梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法

梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法
（参见：神经网络->PGM-ANN-2009-C09性能优化）
优化的目的是求出目标函数的最大值点或者最小值点，这里讨论的是迭代的方法
梯度下降法
首先，给定一个初始猜测值 ，然后按照等式
k k k k ΡαΧ+=X +1 （1）
或
k
k k k k P =X -X =∆X +α)(1 （2）
逐步修改猜测。

这里向量 k
P 代表一个搜索方向，一个大于零的纯量
k
α 为学习
速度，它确定了学习步长。

当用 k k k k ΡαΧ+=X +1 进行最优点迭代时，函数应该在每次迭代时都减小，即
)
()(1k k F F X <X +
考虑
（3）
的)(X F 在k X 的一阶泰勒级数展开：
k
T
k k k k k g F F F ∆X +X ≈∆X +X =X +)()()(1
（4）
其中，T
k g 为在旧猜测值k X 处的梯度
k
F g k X =X X ∇≡)( （5） 要使
)
()(1k k F F X <X +
只需要（4）中右端第二项小于0，即
<P =∆X k T k
k k T k g g α （6）
选择较小的正数k α。

这就隐含0<k T
k P g 。

满足0<k T
k P g 的任意向量成为一个下降方向。

如果沿着此方向取足够小步长，函数一
定递减。

并且，最速下降的情况发生在k T k P g 最小的时候，容易知道，当k k -g P =时k T
k P g 最小，此时，方向向量与梯度方向相反。

在（1）式中，令k k -g P =，则有
k k k k g αΧ-=X +1 （7）
对于式（7）中学习速率k α的选取通常有两种方法：一种是选择固定的学习速率k α，另一种方法是使基于学习速率k α的性能指数或目标函数)(1k +X F 在每次迭代中最小化，即沿着梯度反方向实现最小化：k k k k g X X α-=+1。

注意：
1、对于较小的学习速度最速下降轨迹的路径总是与轮廓线正交，这是因为梯度与轮廓线总是正交的。

2、如果改变学习速度，学习速度太大，算法会变得不稳定，振荡不会衰减，反而会增大。

3、稳定的学习速率
对于任意函数，确定最大可行的学习速度是不可能的，但对于二次函数，可以确定一个上界。

令特征函数为：
c X
d AX X F T T
++=
2
1)x ( （8）
那么梯度为 d AX X F +=∇)( 代入最速下降法公式（7）中
d a X A a I d AX a X g a X X k k k k k k k k k k --=+-=-=+）（)(1 （9）
在动态系统中，如果矩阵][aA I -的特征值小于1，则该系统是稳定的。

可用赫森矩阵
A 的特征值来表示该矩阵的特征值，假设A 的特征值和特征向量分别为{}n 21λλλ ，
，和{}n z z z ,,21，那么
[]i i i z a I z aA I )(λ-=- （10）
于是，最速下降法的稳定条件为
1<-i a I λ （11） 如果二次函数有一个强极小点，则其特征值为正数，上式可以化为i
a λ2
<
由于该式对于赫森矩阵的所有特征值都成立则 m ax
2
λ<
a （12）
分析：最大的稳定学习速度与二次函数的最大的曲率成反比。

曲率说明梯度变化的快慢。

如果梯度变化太快，可能会导致跳过极小点，进而使新的迭代点的梯度的值大于原迭代点的梯度的值（但方向相反）。

这会导致每次迭代的步长增大。

4、沿直线最小化 选择学习速率的另一种方法是k a 使得每次迭代的性能指数最小化，即选择k a 使得下式最小： )(k k k P a X F +
对任意函数的这种最小化需要线性搜索。

对二次函数解析线性最小化是可能的。

上式对k a 的导数为：
k X X T k k k X X T k k k k
P X F P a P X F P a X F da d
k k ==∇+∇=+|)(|)()(2 （13） 令式（13）导数为零求得 T
k k k k
T k k X X T k X X T k P A P P g P X F P P X F a k
k k -=∇∇-
===|)(|)(2 （14） 这里k A 为k X 的赫森矩阵：k X X k X F A =∇=|)(2
牛顿法
牛顿法基于二阶泰勒级数：
k k T
k k T k k k k k X A X X g X F X X F X F ∆∆+∆+≈∆+=+2
1)()()(1 （15）
牛顿法的原理是求)(X F 的二次近似的驻点，求这个二次函数对k X ∆的梯度并令它等于0，则有
0=∆+k k k X A g （16） 解得： k T
g A X k -=∆k
于是，牛顿法定义为 k k k g A X X 1
1k -+-= （17）
注意：牛顿法总是用一个二次函数逼近)(X F ,然后求其驻点，因此此方法总能够一步找到二次函数的极小点，如果原函数为二次函数（有强极小点），它就能够实现一步极小化
如果)(X F 不是二次函数，则牛顿法一般不能在一步内收敛，是否收敛取决于具体的函数和初始点
尽管牛顿法的收敛速度通常比最速下降法快，但其表现很复杂，除了收敛到鞍点的问题外，算法还可能震荡和发散，如果学习速率不太快或每步都实现线性极小化，最速下降法能保证收敛
牛顿法的另一个问题是需要对赫森矩阵及其逆阵的计算和存储 共轭梯度法
牛顿法有一个性质成为二次终结法（quadratic temination ），即它能在有限迭代次数内使得二次函数极小化，但这需要计算和存储二阶导数，当参数个数很大时，计算所有二阶导数是很困难的。

假定对下述二次函数确定极小点：
c X
d AX X F T T
++=
2
1)x ( （18）
当且仅当j k AP P j T
k ≠=,0时，称向量集合{}k P 对于一个正定赫森矩阵A 两两共轭。

因为对称矩阵的特征向量是两两正交的。

已经证明，如果存在沿着一个共轭方向集{}
,,2,1n P P P 的精确线性搜索序列，就能够在最多n 此搜索内实现具有n 个参数的二次函数的精确极小化。

注意到对于二次函数，有
A
X F d AX X F =∇+=∇)()(2 （19）
由于k k k k X A g g g ∆=-=∆+1，又有k k k k k P a X X X =-=∆+)(1，选择k a 使函数)(X F 在k P 方向上极小化，则共轭条件可重写称
j k P g AP X AP P a j T
k j T
k j T
k k ≠=∆=∆=,0 （20） 注意，第一次搜索方向0P 是任意的，而1P 是与0g ∆垂直的任意向量。

所以共轭向量集的数量是无限的。

通常从最速下降法的方向开始搜索：00g P -=
每次迭代都要构造一个与{}n g g g ∆∆∆ ,,10正交的向量k P 。

可以将迭代形式简化为 1-+-=k k k k P g P β （21） 通常选择
1
-1-k T
k
T k P g g g k k ∆∆=
β或1
-1-k T
k T k g g g g k k =
β或1
-1-1-k T
k
T k g g g g k k ∆=
β
综上，算法可以归纳为：
1、选择如00g P -=的与梯度相反的方向作为第一次搜索方向
2、根据k k k k k P a X X X =-=∆++)(11进行下一步搜索，确定k a 以使函数沿搜索方向极小化
3、根据k k k k P g P 111++++-=β确定下一个搜索方向，计算1+k β
4、如果算法不收敛，回到第2步
算法比较
梯度下降法形式简单，一般情况下都能够保证收敛，但是收敛速度慢 牛顿法对于二次目标函数收敛速度快，但是不能够保证收敛，而且需要对赫森矩阵及其逆阵的计算和存储
共轭梯度法结合了前面两种方法的性质，收敛速度快，不需要对赫森矩阵及其逆阵的计算和存储，但是形式比前两者复杂。