七年级数学上册第二章整式的加减2.2整式的加减(第四课时)整式的加减(2)教案(新版)新人教版

七年级数学上册第二章整式的加减2. 2整式的加减(第四课时)
整式的加减(2)教案(新版)新人教版
一、教学目标
(-)学习目标
1 .熟练掌握整式的加减运算法则，并能准确化简求值.
2 .体会整体代入法的作用.
3 .准确的运用去括号法则、合并同类项法则进行整式的化简求值.
(二)学习重点
熟练掌握整式的加减运算法则，并能化简求值.
(三)学习难点
准确的运用整体代入的方法化简求值.体会整体的代入方法的作用.
二、教学设计
(-)课前设计
1 .预习任务
整式的化简求值一般先一化简,再求值 .
2 .预习自测
(1)化简：-(a -h)2+\ 3(a - b)2 - 8(« - b)2 + 7(a - b)2. 2
【知识点】合并同类项.
【数学思想】整体思想.
1 25
【解题过程】解:原式=(一 + 13-8 + 7)(0-。

)2 二一(々一。

)2. 2 2
【思路点拨】根据同类项，把同类项结合到一起，根据合并同类项，可得答案.
9S
【答案】—(a-b)2. 2
(2)化简：6x2y + 2xy^-3x2y2 -7x-5yx-4y2x2 -6x2y .
【知识点】合并同类项.
【解题过程】解：原式二—7/)，2—3邛—7-
【思路点拨】根据合并同类项的法则求解即可.
【答案】-7x2r-3^-7x.
（3）化简求值：（7〃?。

-4〃?〃 -4，/）一（2"/ 一+ 2/J）；其中/7? = ■!■ ； // =-- 2
2
【知识点】去括号、合并同类项.
【解题过程】解：原式=7〃/一4〃〃?一4/一2〃72+〃〃?一2万
=5m2 -3//Z/Z-6/?2
当〃2 =—, 〃 = 一工时，5m2 -36〃-6/ =5x(—)2 - 3x — x(--)-6x(--)2 =— 2 2 2 2 2
2 2
【思路点拨】先化简再代入求值，可以简化计算.
【答案】
2
（4）化简求值：（1〃2_2〃-6）-1（!〃2-4a-7）,其中〃=2.
3 2 2
【知识点】化简求值【解题过程】解:
(L『-2«-6)--(—i/2-4a-7) =-a2 -2a-6- — a2+2a + — = — a2-- 3 2 2 3 4 2 12 2
i 5 i Q
当a = 2时，原式二上x2?—二二一上.
12 2 6
【思路点拨】先化简再代入求值，可以简化计算.
13
【答案】—上6
（二）课堂设计
1 .知识回顾
（1）去括号法则是.
注意：
①去括号，看符号，是“+”不变号，是“一”全变号.
②括号前的因数分配到括号内不要漏乘项.
③去括号前后项数一致.
（2）合并同类项的法则：系数相加，字母和字母的指数不变.
（3）整式加减运算实际是，
2 .问题探究探究一
•活动①（整合旧知，探究整式的化简求值）
化简求值：4x?），一[6个一3（4\y-2）-x1] + l,其中x = 2,
2
学生独立自主的解决，老师巡视，发现学生在解题过程中的不同方法.
抽两个不同方法的学生板书（一个是直接代入求值，另一个先化简再求值）
师问：比较两解法，哪种方法更简单？
生答：先化简再求值更简单一些.
师问：你们能总结整式的化简求值的方法步骤吗？
生答：先化简，再求值
【设计意图】使学生进一步理解掌握整式的加减法则，熟练进行整式的化简求值，掌握化简
求值的格式要求.
探究二
•活动①（大胆操作，探究整体思想代入求值）
已知代数式2/+3y + l的值是2,求6r+9）、-7的值.
师问：题目没有直接告知x和y的值，如何求值呢？
引导学生观察与思考.
【设计意图】让学生初步认识整体思想的作用.
・活动②（集思广益，证明整体代入的方法）
师问：注意观察条件和结论中含字母的部分的系数有何特征？
生答：成倍数关系
师问：这类型的题目用什么方法求值呢？
法一、由条件向结果转化
V 2x2+3y + \ = 2,则3（2x2+3y + l） = 3x2,则6』+9y + 3 = 6, A 6x2+9y = 3. ・•.把6/ + 9 y作为整体带入6/ + 9 y - 7得值是-4
法二、由结果向条件转化
6/+9），一7:3（2/+3乃一7,再由2丁+3y + l = 2得2/+3y = 1,・••原式二—4 【设计意图】让学生认识到整体带入的数学思想使运算化简更简便.
探究三运用整式的加减化简求值
・活动①
i i 3 1 ?
例L 求Lx — 2（x —：y2） +（—, x + =），2）的值，其中工=—2,）,=二.
2 3 2 3 3
【知识点】整式的化简求值.
1 1 3 1
【解题过程】解：ix-2（x-ir）+（--x+ir）
2 3 2 3
1 个2）3 1 ，
=—x-2x + — ~ — x + - y
2 3， 2 3.
= -3x+y2
当x = -2, y = g时，原式二（一3）乂（一2） + （$2=6 + [=62.
【思路点拨】先化简，再求值.
4
【答案】6-.
9
练习：先化简，再求值：12（。

