椭圆的常见题型及解法(二)

椭圆的常见题型及解法（二）

一

对称问题

平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对称只有以下四类,分别为“点关于点对称”；“点关于直线对称”；“曲线关于点对称”；“曲线关于直线对称”.

①点A 关于B 的对称点为C ，点B 为A 、C 的中点，由中点坐标公式有：

⎩⎨

⎧-=-=⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=11

1

12222y b y x a x y y b x x a ； ②设点A(x 1,y 1)关于直线 ：ax+by+c=0的对称点为C(x,y),由AC 直线与 垂直，且AB

的中点在 上，有：()(

)

;222202212

2112

22

2

112

21111⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+---=+---=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--b a bc abx y b a y b a ac

aby x a b x c y y b x x a b a x x y y

(当直线 中a=0或b=0时，上面结论也正确)

③曲线F(x,y)=0关于点B(a,b)对称的曲线，在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x 1,y 1)，它关于点B(a,b)的对称点为C(x,y).其实点A 为主动点,点C 为从动点,由中点坐标公式有:

⎩⎨

⎧-=-=⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=y b y x

a x y y

b x x a 2222111

1,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:0)2,2(=--y b x a F .

④曲线F(x,y)=0关于点ax+by+c=0对称的曲线, 在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x 1,y 1)，它关于直线ax+by+c=0的对称点为C(x,y),则有:

()

()

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---=⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--222

212

2221111122220221b a bc

abx y b a y b a ac

aby x a b x c y y b x x a b a x x y y ,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:()()

0)22,22(

2

2222222

=+---+---b a bc

abx y b a b a ac aby x a b

F .

圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求某参变量的取值范围.这一类问题求解时,必须

同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就实例说明三个确保的实施.

例1.已知椭圆C: 19

162

2=+y x ,试确定m 的取值范围,使得对于直线 :m x y +=4在椭

圆C 上存在不同的两点关于直线 对称.

解:椭圆上存在两点A,B 关于直线 m x y +=4对称, 设直线AB 为:n x y +-

=4

1

(确保垂直). 设直线AB 与椭圆有两个不同的交点()()2211,,,y x B y x A .

07284519

16412

22

2=-+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=n nx x y x n x y ()()

072854422

>-⨯⨯--=∆n n (确保存在)

即：()

10,10102

-∈⇒

5

45421n

n x x =

--

=+ AB 两点的中点的横坐标为

,52221n x x =+纵坐标为n n n 10

9

5241=+⨯- 则点⎪⎭

⎫

⎝⎛n n 109,52在直线 m x y +=4上,m n n +⨯=524109. (确保平分)

.10

7

n m -

=⇒ 把上式代入(1)中,得：.10

10

710107<<-

m 变式训练（2010年安徽理19）：已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.2

1=e （I ）求椭圆E 的方程；

（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；

（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若

存在，请找出；若不存在，说明理由.

本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直

线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.

解：（I ）设椭圆E 的方程为22

221x y a b

+=

222222

2211

,,2,3,22

1.

43c e a c b a c e a x y

c e =

===-=∴+=由即得椭圆方程具有形式 将A （2，3）代入上式，得2213

1,2,c c c

+==解得 ∴椭圆E 的方程为

22 1.1612x y += （II ）解法1：由（I ）知12(2,0),(2,0)F F -，所以

直线AF 1的方程为：3

(2),3460,4

y x x y =

+-+=即 直线AF 2的方程为： 2.x =

由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设(,)P x y l 为上任一点，则

|346|

|2|.5

x y x -+=-

若346510,280x y x x y -+=-+-=得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l 的方程为：210.x y --= 解法2：

121212

121(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).114

(4,3)(0,3)(1,2).

535||

||2,:32(1),210.

A F F AF AF AF AF AF AF k l y x x y -∴=--=-∴+

=--+-=-∴=∴-=---=即

（III ）解法1：

假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和

21211212

00001,.2

(,),,,22

BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴=

=-++=

=设的中点为则

由于M 在l 上，故00210.x y -+= ①

又B ，C 在椭圆上，所以有

2222

1122

1 1.16121612x y x y +=+=与 两式相减，得

222

2

21210,1612

x x y y --+=