第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程(讲义)解析版

第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程

知识梳理

一、理解复数的几何意义

(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数2

2

(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点

(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点

的距离.

二、实系数一元二次方程

实系数一元二次方程2

0(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么

（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a

-；

（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a

-

； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a

-±，

在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：

（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．

（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．

（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．

例题解析

一、复数的几何意义

例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，

12z z +=122z z -的值是______.

【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2

2

2

2a b b

a a

b +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由

2

2

2

424a a b a b b --+=⋅求解.

【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b

因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以2

2

2

218a a b b a b

+⋅+=+=，

即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以2

2

2

44524b b

a a a

b -=⋅-+=，

解得352a b -=

所以122z z -的值是

故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值

范围是__________. 【答案】[]3,7

【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r

为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出

圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，

∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r

为半径的圆．

|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，

圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．

例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足

|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点

A 和

B ，则AOB ∠的最大值是_____________.

【答案】

2

π

【分析】根据|||1|z i z -+-=

z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合

M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.

【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距

，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ

上的点，如下图所示：

显然当2

AOB POQ π

∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为

2

π. 故答案为：

2

π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.

例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.

【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43

z x i x x

⎛

⎫=-+

- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公

式，得到z =.

【详解】

由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则

24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==

当且仅当2

225

x x

=

，即x =

故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.

例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y

+的最小值是（ ）

A 、18

B 、6

C

、

D

、

3

【难度】★★ 【答案】 B

例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★

【答案】[ 【巩固训练】

1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】1

2．设O 为坐标原点，已知向量1

OZ 、2

OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5

3

21-++=

， 212),()52(12

z z R a i a a

z +∈-+-=

若其中是实数，求2z 的值。 【难度】★★ 【答案】由213(10),5z a i a =

--+21232[(10)(25)]51z z a a i a a

∴+=++-+-+-, ,3,5,01522=-==-+∴a a a a 或解得又分母不为零，3=∴a 2z 1i ∴=-+

2z

二、实系数一元二次方程

例1．（2020·上海高二课时练习）关于x 的方程210()++=∈x ax a R 没有实数根，则（ ）． A ．||2a < B ．||2a =

C ．||2a >

D ．||2≠a

【答案】A

【分析】根据判别式小于0，可解得结果.

【详解】因为关于x 的方程210()++=∈x ax a R 没有实数根， 所以240a ∆=-<，所以||2a <. 故选：A.

i a a z )sin 2()cos (θθ-++=i θ2≤z a