3
(4)函数y f (x) 有极小值?
x x5
（2）函数 y x cos x 的导函数 f (x) 在区间
解: y
6(1 x2 ) (1 x 2 )2
.
y令 =0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, y,y的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1
(-1,1) 1
y’ -
0
+Hale Waihona Puke Baidu
0
y ↘ 极小值-3 ↗ 极大值3
(1,+∞) ↘
因此,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=- 3.
f’(x) +
0
--
0
+
f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
例3．求函数y=x4－2x2+5在区间[－2，2]上的
最大值与最小值
当x=±2时，函数有最大值13， 当x=±1时，函数有最小值4