三个顶点距离之和最小问题
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值复习课程
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'则△BPP'，△BCC'均为等边三角形所以PB=PP'，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'（2，-2√3）所以AC'=√[（0-2）²+（3+2√3）²]=√（25+12√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P 是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得x=6，AD=8，DC=15以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'则△CPP'，△CBB'均为等边三角形所以PC=PP'，PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'（9/2，-21√3/2）所以AB'=√[（0-9/2）²+（8+21√3/2）²]=√（415+168√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）.【补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
中考中的费马点问题
费马点“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.【定义】1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。
托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。
这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。
这个点因此也叫做托里拆利点。
）2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.【费马点问题】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′．∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段. 【知识应用】两点之间线段最短.【典型例题】1.已知：P是边长为1的等边三角形ABC内的一点，求PA+PB+PC的最小值.2.（2015·无锡二模）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则PA+PB+PD的最小值为__________．3. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA+PB+PC 的最小值．4. (朝阳二模)阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC 中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求PA+PB+PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60º，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC 的最小值为________________；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC=60º，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC 值最小时PB 的长．D A B P 图2 A B 图3 A C B P 图15. 如图，在ABC 中，ABC ＝60，AB ＝5，BC ＝3，P 是ABC 内一点，求P A ＋PB ＋PC 的最小值，并确定当P A ＋PB ＋PC 取得最小值时，APC 的度数． B CAP6. 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60得到BN ，连结AM ，CM ，EN ．（1）当M 在何处时，AM ＋CM 的值最小?（2）当M 在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小？请说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 31时，求正方形的边长．NE M7. （海淀二模）如图.在平面直角坐标系xOy 中.点B 的坐标为(0,2).点D 在x 轴的正半轴上. 30ODB ∠=︒.OE 为△BOD 的中线.过B 、E 两点的抛物线236y ax x c =++与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧).(1) 求抛物线的解析式；(2) 等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上.求AE 及AM 的长； (3) 点P 为△ABO 内的一个动点.设m PA PB PO =++.请直接写出m 的最小值,以及m 取得最小值时,线段AP 的长.8.（2019河东一模）如图,抛物线25 2y ax bx=++过点A(1,0),B(5,0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离。
中考最值专题--费马点模型
中考最值专题--费马点模型【模型建立】在三角形中，有一点P到三个顶点距离之和最小，点p在三角形哪里？【问题分析】费马尔问题的思考：如何找到一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？【问题解决】费马点的确切定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1、如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2、如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
【模型总结】费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换. 秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。
费马点最值模型典例讲解例1. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．变式练习>>>1．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）【注】本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转！变式练习>>>2．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 求PB的值.例题3. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值求三角形内一点到三个顶点最短值
求三角形内一点到三个顶点距离之与的最小值1、已知三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,P就是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值、解:由题意三角形ABC为直角三角形,以直角顶点C为原点,CB为x轴,CA为y轴建立坐标系(如图)则C(0,0)A(0,3)B(4,0)以B为旋转中心,将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C',连接PP'、CC'、AC'则△BPP',△BCC'均为等边三角形所以PB=PP',PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'(2,-2√3)所以AC'=√[(0-2)²+(3+2√3)²]=√(25+12√3)、即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√(25+12√3)、2、已知三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC=21,P就是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值、解:过A作AD⊥BC于D,设BC=x,则CD=21-x由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x)²,解得x=6,AD=8,DC=15以D为坐标原点,BC为x轴,DA为y轴建立坐标系(如图) 则A(0,8)B(-6,0)C(15,0)以C为旋转中心,将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B',连接PP'、BB'、AB'则△CPP',△CBB'均为等边三角形所以PC=PP',PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'(9/2,-21√3/2)所以AB'=√[(0-9/2)²+(8+21√3/2)²]=√(415+168√3)、即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√(415+168√3)、【补充说明】(1)如图,以△ABC的三边为边,分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF,连接AD、BE、CF,则(1)AD、BE、CF交于一点P,且∠APB=∠APC=∠BPC=120°,(2)P 到A、B、C三顶点距离的与最小,且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
初中几何模型：费马点问题的全面分析、处理和归纳，收藏！
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【问题处理】下⾯简单说明如何找点，使它到三个顶点的距离之和最⼩？这就是所谓的费马点问题.
因此，当的每⼀个内⾓都⼩于时，所求的点对三⾓形每边的张⾓都是，可按照如上的办法找到点；当有⼀内⾓⼤于或等于时，所求的点就是钝⾓的顶点.
