自动控制原理第三章一控制系统的时域分析

响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统
的特征。
wn 1 2
e w nt
s in(w n
1 2t)
1
e ( 2 1)wnt
e ( 2 1)wnt
c(t) 1
(
)
2 2 1 2 1 2 1
由式(3.31)，对于欠阻尼情况(0<
<1)，有
(3.32)
c(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
wn 1 2
s (K 1) /
(3.8)
取C(s)的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为
c(t) K K e(K 1) t / K 1 K 1
系统响应如图3-9所示。 从图中看出，响应的稳态值为
c() K K 1
(3.9) (3.10)
图3-9 一阶系统的单位阶跃响应
若增加放大器增益K，可使稳态值近似为1。实际上，由 于放大器的内部噪声随增益的增加而增大，K不可能为无穷 大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。 所以，系统的稳态误差
e() lim e(t) lim[r(t) c(t)] 1 c() 1 (3.11)
t
t
K 1
不可能为零。 系统的时间常数为
T
K 1
(3.12)
它可定义为系统响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。
由式(3.9)，很容易找到系统输出值与时间常数T的对应关系：
t = T， c(1T) = 0.632 c(∞) t = 2T， c(2T) = 0.865c(∞) t = 3T， c(3T) = 0.950c(∞) t = 4T， c(4T) = 0.982c(∞)
w n (s w n )2
wd2
若 =０(wd=wn)，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共
轭虚根，即
s1,2= ±jwn
此时单位阶跃响应为
GB
(s)
s2
w
2 n
2w n s
w
2 n
(3.22)
sa
(s a)2 w 2
eat coswt
c(t) 1 cos wnt
(3.23)
它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡
e wnt
sin w n
1 2t
对于临界阻尼情况( ＝１)，有
c(t)
wn
[e
(c(t)
=
2w12n)wtnte-wn
当输入信号为单位脉冲信号d (t)，即R(s)=１时，二阶系
统单位脉冲响应的拉氏变换为
C(s)
GB (s)R(s)
s2
w
2 n
2w n s
w
2 n
(3.30)
对式(3.30)求拉氏反变换，得
c(t)
L1[GB (s)]
L1[ s2
w
2 n
2w n s
w
2 n
]
(3.31)
可见，系统传递函数的拉氏反变换就是系统的单位脉冲
单位阶跃信号r(t)=1(t)时，
系统输出的拉氏变换为
C(s)
1 s
s w n (s w n )2 w d 2
w n (s w n )2
wd2
£(3-1.1[9(s)
s wn wn )2
wd
2
]
ew nt
cos w d t
对式£统(的-13[.单1(s9位)求阶拉跃w氏wn响反)d应2 变c(换wt)：，d 2则] 得 系ewnt
1. 直接求解法 2. 间接评价法 3. 计算机仿真法 本小节首先讨论典型输入信号、性能指标等内容，然 后讨论一阶、二阶系统的瞬态响应，最后讨论如何处理高阶 系统的瞬态响应问题。
一、典型输入信号 （一）阶跃信号
阶跃信号的表达式为：
A
t 0
r (t ) 0
t 0
(3.1)
当A=1时，则称为单位阶跃信号，常用1(t)表示，如图3-1 所示。
GB (s)
1 Kc
s2
1/ TaTm 1 s
1
1
w
2 n
Kc
s2
2w
ns
w
2 n
Ta TaTm
wn 1
TaTm
1
2w nTa
1 2
Tm Ta
由式(3.14)描述的系统特征方程为
s2
2w n s
w
2 n
0
GB (s)
s2
w
2 n
2w n s
w
2 n
(3.15)
这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为
c(t) 1
1
e ( (
2 1)wnt
e (
2 1)wnt
)
2 2 1 2 1 2 1
(3.29)
图3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。
显然响应曲线无超调，而且过程拖得比 =１时来得长。
(a)根分布
(b)
图3-13 过阻尼情况(z >1)
0< <1，称为欠阻尼情况
d (t )dt 1
(3.5)
（五）正弦信号
正弦信号的表达式为 :
r (t )
A 0
sin
w
t
t 0 t 0 （3.6）
其中A为幅值，w =2p/T为角频率。
图3-5 正弦信号
二、系统的性能指标
系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下， 对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量，如图3-6所示。
图
>1，称为过阻尼情况
3
＝1，称为临界阻尼情况
-
14
＝0，称为无阻尼
二 阶 系 统 单 位 阶 跃 响 应
根据以上分析，可得不同值下的二阶系统单位阶跃响应 曲线族,如图3-14所示。由图可见，在一定值下,欠阻尼系统
比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计
成欠阻尼系统。
（三）二阶系统的脉冲响应
w
2 n
(s w n jw d )(s w n jw d )
它有一对共轭复数根
s1,2 w n jw d
(3.17) (3.18)
式中 wd wn 1 2 称为有阻尼振荡频率。
C(s)
w
2 n
s(s 2
2w
ns
w
2 n
)
0 s
1s 2
(s wn )2 wd 2
在初始条件为零，输入信号为
线的包络线）衰减，两者均由参数和wn决定。
(a)根分布
(b)
图3-11 欠阻尼情况(0< <1)
系统的误差则为
e(t) r(t) c(t)
1
1
2
e wnt
sin(w n
1 2 t arctan
当t→∞时，稳态误差e (∞)＝０。
1 2
)
(t 0)
(3.21)
C(s)
1 s
s w n (s w n )2 w d 2
频率wn 。当系统有一定阻尼时，wd总是小于wn 。
2.
