《垂直于弦的直径》PPT课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,
则AB= 16 cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
AEB
∴ AE OA2 OE2 102 62 8 cm.
O·
∴ AB=2AE=16cm.
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
A M└
B ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称，
●O
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合
D
，∴A⌒C =⌒A，B⌒CC和AB⌒⌒DC重=B⌒合D.
⌒⌒ AD和BD重合.
平分弦（，不是直径）的直径垂直于
弦，并且平分弦所对的两条弧.
归纳总结
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧.
A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
⌒ =BD.
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
O
A
E
D
是
c
C
A
D
B
O
O
B
A
E
不是 是
C
BA
O EB D
不是
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 Ａ⌒ＣＢ
C
即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
·O
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的
直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧
垂径定理的几个基本图形：
垂直于弦的直径
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都 是它们的对称轴
2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？ 圆是中心对称图形，圆心是对称中心
.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆 弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m， 拱高(弧的中 点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
（2） （3） （4）
（2） （3）
（1（）2） （3（）5） （5）
（1）（3） （3）（4） （4）
（1） （2）（3） （5）（5）
（1） （4）
（2） （5）
（4）
每条推论如何用语言表示？
（1） （4） （5） （1） （2） （3）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举
出反例.
C
➢特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.
.
A
·O
B
D
11
讨论
（1）过圆心（2）垂直于 弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分 弦所对的劣弧
C
A M└
B
●O
D
（1） （3）
（2） （4）
（2） （4） （1） （5） （4）
（2） （1） （3） （5） （5）
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其它三个结论（“知二推三”）
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程.
活动一
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
.
15
练一练：如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的
圆的半径为7cm，则弓形的高为＿2c＿m＿或_1_2_c_m＿.
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
.
16
练习
如图， △ABC的三个顶点在⊙O上，
OE⊥AB于E，OF ⊥AC于F.
求证：EF∥BC，EF=
1 2
BC
A
E
F
O
B
C
∵OE⊥AB ∴E为AB的中点
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
C
·O
E B
D
Ｃ
Ｏ
Ａ
ＥＢ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM，
④A⌒C=B⌒C， ⑤A⌒D=B⌒D.
几何语言：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
C
A
Dபைடு நூலகம்
B
A
O
E
BA
O
D
B
O
A
D
C
C
CD过圆心 CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
O
C
B
•思考：平分弦（不 是直径）的直径有 什么性质？
垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM
连接OA，OB，则
O在A△=OOBA. M和△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
.
19
再见
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
（4） …（5）… （6）…
（7）… （8）… （9）…
结论
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说.如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
∵OF ⊥AC ∴ F为AC的中点
∴EF为三角形ABC的中位线
M
C
A
B
C
D
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
小结: 解决有关弦的问题，经常需要过圆心
作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连半径 或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定 理和勾股定理求解.为应用垂径定理创造 条件.
课堂小结
垂径定理
内容 推论 辅助线
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,
则AB= 16 cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
AEB
∴ AE OA2 OE2 102 62 8 cm.
O·
∴ AB=2AE=16cm.
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
A M└
B ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称，
●O
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合
D
，∴A⌒C =⌒A，B⌒CC和AB⌒⌒DC重=B⌒合D.
⌒⌒ AD和BD重合.
平分弦（，不是直径）的直径垂直于
弦，并且平分弦所对的两条弧.
归纳总结
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧.
A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
⌒ =BD.
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
O
A
E
D
是
c
C
A
D
B
O
O
B
A
E
不是 是
C
BA
O EB D
不是
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 Ａ⌒ＣＢ
C
即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
·O
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的
直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧
垂径定理的几个基本图形：
垂直于弦的直径
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都 是它们的对称轴
2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？ 圆是中心对称图形，圆心是对称中心
.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆 弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m， 拱高(弧的中 点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
（2） （3） （4）
（2） （3）
（1（）2） （3（）5） （5）
（1）（3） （3）（4） （4）
（1） （2）（3） （5）（5）
（1） （4）
（2） （5）
（4）
每条推论如何用语言表示？
（1） （4） （5） （1） （2） （3）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举
出反例.
C
➢特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.
.
A
·O
B
D
11
讨论
（1）过圆心（2）垂直于 弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分 弦所对的劣弧
C
A M└
B
●O
D
（1） （3）
（2） （4）
（2） （4） （1） （5） （4）
（2） （1） （3） （5） （5）
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其它三个结论（“知二推三”）
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程.
活动一
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
.
15
练一练：如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的
圆的半径为7cm，则弓形的高为＿2c＿m＿或_1_2_c_m＿.
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
.
16
练习
如图， △ABC的三个顶点在⊙O上，
OE⊥AB于E，OF ⊥AC于F.
求证：EF∥BC，EF=
1 2
BC
A
E
F
O
B
C
∵OE⊥AB ∴E为AB的中点
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
C
·O
E B
D
Ｃ
Ｏ
Ａ
ＥＢ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM，
④A⌒C=B⌒C， ⑤A⌒D=B⌒D.
几何语言：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
C
A
Dபைடு நூலகம்
B
A
O
E
BA
O
D
B
O
A
D
C
C
CD过圆心 CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
O
C
B
•思考：平分弦（不 是直径）的直径有 什么性质？
垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM
连接OA，OB，则
O在A△=OOBA. M和△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
.
19
再见
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
（4） …（5）… （6）…
（7）… （8）… （9）…
结论
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说.如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
∵OF ⊥AC ∴ F为AC的中点
∴EF为三角形ABC的中位线
M
C
A
B
C
D
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
小结: 解决有关弦的问题，经常需要过圆心
作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连半径 或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定 理和勾股定理求解.为应用垂径定理创造 条件.
课堂小结
垂径定理
内容 推论 辅助线