费马问题告诉我们，存在这么⼀个点到三个定点的距离之和最⼩，解决问题的⽅法是运⽤旋转变换.
【问题归纳】符合条件的点P,我们把它叫做费马点。
所谓的“费马点”就是法国著名业余数学家费马在给数学朋友的⼀封信中提出关于三⾓形的⼀个有趣问题：“在三⾓形所在平⾯上，求⼀点，使该点到三⾓形三个顶点距离之和最⼩．”让朋友思考,并⾃称已经证明了。
这是费马通信的⼀贯作风。
⼈们称这个点为“费马点”。
还有像著名的费马⼤定理（当整数n >2时，关于x, y, z的⽅程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
）也是这样，给欧拉的信中提出的，⾃称已经“有了⾮常巧妙的证明”。
直到离开也没告诉⼈家这个所谓证明，结果困扰世界数学界三百多年。
费马点就是到三⾓形的三个顶点的距离之和最⼩的点．费马点结论：对于⼀个各⾓不超过120°的三⾓形，费马点是对各边的张⾓都是120°的点；对于有⼀个⾓超过120°的三⾓形，费马点就是这个内⾓的顶点．
【综合应⽤】
中考真题1：
【答案解析】
中考真题2：【答案解析】。
正方形内一点到三顶点距离和的最小值的点
正方形是一种非常常见的几何形状，它具有四条边相等，四个角都是直角的特点。
在正方形内部任意一点到顶点的距离和是一个非常有趣的数学问题，本文将对这一问题进行深入探讨。
一、问题描述假设有一个正方形，其四个顶点分别为A、B、C和D，现在在正方形内部任意选取一个点P。
我们希望求出点P到顶点A、B、C三个顶点的距离之和的最小值。
二、问题分析1. 几何分析首先我们需要了解一下正方形的性质。
正方形的对角线相等且相互平分，任意边上的中点与对角线的交点成一直角三角形，且对角线与边的夹角均为45度。
另外，对于任意一点P到正方形三个顶点的距离和，我们可以利用三角形的性质进行分析。
2. 数学建模我们可以将点P的坐标表示为(x, y)，其中x和y均在0到正方形边长的范围内。
由此我们可以得到点P到顶点A、B、C的距离公式：PA = √(x^2 + y^2)PB = √((x-1)^2 + y^2)PC = √(x^2 + (y-1)^2)因此点P到三个顶点的距离之和可以表示为：PA + PB + PC = √(x^2 + y^2) + √((x-1)^2 + y^2) + √(x^2 + (y-1)^2)我们需要求解这个距离和的最小值。
由于表达式中包含平方根并且具有非线性的特点，因此需要通过数学方法进行求解。
三、问题求解1. 极值分析为了找到距离和的最小值，我们可以利用数学分析方法求解。
我们对表达式进行求导并令导数为0，求解出可能的极值点。
对表达式PA + PB + PC进行求导得：d/dx(√(x^2 + y^2) + √((x-1)^2 + y^2) + √(x^2 + (y-1)^2)) = 0 d/dy(√(x^2 + y^2) + √((x-1)^2 + y^2) + √(x^2 + (y-1)^2)) = 0通过求解上述方程组，可以得到可能的极值点。
接下来，我们需要对这些极值点进行分类讨论，确定其中哪一个才是距离和的最小值对应的点。
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'则△BPP'，△BCC'均为等边三角形所以PB=PP'，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'（2，-2√3）所以AC'=√[（0-2）²+（3+2√3）²]=√（25+12√3）. 即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P 是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得x=6，AD=8，DC=15以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'则△CPP'，△CBB'均为等边三角形所以PC=PP'，PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'（9/2，-21√3/2）所以AB'=√[（0-9/2）²+（8+21√3/2）²]=√（415+168√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）. 【补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
三角形费马点的证明
三角形费马点的证明费马点是指平面上的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
这个问题最早由法国数学家费马在17世纪提出，并且给出了一个简洁而美观的证明。
我们先来看一个特殊的情况，当三角形是等边三角形时，费马点就是三角形的重心。
重心是指三角形三条中线的交点，它到三个顶点的距离之和是最小的。
这个结论是很容易证明的，因为等边三角形的三个顶点到重心的距离都是相等的，所以它们的距离之和一定是最小的。
然而，当三角形不是等边三角形时，费马点的位置就不那么容易确定了。
我们可以通过以下步骤来证明费马点的存在，并且给出一个简单的构造方法。
我们将三角形的一条边延长，然后以这条边为直径画一个圆。
然后，我们再以另外两条边的延长线为切线，将圆与两条延长线相切于点A和点B。
接下来，我们连接点A和点B，并将这条线段的中点记为点C。
根据切线定理，我们知道切线与半径的垂线相互垂直。
所以，线段AC和线段BC与圆的切点A和B相互垂直。
而根据垂线定理，垂线的长度最短，所以线段AC和线段BC是与圆相切的两条线段中最短的。
