圆锥曲线简化计算技巧

圆锥曲线计算技巧

——整理自有道精品课关旭老师公开课“新高三圆锥曲线专项”给定一个椭圆和一条直线：

椭圆方程：x 2

a2+y2

b2

=1

直线方程：y=kx+b

一般做法：1)联立方程组

x2

a2+

y2

b2

=1

y=kx+b 2)将直线方程带入椭圆方程中

x2 a2+

(kx+m)2

b2

=1

3)通分

(b2+a2k2)+2a2kmx+a2m2−a2b2=0 4)求判别式

Δ=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)

5)当Δ>0，用韦达定理求x

1+x

2

,x

1

x

2

x 1+x

2

=2a2km

b2+a2k2

x

1

x

2

= a

2m2−a2b2

b2+a2k2

上面的运算数不是有点复杂呢，那接着往下看看关旭老师提供的计算技巧吧：

巧运算

1)联立方程组

x2

a2+

y2

b2

=1

y=kx+b 2)将直线方程带入椭圆方程中

x2 a2+

(kx+m)2

b2

=1不用通分！

上式可换做：

(1

a2+

k2

b2

)x2+

2km

b2

x+

m2

b2

−1=0

记x2的系数为A,x的系数为B,常数项为C 则上式可记为：Ax2+Bx+C=0

3)求判别式

Δ=（2km/b2）2-4(1/a2+k2/b2)(m2/b2-1)=-4m2/a2b2-4/a2+4k2/b2

这个式子展开后有五项，然而有两项是可以消掉的，所以只剩三项。

4)当Δ>0，用韦达定理求x

1+x

2

,x

1

x

2

x 1+x

2

=−B

A

x

1

x

2

= C

A

（这样子运算是不是简单了很多呢！）

此外，常用的两个结论还有：

一、直线交椭圆的弦长：L=√1+k2√Δ

|A|

（因为只要联立了方程组，就一定要求判别式，将判别式代入这个式子求弦长会比一般做法简单很多）

二、

y

1+y

2

=k(x

1

+x

2

)+2m

y

1y

2

=k2x

1

x

2

+km(x

1

+x

2

)+m2

用此方法可大幅节省运算时间，圆锥曲线是不是简单了不少呢？

这里给出了两道非常简单的例题，快用简洁的方法算一算吧。

1、.若椭圆与直线y=2x+5相切，求椭圆方程。

2、.若直线y=kx+与椭圆．交于不同的两点A、B，O为坐标原点，且•>2，求k的取值范围？

答案:1.a=9

2. 1/4

整理人：王康月

备注：数学公式真的好难输入QAQ,有点担心排版的时候公式复制过去会乱，所以把那些数学式子截成了小图片附在这里：