山东大学运筹学课件及课后解答3第三章运输问题(新)a.pptx

例1. 已知运输问题见表
销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1
B2 B3
B4 产 量
3 11 3 10 7
1 92 8 4
7 4 10 5
9
3 6 5 6 20
2-1 初始方案的确定 1.最小元素法（就近供应的思想）
在单位运价表中的最小运价处确定供销关系， 划去满足的行或列，以此类推，直至给出一个完 整的调运方案。
作业：P99~100 3.1 表3-35 3.2 3.3
第三章 运输问题
第一节 运输问题的数学模型
有某种物资需要调运，已知有m个产地（产地 用Ai表示，i=1，2，…，m)供应该种物资，产地Ai 的产量为ai ；有n个销地（销地用Bj表示，j=1， 2，…，n)需要该种物资，销地Bj的销量为bj ，从第 i个产地到第j个销地的单位物资运价为cij ，要求： 制定一个调运方案，在满足供需关系的条件下，使 总运费最少。
销量
B1
B2 B3 B4 产 量
3 11 3 10 7
1 92 8
4
7 4 10 5
9
3 6 5 6 20
初始调运方案见下，总运费为z =111
销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1
B2 B3
B4 产 量
34
7
22
4
36
9
3 6 5 6 20
3.vogel法 从运价表上分别找出每行与每列的最小的
两个元素之差，再从差值最大的行或列中找出 最小运价确定供需关系和供需数量，划去运价 表中对应的行或列，然后重复上述步骤。
推论：运输问题中n+m-1个变量能构成基变量的 充要条件是他们不构成闭回路。
通过闭回路计算空格处的检验数σij，若 σij≥0（因为是求min z)，则得最优调运方案， 否则，转2-3。
这里定义：闭回路上空格顶点的编号为0， 其余按1，2，3...类推。
闭回路的可能形状：
σ11=c11 -c13+c23-c21=3-3+2-1=1
销量
B1
B2 B3
B4 产 量
01 4
33
67 4 9
3 65
6 20
在未被划掉的运价对应的空格处补0，然后划掉 该行和该列。
2. 西北角法 在单位运价表中的左上角（西北角）处确定供
销关系，划去满足的行或列，以此类推，直至给出 一个完整的调运方案。 对例1，已知单位运价表为
销地 产地
A1 A2 A3
σ31=7-1+2-3+10-5=10 ......
2-3 调整方案，然后转2-2
令调整量θ=闭回路上奇数顶点的最小运量。 调整方法：闭回路上偶数顶点运量 + θ
闭回路上奇数顶点运量 - θ
因所有检验数σij ≥0，故得最优方案。 Minz=85
作业 P99 3.1 表3-36（位势法）P101 3.4 3.5
（上述资料见下面的产销平衡表和单位运价表， 也可将两表合并起来，见后）
解：设为xij表示从产地为Ai给销地为Bj的运输量。 则有
mn
min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai (i 1,2,..., m)
j1
m
xij
bj ( j 1,2,..., n)
i1
xij
0(i
1,2,..., m;
j
1,2,..., n)
运输问题的系数矩阵
c11
x11
c12 x12
... ...
c1n x1n
c21
c22
x21
x22
... ...
c2n x2n
... ...
cm1
cm2
xm1
xm2
... ...
cmn xmn
b y
1
1
...
1
a1
u1
1 1 ... 1
n
mn
m
对 xij ai两边对i求和得
xij ai
j 1
i1 j1
i 1
m
nm
n
对 xij bj两边对j求和得
xij bj
i 1
j1 i1
j
所以，约束条件线性相关。
第二节 求解运输问题的表上作业法
表上作业法的步骤： 1.将运输问题化为产销平衡的问题
（供过于求：增加假设销地；供不应求，增加假设 产地）； 2.确定初始调运方案（最小元素法，西北角法， vogel法）； 3.最优性检验（闭回路法，位势法）；若所有非基 变量的检验数都有σij ≥0，则得最优方案，结束 计算。否则，转4； 4.调整方案（闭回路法），转3。
m个；
2.销地：
n个；
3.变量：
m×n个；
4.约束条件： m + n个；
5.约束矩阵具有：分布稀疏性，排列规律性，
数据单一性（0或1）；
6.约束矩阵的秩： r = m + n – 1 ;
7.基变量个数： m + n – 1 ；
8.非基变量个数： m×n – (m + n – 1 )。
定理1. 运输问题的数学模型必有最优解。 定理2. 若运输问题中产量和销量皆为整数，则 必有整数最优解。
初始调运方案为见下，总运费为z =85
销 地 B1
产地 A1
B4
A2
3
A3
销量
3
B2 5
6 65
B3 产 量
27 14 39 6 20
2-2 最优性检验 1. 进行最优性检验的闭回路法 闭回路：在调运方案中，从一个空格处出
发，以有数字格为顶点（或拐点），沿水平或 垂直连线又回到空格处所形成的封闭回路。 定理3. 对调运方案中的任一个空格，有且仅有 一个以有数字格为顶点的闭回路。
a2
u2
...
.
.
1
1
...
1 am um
1
1
1
b1 v1
1
1
1
b2
v2
...
...
...
...
. .
1
1
1
bn
vn
m
n
max w aiui bjv j
i 1
j 1
ui v j cij (i 1,2,..., m; j 1,2,..., n) ui , v j无约束(i 1，2，...，m；j 1，2，...，n)
初始调运方案见下，总运费为z =86
销地
B1
B2 B3 B4 产 量
产地
A1
437
A2
3
1
4
A3
6
39
销量
3 6 5 6 20
特殊情况：若运价表为:
销地
产地 A1 A2 A3
B1
B2 B3 B4
3 11 3 1 7 91 8 1 2 10 5
销量
3 65 6
产量
7 4 9
20
销地
产地 A1 A2 A3
m
n
当 ai
b
时，为产销平衡的运输问题；
j
i 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
j 1
m
n
当 ai
b
时，为供过于求的运输问题；
j
i 1
j 1
m
n
当 ai
b
时，为供不应求的运输问题。
j
i 1
j 1
下面先讨论产销平衡的运输问题的解法， 对产销不平衡的运输问题，只需化为产销平衡 问题，即可求解。
产销平衡运输问题数学模型的特征：
1.产地：
2. 进行最优性检验的位势法 运输问题的对偶问题数学模型为