现在我们来证明一下，点C就是三角形费马点的位置。
假设点C不是费马点，而是另外一个点D。
那么，三角形的三个顶点A、B和D 之间的距离之和一定小于三角形的三个顶点A、B和C之间的距离之和。
我们可以通过以下步骤来证明这一点。
首先，连接点A和点D，并延长线段AD，将圆与延长线段相交于点E。
然后，连接点B和点D，并延长线段BD，将圆与延长线段相交于点F。
现在我们来比较一下线段AE、线段CF和线段BC的长度。
根据切线定理，线段AE和线段BD是最短的。
而线段CF是线段AE和线段BD 的一条中线，根据中线定理，线段CF的长度一定小于等于线段AE 和线段BD的长度。
所以，线段CF的长度一定小于等于线段BC的长度。
同样的道理，我们可以比较一下线段BF、线段DE和线段AC的长度。
根据切线定理，线段BF和线段DE是最短的。
而线段AC是线段BF 和线段DE的一条中线，根据中线定理，线段AC的长度一定小于等于线段BF和线段DE的长度。
一点到三角形三个顶点距离之和最小值
一点到三角形三个顶点距离之和最小值在平面几何中，三角形是最基本的几何形状之一，它由三条线段组成，这三条线段称为边。
而三角形的三个顶点即为连接这三条边的点。
现在的问题是，给定一个点P和一个三角形ABC，如何确定点P到三角形ABC三个顶点的距离之和最小值呢？我们可以通过画图来观察一下这个问题的特点。
假设点P在三角形ABC的内部，我们可以发现，点P到三个顶点的距离之和是一个固定值，即三角形的周长。
但是，如果点P不在三角形ABC的内部，而是在三角形的外部，情况就变得复杂一些。
我们可以假设点P在三角形ABC的外部，且点P到三个顶点的距离之和最小。
那么，我们可以发现，点P到三个顶点的连线会与三角形的三条边相交。
以点P到边AB上的交点为例，我们可以发现，如果我们将点P沿着边AB的方向移动一点点，点P到三个顶点的距离之和会变小。
同理，点P到边AC和边BC上的交点也具有相同的性质。
这样一来，我们可以得出一个结论：点P到三角形ABC三个顶点的距离之和最小，当且仅当点P到三角形ABC的三条边上的交点重合。
这个交点有一个特殊的名字，叫做三角形ABC的费马点。
费马点是指在平面上给定一个点P，使得点P到三角形ABC三个顶点的距离之和最小。
费马点的特点是，它到三个顶点的连线夹角相等，即∠APB = ∠BPC = ∠CPA。
现在，我们来考虑一下如何求解费马点。
我们可以通过以下步骤来实现：1. 首先，我们需要计算出三角形ABC的三条边的长度，假设分别为a、b、c。
2. 然后，我们可以根据三角形的边长和角度关系，利用三角函数来求解费马点的坐标。
3. 假设费马点的坐标为(x, y)，我们可以得到以下方程组：(x - xA)^2 + (y - yA)^2 = a^2(x - xB)^2 + (y - yB)^2 = b^2(x - xC)^2 + (y - yC)^2 = c^2其中，(xA, yA)、(xB, yB)、(xC, yC)分别为三角形ABC的三个顶点的坐标。
三角形的费马点公式
三角形的费马点公式费马点是指平面上与三个给定点之间的距离之和最小的点。
在三角形中，费马点是指与三个顶点之间的距离之和最小的点。
费马点的位置可以用费马点公式来计算。
假设有一个三角形ABC，其中A、B、C分别为三个顶点。
我们需要找到一个点P，使得AP + BP + CP的值最小。
这个点P就是费马点。
费马点公式可以用三个步骤来计算：步骤一：将三角形ABC的三个顶点A、B、C连接起来，得到三个边AB、BC和CA。
在三角形外部，以边AB为直径画一个圆，记为O1；以边BC为直径画一个圆，记为O2；以边CA为直径画一个圆，记为O3。
步骤二：找到O1、O2和O3的两两交点，分别记为D、E和F。
这个交点D就是费马点。
步骤三：将费马点D连接到三个顶点A、B和C，得到线段AD、BD和CD。
这三条线段就是费马点到三个顶点的最短路径。
费马点公式的推导过程非常复杂，涉及到数学中的优化问题和最小路径问题。
但是我们可以通过图形直观地理解费马点的概念和计算方法。
费马点的特点是，它到三个顶点的距离之和是最小的。
这也意味着，费马点是三个顶点所对应的三个角的角平分线的交点。
换句话说，费马点是使得三个角的角平分线之和最小的点。
费马点在几何学和物理学中有广泛的应用。
在建筑设计中，费马点被用来确定最佳位置，以最小化建筑物与周围环境的距离。
在交通规划中，费马点被用来确定最佳交通节点，以最小化行程时间和交通拥堵。
在电信网络中，费马点被用来确定最佳信号传输路径，以最大化网络效率。
费马点公式是计算三角形中费马点位置的数学公式。
费马点是使得三个顶点之间的距离之和最小的点。
费马点的计算可以通过将三个顶点与圆的交点相连来实现。
费马点在几何学和物理学中有重要的应用。
它可以用来确定最佳位置、最佳交通节点和最佳信号传输路径，以优化各种问题的解决方案。
【范例】线段最值系列--费马点模型(
