《圆的证明与计算》专题讲解

知识点一：判定切线的方法：
（1） 若切点明确，则“连半径，证垂直” 。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、
勾股定理证垂直；
（2） 若切点不明确，则“作垂直，证半径” 。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）
其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在
这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线
段在这直线上的正投影。
由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每
一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 Rt△ABC 中 ,∠ BAC=90°,AD 是斜边 BC 上的高 ,则有射影定理如下 :： (1)(AD) 2;=BD ·DC,
段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求
线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（ 1）构造思想 ：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知
任意两条线段可求其它所有线段长） ；
射影定理：所谓射影，就是正投影。
（ 1）求证： PC为⊙ O的切线。
（ 2）过 D点作 DE⊥ AB， E 为垂足，连 AD交 BC于 G， CG=3， DE=4，求 DG 的值。 DB
例题 4（ 2009 调考）：如图，已知△ ABC中，以边 BC为直径的⊙ O与边 AB交于点 D，点 E为 中点， AF为△ ABC的角平分线，且 AF⊥ EC。
AF
例题 2：直角梯形 ABCD中，∠ BCD=90°， AB=AD+B，CAB为直径的圆交 BC于 E，连 OC、 BD交
于 F.
⑴求证： CD为⊙ O的切线
⑵若 BE 3 ，求 BF 的值 AB 5 DF
A
D
O
F
B
EC
例题 3：如图， AB为直径， PB为切线，点 C在⊙ O上， AC∥ OP。
F
DC
E
A
O
B
2．如图， AB 为⊙ O 的直径， C、D 为⊙ O 上的两点， AD=DC ，过 D 作直线 BC 的垂线
交直线 AB 于点 E，F 为垂足 . （1）求证： EF 为⊙ O 的切线； （2）若 AC=6，BD =5，求 sin E 的值 .
F D
C
3．如图， AB 为⊙ O 的直径， 半径 OC⊥ AB，D 为 AB 延长线上一点， 过 D 作⊙ O 的切线，
（1）求证： CF 是⊙ O 的切线；
（2）设⊙ O 的半径为 1，且 AC=CE 3 ，求 AM 的长．
E
F
C
N
A
Fra Baidu bibliotek
B
MO
8、如图， AB 是⊙ O 的直径， BC⊥ AB，过点 C 作⊙ O 的切线 CE，点 D 是 CE 延长线上 一点，连结 AD，且 AD+BC=CD .
（1）求证： AD 是⊙ O 的切线； （2）设 OE 交 AC 于 F ，若 OF =3， EF=2 ，求线段 BC 的长 .
(5) 切线的性质定理 : 主要是用来证明——垂直关系 .
(6) 切线的判定定理 : 主要是用来证明直线是圆的切线 .
(7) 切线长定理 : 线段相等、垂直关系、角相等 .
2. 圆中几个关键元素之间的相互转化 : 弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来
互相转化 . 这在圆中的证明和计算中经常用到 .
《圆的证明与计算》专题讲解
圆的有关证明
一、 圆中的重要定理 :
(1) 圆的定义 : 主要是用来证明四点共圆 .
(2) 垂径定理 : 主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等
.
(3) 三者之间的关系定理 : 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等
.
(4) 圆周角性质定理及其推轮 : 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等 .
(2)(AB) 2;=BD ·BC , (3)(AC) 2;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD( 可用面积来证明 )
③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； ④构造勾股定理模型（已知线段长度） ； ⑤构造三角函数 ( 已知有角度的情况） ;
○6 找不到，找相似
（ 2）方程思想： 设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相 等关系建立方程，解决问题。
B
O
10、如图， AB 是半⊙ O 上的直径， E 是 B⌒C的中点， OE 交弦 BC 于点 D，过点 C 作交 AD 的平行线交 OE 的延长线于点 F. ∠ ADO=∠ B.
（1）求证： CF 为⊙ O 的⊙ O 切线；
（2）求 sin∠ BAD 的值 .
