三个顶点距离之和最小问题

三角形平面上到三个顶点距离之和最小问题

△ABC平面上到三个顶点距离之和PA+PB+PC最小的P点，必满足：

（1）当△ABC最大内角小于120°时，则P满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°；

P点寻找方法在△ABC外作正三角形△ABD和△AEC，这两个正三角形的外接圆交点就是所求之点P（事实上该点也恰好是直线BE和CD的交点）。

（2）当△ABC最大内角不小于120°时，最大角的顶点就是使到三个顶点距离之和

PA+PB+PC最小的P点。

【证明】这里首先我们看三个基本结论：

（一）若A、B为直线MN同侧两点，直线MN上使PA+PB最小的P点满足满足光学反射原理（费尔马反射定律）：入射角=反射角。（如果是加权的问题：直线MN上使 a PA+ b PB 最小的P点满足满足光学折射原理（费尔马折射定律）

（二）椭圆的光学性质：椭圆某焦点A处发出的光线经椭圆周任一点P“反射”后，必到达另一个焦点B，

（三）P点必在△ABC形内（包括边界），不可能在形外。若P在形外：

①P到离它最近一条边的投影点不在这条边内。比如下图，当然是不合适的。取A为P 就更好，PB+PC＞AB+AC，PA+PB+PC＞0(即AA)+AB+AC。

②P到离它最近一条边的投影点在这条边上（可以是端点），例如下图P在AB上的投影P'在AB上，则

PA＞P'A，PB+PC＞P'B+P'C ⇒ PA+PB+PC＞P'A+P'B+P'C。

现在，着手证明。

（1）假如△ABC最大内角小于120°，为证明∠BPC=∠CPA=∠APB=120°，我们就先来证明

∠APB=∠APC。

当PB+PC值确定时，P点在以B、C为焦点的椭圆上，在椭圆上使PA最小的Ｐ点应该使PA垂直于椭圆在P点处的切线MN（即：就是圆A与椭圆相切于P），根据椭圆的光学性质，必有∠APB=∠APC。（更充分的理由是反证法，任取另一点P2，显然AP＜AP2，而PB+PC=P2B+P2C，所以PA+PB+PC＜P2A+P2B+P2C）

或者在PA为定值时，P点在以A为圆心的圆上，为使PB+PC最小，P必然在以B、C 为焦点且与圆A相切的椭圆上，则∠APB=∠APC。否则在圆A上任取另一点P1，显然

P1B+P1C＞QB+QC=PB+PC，由于P1A=PA，所以

P1A+P1B+P1C＞PA+PB+PC。

（2）当△ABC最大内角不小于120°时，因为有前述理由，点P不可能在△ABC的形外。但是最大内角不小于120°，例如∠A≥120°，那么△ABC的形内的P点，都有∠BPC＞∠A，即∠BPC＞120°，

所以满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°也不存在。

P点既不在形外，也不在形内，那么只能在边界上，易知最大角的顶点，就是使PA+PB+PC最小的P点位置的最佳选择。