线段最值系列—费马点模型学号：姓名：【问题背景】“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.【构图模型】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP= PP′，P A =P′A′，∴P A+PB+PC= P′A′+ PB+ PP′≥B C′．∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长，∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小．最小值为BA.′【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】∴∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【构图总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段，利用两点之间线段最短进而解决该问题.【典型例题】例1（2019⋅武汉）如图，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．例2如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．ON G图2AB CDME图1图2例1图例2图例3 如图1，已知一次函数y =x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线c bx x y ++-=2过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ． （1）求b 、c 的值；*（2）点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE =2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接P A 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ，求P A +PC +PG 的最小值．例4 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－1,0），点B 的坐标为（4，0），经过点A 点B 抛物线y =x ²+bx +c 与y 轴交于点C . （1）求抛物线的关系式.*（2）△ABC 的外接圆与y 轴交于点D ，在抛物线上是否存在点M 使S △MBC =S △DBC ，若存在，请求出点M 的坐标.（3）点P 是直线y = -x 上一个动点，连接PB ，PC ，当PB +PC +PO 最小时，求点P 的坐标及其最小值.图1 图2备用图线段最值系列—费马点模型课堂检测学号： 姓名：1.如图，四个村庄坐落在矩形ABCD 的四个顶点上，AB ＝10公里，BC ＝15公里，现在要设立两个车站E ，F ，则EA +EB +EF +FC +FD 的最小值为 公里．2.小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：ABC ∆内总存在一点P 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小． 【特例】如图1，点P 为等边ABC ∆的中心，将ACP ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到ADE ∆，从而有DE PC =，连接PD 得到PD PA =，同时12060180APB APD ∠+∠=︒+︒=︒，180ADP ADE ∠+∠=︒，即B 、P 、D 、E 四点共线，故：PA PB PC PD PB DE BE ++=++=．在ABC ∆中，另取一点P '，易知点P '与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B 、P '、D '、E 四点不共线，所以P A P B P C PA PB PC '+'+'>++，即点P 到三个顶点距离之和最小．【探究】（1）如图2，P 为ABC ∆内一点，120APB BPC ∠=∠=︒，证明PA PB PC ++的值最小； 【拓展】（2）如图3，ABC ∆中，6AC =，8BC =，30ACB ∠=︒，且点P 为ABC ∆内一点，求点P 到三个顶点的距离之和的最小值．。
三角形内一点到各顶点距离最短的证明
三角形内一点到各顶点距离最短的证明(费马问题)在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小。
（P称为费马点）这是费马给伽利略的学生和助手托里析利（E. TOrricelli 1608～1647）考虑的一个几何难题。
托里析里在对物体运动，流体力学及大气压力有研究，他发明水银柱气压计，由此证明大气是有压力。
他对费马的这个问题给出了几何解决方法，先来介绍五十多年前一位英国人霍夫曼（J.E. Hofmann）以及匈牙利数学家笛波·伽累依（Tibor Gallai）先后想出同样的一个解决方法。
霍夫曼及伽累依是怎样考虑费马的问题呢？先假设△ABC没有一个角大于120°。
在△ABC内任取一点P，如图，向外作一正△PBP' 与C隔于BP，作正△ABC′与C隔于AB，容易看出，∠1=∠2，A'B=AB，P'B=PB，则△APB≌△A'BP'，进而PA=P'A'。
即PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC。
A'和C是定点，若要使距离和最小，则需要P'P在A'C上。
此时，∠3=180-60=120，则∠4=∠3=120。
同理可证其余各角都是120。
这就导出一则画法：向△ABC外作正△ABA'，作其外接圆交A'C 于P，P就是费马点。
又或者向△ABC外任作两正△,把它的顶点连接相对的三角形顶点,产生的2条连线交点为费马点.以下是托里析利的方法：以AB，AC为边向外作两个正三角形其外接圆交于A和P。
过A的PA的垂线、过B的PB的垂线、过C的PC 的垂线交成△XYZ，如图。
按作图方法知道∠APB=120，但∠PBX=∠PAX=90，于是∠X=60，同理∠Y=∠Z=60，则△XYZ是等边三角形。
