2020版高考数学一轮复习教案 第2章_第11节_导数与函数的单调性(含答案解析)

第十一节导数与函数的单调性

[考纲传真]了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．

函数的导数与单调性的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则

(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．

[常用结论]

1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.

()

(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．

()

(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()

(4)若函数f(x)在区间(a，b)上满足f′(x)≤0，则函数f(x)在区间(a，b)上是减函数．

()

[答案](1)×(2)√(3)×(4)×

2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()

A．(0,4)B．(0,2)

C．(4，＋∞) D．(－∞，0)

A [f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)，由f ′(x )<0，得0

3．(教材改编)如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )

A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数

B ．函数f (x )在区间(1,3)上是减函数

C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数

D ．函数f (x )在区间(3,4)上是增函数

A [当x ∈(－3,0)时，f ′(x )＜0，则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 4．(教材改编)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减

B ．先减后增

C ．增函数

D ．减函数

D [f ′(x )＝－sin x －1，又x ∈(0，π)，所以f ′(x )＜0，因此f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.]

5．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． (－∞，3] [f ′(x )＝3x 2－a ，由题意知f ′(x )≥0，即a ≤3x 2对x ∈[1，＋∞)恒成立． 又当x ∈[1，＋∞)时，3x 2≥3，所以a ≤3.]

1．函数y ＝1

2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)

D ．(0，＋∞)

B [函数y ＝1

2x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，

y ′＝x －1x ＝x 2

－1x ＝(x －1)(x ＋1)

x

，

令y ′＜0，得0＜x ＜1，

所以单调递减区间为(0,1)，故选B.] 2．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上递增 B ．在(0，＋∞)上递减 C ．在⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，1e 上递增

D ．在⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，1e 上递减

D [因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)， 当f ′(x )＞0时，解得x ＞1

e ， 即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫

1e ，＋∞；

当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1

e ， 即函数的单调递减区间为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，1e ，故选D.]

3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________． ⎝ ⎛

⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 令f ′(x )＝x cos x ＞0，

则其在区间(－π，π)上的解集为 ⎝ ⎛

⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2.]

【例1】 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1

x

.

①当a ≥1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；

③当0＜a ＜1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a

2a ，则当x ∈⎝

⎛⎭

⎪⎫

0，1－a 2a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝

⎛

⎭⎪⎫1－a

2a ，＋∞

时，f ′(x )＞0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，1－a 2a 上单调递减，在⎝

⎛⎭

⎪⎫1－a

2a ，＋∞

上单调递增．

(1)已知函数f (x )＝1

3x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．

[解] f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上，Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，