%-1帅2） + 5（岫2-。

％）一4（!。

28+ 3）,其中。

=_1/ = 一5.
3 2 5
【知识点】化简求值.
【解题过程】解：12（a2b - - ab2） + 5（ab2 -a2b）-4（-crb + 3）
2
= \2a2b-4加 + 5ab2 -5a2b-2crb-\2
= 5a2b + ab2-\2
当 a = ' 0 = -5 时，原式=5x（g）2x（—5） + （1）x（—5）2 — 12=-8
【思路点拨】先化简再求值.
【答案】-8.
【设计意图】通过例习题的学习让学生更进一步熟悉整式的化简求值，把握去括号，合并同
类项时注意的问题.
・活动②
例2：化简并求值：一（一3勺一10），） + [5工一（2D+ 2），—34）]其中工=-2, y = 3. 【知识点】化简求值
【解题过程】解：一（一3个—10），） + 5¥-（2个+ 2），-3切]
= 3xy + \ Oy + （5x - 2岁 - 2y + 3x）=3xy +1 Oy + 5x - 2xy — 2y + 3x
= xy + 8y + 8x
当x = —2, y = 3时，原式二-2x3 + 8x3+8x（-2）=2.
【思路点拨】先化简再求值.
【答案】2.
变式1.将条件变换成选择一个你喜欢的x和y的值，求多项式的值？
变式2.若将条件换成（x +3>+| y-2| = 0,又如何求多项式的值？
变式3 .若将条件换成若冷，=-2, x+y = 3,又如何求多项式的值？
变式4.若条件式），=-2 , x+y = 3不变，化简后是—8x + w —8y又如何求值？
练习：若x = 2时，pF+/ + 1 = 2012,当工=一2时，pY+p+l的值等于多少？
【知识点】化简求值.
【数学思想】整体思想.
【解题过程】解：因为x = 2时，〃/+"+ 1 = 2012,所以，
当x = -2时，px3 +qx + \=-Sp-2q + \= -（8p + 2q） +1 =-2010.
【思路点拨】当x = 2时，求出，再根据x = —2,得到—8〃—2q + l,
通过变形整体带入求值即可.
【答案】-2010.
【设计意图】引导学生自己独立的观察和思考去发现条件和结论的特点，然后组织学生进行讨论，交流，从而引出整体代入的方法.极大的激发学生学习的积极性和主动性，满足学生的表现欲和探究欲，使学生学得轻松愉快，充分体现课堂教学的开放性.
3.课堂总结
知识梳理
（1）整式的加减运算法则.需要注意什么问题？
（2）化简求值的一般思路.
（3）整体代入的思想方法.
重难点归纳
（1）整式的加减运算法则.
（2）化简求值的一般思路.
（3）整体代入的思想方法.
（三）课后作业
基础型自主突破
1 .已知〃7-〃 = 100 , x+y = -1,则代数式（，
2 + 1）-（〃?->）的值是（）.
A. 99
B. 101
C. - 99
D. - 101
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】整体思想.
【解题过程】解：•••"7-〃 = 100, x + y= 4,
，原式二〃 + x-〃z + y = -（〃?一〃）+ （x + y） =-100—1 = —101,故选式
【思路点拨】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值.
【答案】D.
2 .已知:x-2y= 3,则5（工一2），）2-3（工一2），） + 40的值是（）
A. 5
B. 94
C. 45
D. -4
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】整体代入思想.
【解题过程】解：当x — 2y = —3时，原式=45+9+40=94,故选B.
【思路点拨】把x-2y的值代入原式计算即可得到结果.
【答案】B.
3 .若多项式2x2 + 3x + 7的值为10,则多项式6x2 + 9A -7的值为.
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】整体思想.
【解题过程】解：由题意得：2/+3x = 3,.
【思路点拨】由题意得2.d+3x = 3,将6/+9x —7变形为可得出其值.
【答案】2.
4 .若Q +1> + 3 - 21= 0 ,化简a（x2y + xy^2） -b（x2y - xyr）的结果为
【知识点】整式的化简求值
【解题过程】解：•••(“ + 1)2+16-21=0, ：,a = -\, b = 2,
a(x2y + xy2)~b(x2y-xy f2)= -x2y - xy2 - 2x~y + 2xy2 - -3x2y + xy2.
故答案为：-3X，+ A/.
【思路点拨】首先利用非负数的性质得出a, b的值，再利用整式加减运算法则化简求出答案. 【答案】一3/)，+冷J
5 .先化简，再求值：— 2(〃? 一［〃2)一(3〃? 一,其中〃? = J. , ?? = —1 .
2 3 2 3 3
【知识点】整式的化简求值.
1 7 3 1
【解题过程】解：原式二一加一2〃7 十二/J 一二〃7 + -〃2=一3〃7 + 〃2,
2 3 2 3
当机=1, 〃 = 一1 时，原式二一3乂1 + 1=-1+1=0.
3 3
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把力与〃的值代入计算即可求出值.
【答案】0.
6.求代数式一3(./)，一个2+ 1) + 1(61'-2¥2+4)-2 的值，其中x = l , y = -1.
2
【知识点】整式的化简求值.
【解题过程】解：原式二一3/)，+ 3;^2-3 + 3/)，一》2+2一2二2冷，2一3,
当工=1, 丁 = 一1 时，原式=2—3 = —1.
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值.
【答案】-1.
能力型师生共研
1.若14 — 21+9 + 3)2=0,则式子(a + 5㈤一(以一2加一1的值为( ).
A. - 11
B. - 1
C. 11
D. 1
【知识点】整式的化简求值.
【解题过程】解：原式二。