假定有一个不与P重合的点P'，过P'向这个等边三角形引垂线P'A'、P'B'、P'C'，注意到直角三角形斜边大于直角边，又考虑一下维维亚尼定理(正三角内的点到三边距离之和为定值)，于是P'A +P'B +P'C现在再考虑在△ABC中有一个内角(比如说A)≥120°时，极值点P在哪里．(这时，三角形内没有费马点)如图4－37所示，设P为△ABC内任一点，将△APC 绕A点旋转，使C转到BA延长线上的C′点，P转到P′．这时的旋转角度为18O°-A≤60°，所以PP′≤AP．于是PA+PB+PC≥BP+PP′+P′C≥BC′=AB+AC．上式等号当且仅当P点与A点重合时成立．这就是说，当A≥120°时，极值点P是顶点A．综上可知，当△ABC的每一内角均小于120°时，使PA+PB+PC最小的极值点是三角形的费马点；当有一个内角≥120°时，极值点是最大角的顶点．在物理有一个这样的“最小势能原理”（也称为狄利克雷原理Principle of Dirichlet ）：“一个物体或系统当处于平衡位置时，它的势能是最小。
模型 费马点最值模型(学生版)
模型探究费马点问题思考：如何找一点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？，当B、P、Q、E 四点共线时取得最小值.费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小.2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°.费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值=BP AP CP BP PQ QE BE ++++≥例题精讲【例1】．已知，在△ABC 中，∠ACB ＝30°（1）如图1，当AB ＝AC ＝2，求BC 的值；（2）如图2，当AB ＝AC ，点P 是△ABC 内一点，且PA ＝2，PB ＝，PC ＝3，求∠APC 的度数；（3）如图3，当AC ＝4，AB ＝（CB ＞CA ），点P 是△ABC 内一动点，则PA+PB+PC 的最小值为．变式训练【变式1-1】如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.【变式1-2】．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝．【变式1-3】．如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为______.【例2】.如图，P是边长为2的正方形ABCD内一动点，Q为边BC上一动点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ 的最小值为________变式训练【变式2-1】．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为（）A．3+2B．4+3C．2+2D．10【变式2-2】．如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1+，则这个正方形的边长为．【变式2-3】．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P 到A，B，C三点距离之和的最小值是．1．如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______．2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为．3．如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为公里．4．如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC等于150°，PC＝5，PB＝12，求PA的长．5．将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上，∠ABC ＝30°，点P为平面内一点．（1）∠ACB＝度；（2）如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；（3）AP+BP+CP的最小值为．6．如图1，P是锐角△ABC所在平面上一点．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点．（1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为．（2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为．（3）如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P．7．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．8．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA ＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．9．如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．10．问题提出（1）如图①，已知△OAB中，OB＝3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B′，连接BB′．则BB′＝；问题探究（2）如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q．