F C
E
D
A
B
O
11、如图，⊿ ABC 中， AB ＝AC，以 AC 为直径的⊙ O 与 AB 相交于点 E，点 F 是 BE 的中 点． （ 1）求证： DF 是⊙ O 的切线． （ 2）若 AE＝ 14， BC＝ 12，求 BF 的长
C E D
F
A
O
B
9、如图，△ ABC 中， AB=BC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 AC 于点 D，且 CD=BD . （1）求证： BC 是⊙ O 的切线； （2）已知点 M 、N 分别是 AD、CD 的中点， BM 延长线交⊙ O 于 E， EF∥ AC，分别交 BD、BN 的延长线于 H、F，若 DH =2，求 EF 的长 .
（ 3）建模思想： 借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图 形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间 的数量关系。
范例讲解：
例题 1：△ABP中，∠ ABP=90°，以 AB为直径作⊙ O交 AP于 C点，弧 CF = CB ，过 C作 AF的 垂线，垂足为 M，MC的延长线交 BP于 D. （ 1）求证： CD为⊙ O的切线； （ 2）连 BF交 AP于 E，若 BE=6， EF=2，求 EF 的值。
（ 1）求证： AC与⊙ O相切； （ 2）若 AC＝ 6，BC＝ 8，求 EC的长
E
的BD
A D
H
B
OF
C
家庭练习：
1．如图， Rt△ ABC，以 AB 为直径作⊙ O 交 AC 于点 D，BD=DE ，过 D 作 AE 的垂线， F 为垂足 .
（1）求证： DF 为⊙ O 的切线； （2）若 DF =3，⊙ O 的半径为 5，求 tan BAC 的值 .
A
E F B
O
D
C
；②直线
与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化
, 要善于进
行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线 . 例：
方法一：若直线 l 过⊙ O 上某一点 A ，证明 l 是⊙ O 的切线，只需连 OA ，证明 OA ⊥ l 就 行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 .
（1）求证：⊙ O 与 AC 相切； （2）若 EF =3， BC=4，求 tan A 的值 .
B O
E
A
F
D
C
5．如图，等腰△ ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D， DE⊥ AC 于 E. （1）求证： DE 为⊙ O 的切线； （2）若 BC= 4 5 ， AE=1，求 cos AEO 的值 .
求证： DC 是⊙ O 的切线
例 3 如图， AB 是⊙ O 的直径， CD⊥ AB ，且 OA 2=OD ·OP.求证： PC 是⊙ O 的切线 .
方法二：若直线 l 与⊙ O 没有已知的公共点，又要证明 l 是⊙ O 的切线，只需作 OA ⊥ l， A 为垂足，证明 OA 是⊙ O 的半径就行了，简称： “作垂直；证半径” (一般用于函数与几何综 合题）
例 1： 已知：如图， AC， BD 与⊙ O 切于 A 、B ，且 AC ∥ BD ，若∠ COD=90 0. 求证： CD 是⊙ O 的切线 .
知识点二：与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识
的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线
例 1 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于 D，交 AC 于 E，B 为 切点的切线交 OD 延长线于 F.
求证： EF 与⊙ O 相切 .
例 2 如图，已知： AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，且∠ CAB=30 0，BD=OB ，D 在 AB 的延长线上 .
C
D
E
A
O
B
6．如图， BD 为⊙ O 的直径， A 为 BC 的中点， AD 交 BC 于点 E，F 为 BC 延长线上一
点，且 FD=FE. （1）求证： DF 为⊙ O 的切线； （2）若 AE=2， DE =4，△ BDF 的面积为 8 3 ，求 tan EDF 的值 .
A
B
C
E
F
O D
7、如图， AB 是⊙ O 的直径 ，M 是线段 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，且∠ ECF=∠ E．
E 为切点，连结 CE 交 AB 于点 F.
（1）求证： DE=DF ；
（2）连结 AE，若 OF =1， BF =3，求 tan A 的值 .
C
A
FB
D
O
E
4．如图， Rt△ABC 中，∠ C=90 °，BD 平分∠ ABC，以 AB 上一点 O 为圆心过 B、D 两点 作⊙ O，⊙ O 交 AB 于点一点 E， EF ⊥ AC 于点 F.