=１，称为临界阻尼情况
GB
此时系统有两个相等的实数特征根：
(s)
s2
w
2 n
2w n s
w
2 n
s1= s 2= -wn
(3.24)
系统输出的拉氏变换为
1 (s a)2
te at
C(s)
w
2 n
1 wn 1
s(s wn )2 s (s wn )2 s wn
这时瞬态响应的性能指标有：
1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量sp＝ c(t p ) c() 100%
c()
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，
称为延滞时间。
图3-6
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
w
2 n
由上式可看出， 和wn是决定
二阶系统动态特性的两个非常重
要参数，其中 称为阻尼比，wn
称为无阻尼自然振荡频率.
图3-10 二阶系统
例如图2-2中R-Ｌ-Ｃ电路，其传递函数为
GB (s)
U0 (s) U r (s)
LCs2
1 RCs
1
GB (s)
s2
1/ LC Rs
1
s2
w
2 n
2w n s
sin wdt
e(s)
r(s)
c(s)
C(t) 1 ewnt (coswdt
12
sin1w/ sdt)w 2
/[s(s2
as
w 2 )]
1
e w nt (
1 2
1
2
coswd t
sin
wd te)()
lim
s 0
se(s)
11
0
它是一衰减的振荡过程，如图3-11所示，其振荡频率 就是有阻尼振荡频率wd，而其幅值则按指数曲线（响应曲
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义 为峰值时间。
5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定 义为调整时间。
图3-6 单位阶跃响应
返回
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
从中可以看出，响应曲线在经过3T（5%误差）或4T（2%误差） 的时间后进入稳态。
c(t) K K e(K 1) t / K 1 K 1
如果系统响应曲线以初始速率继续增加，如图3-9中
的c1(t)所示，T还可定义为c1(t)曲线达到稳态值所需要
的时间。
dc(t) dt
t 0
K e (K 1)t /
图3-8 一阶控制系统
该一阶系统的闭环传递函数为
GB (s)
C(s) R(s)
1
K
s
K
s
K / (K 1) /
(3.7)
当系统输入为单位阶跃信号时，即r(t)=1(t)或R(s)=1/s，输 出响应的拉氏变换为
C(s)
s
K / (K 1) /
1 s
K
/(K s
1)
K /(K 1)
(3.25)
取C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶 跃响应为
c(t) 1 e wnt (1 w nt)
(3.26)
响应曲线如图3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单 调的响应过程。
(a)根分布
(b)
图3-12 临界阻尼情况(z ＝1)
3. ＞１，称为过阻尼情况 当阻尼比 ＞１时，系统有两个不相等的实数根：
动输入为主要输入，所以常以系统对单位扰动输入信号时的 响应特性来衡量瞬态性能。这时参考输入不变、输出的希望 值不变，响应曲线围绕原来工作状态上下波动，如图3-7所 示。
三、瞬态响应分析
（一）一阶系统的瞬态响应
可用一阶微分方程描述其 动态过程的系统，称为一 阶系统。考虑如图3-8所示
的一阶系统，它代表一个电 机的速度控制系统，其中t 是电机的时间常数。
图3-1 阶跃信号
图3-2 斜坡信号
（二）斜坡信号
斜坡信号在t =0时为零，并随时间线性增加，所以也叫等
速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导 数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为：
At t 0
r(t) 0
t 0
(3.2)
（三）抛物线信号
抛物线信号也叫等加速度信号，它可以通过对斜坡信号 的积分而得。抛物线信号的表达式为：
s1,2 ( 2 1)wn 对于单位阶跃输入，C(s)为
(3.27)
C(s) 1 [2 2 1(
2 1)]1 [2 2 1(
2 1)]1
(3.28)
s
s ( 2 1)w n
s ( 2 1)w n
将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单 位阶跃响应为
第三章 控制系统的时域分析 法
第三章 控制系统的时域分析法
第一节 第二节 第三节 第四节
二阶系统的瞬态响应及性能指标 增加零极点对二阶系统响应的影响 反馈控制系统的稳态误差 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起， 到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应， 可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态 响应，有以下方法：
r(t
)
1 2
At2
t 0
0
t0
（3.3）
当A =1时，则称为单位抛物线信号，如图3-3所示
（四）脉冲信号
单位脉冲信号的表达式为：
1
r(t) e
0
0t e t 0及t e
(3.4)
其图形如图3-4所示。是一宽度为e ，高度为1／e 的矩形 脉冲，当e 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦称d(t) 函数)。
s1 w n wn 2 1 s2 w n wn 2 1
(3.16)
显然，阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也 就不同。
下面分别对二阶系统在0< <1， =1，和 >1三种情
况下的阶跃响应进行讨论。
1. 0< <1，称为欠阻尼情况
按式(3.14)，系统传递函数可写为
GB(s)=
t 0
K
(3.13)
因此
，
c1 (t)
K
t
当t= T时，c1(t)曲线到达稳态值，即
c1 (T )
K
T
K K 1
T
K 1
（二）二阶系统的阶跃响应
在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似 或降阶为二阶系统处理。
图3-10是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数 为
GB
(s)
s2
w
2 n
2w n s
w
2 n
L LC
式中，无阻尼自然振荡频率 w n 1 1
LC T1T2
就是电路当R=0时的谐振频率；阻尼比
R/L
2w n
R 2
C L
1
2w nT1
1 2
T2 T1
又如图2-3中电枢控制的直流电动机，输出w 与电枢电 压ua之间传递函数为
GB
(s)
1/ Kc TaTm s 2 Tm s
1
或
式中