①求证：△DCQ≌△BCP；②求PA+PB+PC的最小值；问题解决（3）如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）11．【问题情境】如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为．【问题解决】如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【问题解决】如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P 是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）．12．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴为x＝1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形ABOC 并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′．（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长；（3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析式．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP 的长．。
7.最值问题之费马点问题
A
A
E
B
C
B
C
D
A
D
E
P
B
C
B
A E
P C
F
在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接 AP，AP 平分∠DPE． 有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°． 但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是 ∠BAC<120°，若 BAC 120 ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：
如图，以 MG 为边作等边△MGH，连接 NH，则 NH 的值即为所求的点 O 到△MNG 三个顶
点的距离和的最小值．（此处不再证明）
M
H
N
G
过点 H 作 HQ⊥NM 交 NM 延长线于 Q 点，
根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，
∴△MHQ 是等腰直角三角形，
∴MQ=HQ=4，
最小值．至于点 P 的位置？这不重要！
D A
B
C
如何求 BD？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点 D 作 DH⊥BA 交 BA 的延长线于 H 点，根据勾股定理， BD2 = BH 2 + DH 2 即可得出结果．
H
D A
B
C
【练习】如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意 一点，则 MA+MD+ME 的最小值为______．
∴NH= NQ2 + HQ2 = 100 +16 = 2 29 ．
Q 4 M
4 H
6
N
G
【练习】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求 PA+PB+PC 的最小值．
三角形内一点到各顶点距离最短的证明
三角形内一点到各顶点距离最短的证明(费马问题)在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小。
（P称为费马点）这是费马给伽利略的学生和助手托里析利（E. TOrricelli 1608～1647）考虑的一个几何难题。
托里析里在对物体运动，流体力学及大气压力有研究，他发明水银柱气压计，由此证明大气是有压力。
他对费马的这个问题给出了几何解决方法，先来介绍五十多年前一位英国人霍夫曼（J.E. Hofmann）以及匈牙利数学家笛波·伽累依（Tibor Gallai）先后想出同样的一个解决方法。
霍夫曼及伽累依是怎样考虑费马的问题呢？先假设△ABC没有一个角大于120°。
在△ABC内任取一点P，如图，向外作一正△PBP' 与C隔于BP，作正△ABC′与C隔于AB，容易看出，∠1=∠2，A'B=AB，P'B=PB，则△APB≌△A'BP'，进而PA=P'A'。
即PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC。
A'和C是定点，若要使距离和最小，则需要P'P在A'C上。
此时，∠3=180-60=120，则∠4=∠3=120。
同理可证其余各角都是120。
这就导出一则画法：向△ABC外作正△ABA'，作其外接圆交A'C 于P，P就是费马点。
又或者向△ABC外任作两正△,把它的顶点连接相对的三角形顶点,产生的2条连线交点为费马点.以下是托里析利的方法：以AB，AC为边向外作两个正三角形其外接圆交于A和P。
过A的PA的垂线、过B的PB的垂线、过C的PC 的垂线交成△XYZ，如图。
按作图方法知道∠APB=120，但∠PBX=∠PAX=90，于是∠X=60，同理∠Y=∠Z=60，则△XYZ是等边三角形。