+ 5〃一%+ 2^-1=3。

+ 2/2-1,
,・・|“-21+彷+ 3/=0, A a = 2,〃 = 一3,则原式=6—6—1 =一1,故选B
【思路点拨】利用非负数的性质求出。

与〃的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值. 【答案】B.
2.定义一种新运算：1※人=|"一""")，则当x = 3时，2派工4派工的结果为___________
3b(a < b)
【知识点】整式的化简求值
【数学思想】分类讨论思想
【解题过程】解：当x = 3时，原式=2Xx4Xx = 9 —(4-3) = 9-1 = 8,故答案为：8.
【思路点拨】利用已知的新定义进行化简时，应注意相应条件，再计算即可得到结果. 【答案】8.
探究型多维突破
1 . “整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如：已知m+n = -2, mn = —4,则2(mn-3m)-3(2n—mn)的值为.
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】整体思想.
【解题过程】解：・・・"? + 〃 = 一2, =
，原式二2〃7〃—6〃7 — 6〃 + 3〃〃?=5〃〃?一6("? + 〃)=-20 + 12 = -8,故答案为：-8. 【思路点拨】原式去括号合并后，将已知等式代入计算即可求出值.
【答案】-8.
c i 1999—1999 , 20002 - 2000 o 20012-2001
2 .已知a = ------- --------- ：2b = -------- ；------- ； 3c = ------ ； --------
19982 + 1998 1 9992 +1999 20002— 2000
2(〃 +。

- c) + (―a + 3Z? — c) — 3(a + b + c) =
【知识点】整式的化简求值
【解题过程】
19992-1999 1999x(1999-1).
解• ci = ------------------- 二--------------- =1 ・
19982+1998 1 998x(1998 + 1)
_ 2OOO2 - 2000 _ 2000 x (2000 - D _1 ― 19992+1999 — 1999x(1999 + 1) -
女=2。

1：-2。

叽2。

以(2。

1)=],即J
2000- - 2000 2000 x (2000 + 1) 2 则原式:2^ + 2Z?—2c—c/ + 3b—c—3a-3b一女二一6c =-2 + 1-2 = -3,故答案为：-3.
【思路点拨】利用乘法分配律化简求出a , 〃，c,值是关键，然后去括号合并后代入计算即可求出值.
【答案】-3.
自助餐
1 .化简3a2+56）+（5/一6而一⑵2-5皿+ 76）,当〃=一1, 〃 = 一2时，求值得
（）.
A. 4
B. 48
C. 0
D.2
【知识点】整式的化简求值
【解题过程】解：原式二a3 -3a2 +5b + 5a2-6ab-a2+5ab-lb= a3+a2-ab-2b,
当〃 =一1,。

= 一2时，原式=-1 + 1 — 2+4 = 2,故选 D.
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把。