假定有一个不与P重合的点P'，过P'向这个等边三角形引垂线P'A'、P'B'、P'C'，注意到直角三角形斜边大于直角边，又考虑一下维维亚尼定理(正三角内的点到三边距离之和为定值)，于是P'A +P'B +P'C现在再考虑在△ABC中有一个内角(比如说A)≥120°时，极值点P在哪里．(这时，三角形内没有费马点)如图4－37所示，设P为△ABC内任一点，将△APC 绕A点旋转，使C转到BA延长线上的C′点，P转到P′．这时的旋转角度为18O°-A≤60°，所以PP′≤AP．于是PA+PB+PC≥BP+PP′+P′C≥BC′=AB+AC．上式等号当且仅当P点与A点重合时成立．这就是说，当A≥120°时，极值点P是顶点A．综上可知，当△ABC的每一内角均小于120°时，使PA+PB+PC最小的极值点是三角形的费马点；当有一个内角≥120°时，极值点是最大角的顶点．在物理有一个这样的“最小势能原理”（也称为狄利克雷原理Principle of Dirichlet ）：“一个物体或系统当处于平衡位置时，它的势能是最小。
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值-求三角形内一点到三个顶点最短值.docx
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3 , BC=4 , AB=5 , P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC 的最小值.AC∖∖ ∖ √∖∖ fVc解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为X轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将△ BPC绕点B逆时钟旋转60°至厶BP'C',连接PP'、CC'、AC'则厶BPP'，△ BCC'均为等边三角形所以PB=PP' ，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'≥AC'而C'（2，-2√3）所以AC'=√[ （0-2）2+ （3+2√3 ）2]= √（25+12√3 ）即PA+PB+PC 的最小值等于AC'的长√ （25+12√3）.2、已知三角形ABC 中，AB=10 , AC=17 , BC=21 , P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC 的最小值.解：过A作AD丄BC于D ,设BC=X ,贝U CD=21-x由勾股定理得AD2=102-x2=172-(21-x ) 2 ,解得x=6 , AD=8 , DC=15以D为坐标原点，BC为X轴，DA为y轴建立坐标系(如图) 则A (0 , 8) B (-6 , 0) C (15 , 0 )以C为旋转中心，将△ CPB绕点C逆时钟旋转60°至厶CP'B',连接PP'、BB'、AB'则厶CPP' , △ CBB'均为等边三角形所以PC=PP' , PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'≥AB'而B' (9/2 , -21√3/2 )所以AB'=√[ (0-9/2 ) 2+ (8+21√3/2 ) 2]= √(415+168√3).即PA+PB+PC 的最小值等于AB'的长√( 415+168√3 ).【补充说明】(1 )如图，以△ ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，贝U(1 ) AD、BE、CF 交于一点P,且∠ APB= ∠ APC= ∠BPC=120 , (2 ) P到A、B、C三顶点距离的和最小，且证明：∙∙∙AF=AB , ∠ FAC= ∠ BAE , AC=AE •••△AFC S ABE∙∙∙ CF=BE同理可证厶BCF S BDA , CF=AD∙∙∙ AD=BE=CF.•••△ AFC s ABE∙∙∙∠ AFC= ∠ ABE∙∙∙∠BPF= ∠ BAF=60 , ∠ BPC=120同理可证∠ APB= ∠ APC=120∙∙∙∠ APB= ∠ APC= ∠ BPC=120至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。
矩形中三顶点到动直线距离和最小
矩形中三顶点到动直线距离和最小矩形是一个常见的几何形状，它有四个顶点和四条边。
在这篇文章中，我们将讨论矩形中三个顶点到动直线的距离和如何最小化。
让我们来了解一下矩形的基本性质。
矩形的对角线相等且平分，这意味着矩形可以被视为两个相等的直角三角形组成。
当我们讨论三个顶点到动直线的距离和时，我们可以考虑两个相邻的顶点和对角线之间的关系。
假设我们有一个矩形ABCD，其中A和B是相邻的顶点，C是对角线的中点。
现在，让我们把一条直线L通过点A，我们要找到使得三个顶点到这条直线的距离和最小的情况。
让我们来考虑点A到直线L的距离。
由于直线L通过点A，所以点A到直线L的距离为0。
接下来，让我们考虑点B到直线L的距离。
由于直线L通过点A，所以点B到直线L的距离等于点B到点A的距离。
同理，点C到直线L的距离等于点C到点A的距离。
现在，我们需要找到一条直线L，使得点B到点A的距离加上点C 到点A的距离最小。
换句话说，我们需要找到一条直线L，使得BC 的长度最小。
根据矩形的性质，对角线AC和BC的长度相等，所以我们只需要找到使得AC的长度最小的直线L。
为了找到使得AC的长度最小的直线L，我们可以考虑直线L与对角线AC的交点。
假设交点为E。
我们需要找到使得AE的长度最小的直线L。
考虑到E是对角线AC的中点，我们可以得出结论：当直线L与对角线AC垂直时，AE的长度最小。
因此，我们可以得出结论：使得三个顶点到动直线的距离和最小的情况是，动直线与矩形的对角线AC垂直。
现在，让我们来证明这个结论。
假设直线L与对角线AC垂直，并且交点为E。
我们可以发现，直线L与矩形的边BC和AD平行。
由于矩形的边BC和AD相等且平行，所以直线L与矩形的边BC和AD的距离相等。
这意味着点B到直线L的距离等于点C到直线L 的距离，使得三个顶点到直线L的距离和最小。
当直线L与矩形的对角线AC垂直时，使得三个顶点到直线L的距离和最小。
这样，我们可以通过调整直线L与矩形的对角线AC的夹角来最小化这个距离和。
矩形中三顶点到动直线距离和最小
矩形中三顶点到动直线距离和最小矩形是数学中常见的几何图形，它具有四条边和四个顶点。
本文将讨论矩形中的三个顶点与一条动直线之间的距离，并探讨如何使这个距离和达到最小。
我们需要明确一些基本概念。
矩形具有两条平行的长边和两条平行的短边，其中长边之间的距离称为矩形的长度，短边之间的距离称为矩形的宽度。
矩形的面积等于长度乘以宽度。
我们假设矩形的长边平行于x轴，短边平行于y轴。
取矩形的一个顶点为原点O，且矩形的长度为a，宽度为b。
现在我们需要找到矩形中的三个顶点，使得它们与动直线的距离和最小。
让我们来考虑动直线与矩形的上边相交的情况。
设动直线的方程为y = mx + c，其中m为斜率，c为截距。
为了求出三个顶点到动直线的距离和，我们可以先求出与动直线相交的矩形上边的交点坐标。
由于矩形的上边平行于x轴，所以交点的y坐标等于矩形的宽度b。
将y = mx + c和y = b代入，我们可以得到交点的x坐标为(x1, b)，其中x1 = (b - c) / m。
接下来，我们需要求出与动直线相交的矩形左上角和右上角的坐标。
左上角的坐标为(x2, a)，其中x2为动直线与矩形的左边的交点的x 坐标。
同样地，右上角的坐标为(x3, a)，其中x3为动直线与矩形的右边的交点的x坐标。
通过求解动直线与矩形的两个边的交点，我们可以得到三个顶点的坐标。
假设动直线与矩形的左边和右边的交点分别为A和B，则左上角的坐标为(x2, a) = (x2, 0) + (0, a) = A + (0, a)，右上角的坐标为(x3, a) = (x3, 0) + (0, a) = B + (0, a)。
现在，我们需要计算三个顶点到动直线的距离。
设A、B和C分别表示三个顶点的坐标。
由于动直线的方程为y = mx + c，所以动直线到点A的距离为dA = |mA + c - A.y| / √(m^2 + 1)，动直线到点B的距离为dB = |mB + c - B.y| / √(m^2 + 1)，动直线到点C 的距离为dC = |mC + c - C.y| / √(m^2 + 1)。
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三角形平面上到三个顶点距离之和最小问题
△ABC平面上到三个顶点距离之和PA+PB+PC最小的P点，必满足：
（1）当△ABC最大内角小于120°时，则P满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°；
P点寻找方法在△ABC外作正三角形△ABD和△AEC，这两个正三角形的外接圆交点就是所求之点P（事实上该点也恰好是直线BE和CD的交点）。
（2）当△ABC最大内角不小于120°时，最大角的顶点就是使到三个顶点距离之和
PA+PB+PC最小的P点。
【证明】这里首先我们看三个基本结论：
（一）若A、B为直线MN同侧两点，直线MN上使PA+PB最小的P点满足满足光学反射原理（费尔马反射定律）：入射角=反射角。
（如果是加权的问题：直线MN上使 a PA+ b PB 最小的P点满足满足光学折射原理（费尔马折射定律）
（二）椭圆的光学性质：椭圆某焦点A处发出的光线经椭圆周任一点P“反射”后，必到达另一个焦点B，
（三）P点必在△ABC形内（包括边界），不可能在形外。
若P在形外：
①P到离它最近一条边的投影点不在这条边内。
比如下图，当然是不合适的。
取A为P 就更好，PB+PC＞AB+AC，PA+PB+PC＞0(即AA)+AB+AC。
②P到离它最近一条边的投影点在这条边上（可以是端点），例如下图P在AB上的投影P'在AB上，则
PA＞P'A，PB+PC＞P'B+P'C ⇒ PA+PB+PC＞P'A+P'B+P'C。
现在，着手证明。
（1）假如△ABC最大内角小于120°，为证明∠BPC=∠CPA=∠APB=120°，我们就先来证明
∠APB=∠APC。
当PB+PC值确定时，P点在以B、C为焦点的椭圆上，在椭圆上使PA最小的Ｐ点应该使PA垂直于椭圆在P点处的切线MN（即：就是圆A与椭圆相切于P），根据椭圆的光学性质，必有∠APB=∠APC。
（更充分的理由是反证法，任取另一点P2，显然AP＜AP2，而PB+PC=P2B+P2C，所以PA+PB+PC＜P2A+P2B+P2C）
或者在PA为定值时，P点在以A为圆心的圆上，为使PB+PC最小，P必然在以B、C 为焦点且与圆A相切的椭圆上，则∠APB=∠APC。
否则在圆A上任取另一点P1，显然
P1B+P1C＞QB+QC=PB+PC，由于P1A=PA，所以
P1A+P1B+P1C＞PA+PB+PC。
（2）当△ABC最大内角不小于120°时，因为有前述理由，点P不可能在△ABC的形外。
但是最大内角不小于120°，例如∠A≥120°，那么△ABC的形内的P点，都有∠BPC＞∠A，即∠BPC＞120°，
所以满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°也不存在。
P点既不在形外，也不在形内，那么只能在边界上，易知最大角的顶点，就是使PA+PB+PC最小的P点位置的最佳选择。