与〃的值代入计算即可求出值.
【答案】D.
2 .若lx+y + 2l+g-l）2=0,则（3x-个，+ D -（4，一3），一2）的值为（）.
A. 3
B. -3
C. - 5
D. 11
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】整体代入思想.
【解题过程】解：由1工+），+ 21+（冲-1）2=0,得％+），= -2, xy' = \
（3x-xy + l）-（AT-3y-2） = 3x—xy + \-xy + 3y + 2 = 3x+3y-2xy + 3 ,
当x + y = —2：封=1 时，原式= —2x3—2x1 + 3= 5,故选：C.
【思路点拨】根据非负数的和为零，可得x + y的值，根据整体代入的思想方法求值, 可得答案. 【答案】C.
3 .按如图所示的程序计算，若开始输入a = 2, « = 。

= 一1,则最后输出的结果
2
是
C ・-1 D.-2
【知识点】整式的化简求值. 【解题过程】解：原式二 ab — 2ab + 2c + 3ab —c — lab —c + ab - ab ,
"i 〃 = 2，ci = — — , c = —1 时，原式=—1. 2
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把。

，〃，c 的值代入计算即可求出值. 【答案】-1.
4 .已知整式6x —1的值是2, V 的值是4,则
（5x 2y + 5xy - lx ） - （4x 2y + 5xy -lx ）- .
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】分类思想.
【解题过程】解：由题意得：x = ；, y = 2或-2,
5A 2y + 5xy - 7x - 4x 2y - 5xy + 7x = x 2y ,
当x = —, y = 2时，原式二一；= —, y = —2时，原式二—，故答案为一或—・
2 2 2, 2 2 2
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，求出工与），的值，代入计算即可求出值. 【答案】［或—L .
2 2
5.一般情况下色+ 2 =竺2不成立，但有些数可以使得它成立，例如：。

=〃 =0.我们称 3 6 3 + 6 使色+ 2 = 叱成立的一对数。

，〃为“相伴数对”，记为（。

，〃）. 3 6 3 + 6
（1）若（1,方）是“相伴数对”，求〃的值：
（2）写出一个“相伴数对"（。

，8）,其中〃W0,且
77 （3）若（〃？，〃）是“相伴数对”，
求代数式机-二＞“一［4加一2（3〃-5）］的值. 4 【知识点】化简求值
【解题过程】解：（1）根据题中新定义得：- + - = —，解得：b = 4 3 6 9
（2）答案不唯一，如（2, -8）,满足二—2 = 二： 3 6 3 + 6 m n m + n . 工= 27 .
（3） ; 一 + — = --- ， /. n = -4m , 原式二 m ------- 〃-4〃? + 6〃-10,
3 6 3 + 6
4 输入。

＞ b ＞ c
A. 0
B. 1
■: n = -4/z?,
，原式二 m+27m —4m —24m —10 = —10.
【思路点拨】(1)利用题中的新定义确定出〃的值即可：
(2)类比题中新定义得出一个“相伴数对”即可：
(3)利用题中新定义确定出机与〃关系式，原式去括号合并后代入计算即可求出值.
【答案】(1) 〃 = Y ： (2) (2, -8),答案不唯一；(3) -10. 6.图1是某月的月历.
(1)带阴影的方框中的9个数的和与方框中心的数有什么关系？ (2)如果将带阴影的方框移至图2的位置，(D 中的关系还成立吗？
(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证 明这个结论吗？
(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
(5)如图3,如果带阴影的方框里的数是4个，你能得出什么结论？ (6)如图4,对于带阴影的框中的4个数，又能得出什么结论？
【知识点】整式表示数量关系. 【解题过程】解：
(1)带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍：(2)将带阴影的方框移至图2的位置, (1)中的关系仍然成立：(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置，(1)中的结 论仍然成立，即带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍.证明如下：设带阴影方框 的9个数中的中心的数为X,则
图图3
图4
（x—8）+ （x—7）+（x—6）+（x—l）+x+（x+l）+（x+6） + （x+7） + （x+8）=9x ,即带阴影
的方框中9个数之和是方框中心数的9倍.（4）成立.（5）观察图可知，
11+19=12+18; 15+23=22+16.即对角线的两数之和相等.（6）观察图4可知，12+19=18+13. 【思路点拨】
此题主要考查了数字变化规律，关犍是根据月历上数的特点：左右相邻的两个数相差1，上下相邻的两个数相差7,从而找出阴影框中的九个数的关系，使问题迎刃而解.
对于（1）,设方框中心的数为工，表示出方框内各数之和，即可得出结论；
对于（2）,根据图2验证（1）中得出的结论是否成立：
对于（3），根据月历中数的排列，总结出规律，相信你不难证明结论，自己试着解题（4）:对于（3）、（4）,自己根据图3和图4中的数，自己试着得出结论.
【答案】（1）带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍；（2）（1）中的关系仍然成立:
（3）带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍.
⑷成立；（5）即对角线的两数之和相等：（6）观察图4可知，12+19=18+13.。