同济高等数学第三章第一节课件
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55同济大学第六版高数第3章1PPT课件
C
Y f (x)
M
B
KAB f(b)f(a) F(b)FF(x)
D
X F(2)F(b)
弦 A:Y B f(a )f(b ) f(a )[X F (a )] F (b ) F (a )
一个小于1 的正实根 证 设 f(x ) x 5 5 x 1 ,则f(x)在 [0,1]连,续
且 f(0 ) 1 ,f( 1 ) 3 .
x0(0,1)使 , f(x0)0即为方程的小于1的正实根. 设x 1 另 (0 ,1 )x 有 1 , x 0 ,使 f(x1)0. 0x 0x 1 1 f(x)在x0,x1之间满足罗尔定 件, 理的条 至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个 f得 ()0.
第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
预备知识
y
① f( )lim f( x )f( )
x 0
x
②f()表示曲y线 f(x)
在x处 切 线 的 斜 率o
y=f(x)
x
1
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理
若函数 f(x)满足
y
C
1 在闭 [a ,b 区 ]上间 连续
A
yf(x)
B
2在开 (a,b 区 )内间 可导
D
3 f(a )f(b )
oa
2 b x
则在 (a,b)内至少有一点(几何解释） 使f()0
2
证：f(x)在 [a,b]连,续 必有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0.
(a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a)f(b), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a), 则(在 a,b)内至少存 使 f(在 )M 一 . 点 f( x ) f( ) 0,
同济大学线性代数课件__第三章[1]
![同济大学线性代数课件__第三章[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/6462c629a55177232f60ddccda38376baf1fe0db.png)
矩阵的等价关系满足：
(i) 反身性 A ～ A ； (ii) 对称性 若A ～ B ，则B ～ A ； (iii) 传递性 若A ～ B ， B ～ C ，则A ～ C 。
2021/10/10
9
线性方程组 2x1 x2 x3 x4 2, ①
x1
4 x1
x2 6x2
2 x3 2 x3
0
00
0
0
00 4
∴ R(B) = 3
2021/10/10
36
定理 3 若A ~ B, 则 R(A) = R(B) .
事实上，若 A 经过一次初等变换变为 B，A的 k 阶子式全等于零, 则 B的 k 阶子式也全等于零。
(1) A ri rj B
(2) A r i k B (3) A ri krj B
2 3 4
5 1 3
1
r2 2r1 r3 3r1
0 0
2 2 2
3 5 6
2 1 2
5 9 12
1
r1 r2 r3 r2
0 0
0 2 0
2 5 1
1 1 1
4 9 3
r12r3 r2 5r3
1 0 0
0 2 0
0 0 1
3 4 1
2 6 3
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第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
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17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
1
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1
E(i, j(k))
1 k
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1
(i) 反身性 A ～ A ； (ii) 对称性 若A ～ B ，则B ～ A ； (iii) 传递性 若A ～ B ， B ～ C ，则A ～ C 。
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线性方程组 2x1 x2 x3 x4 2, ①
x1
4 x1
x2 6x2
2 x3 2 x3
0
00
0
0
00 4
∴ R(B) = 3
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定理 3 若A ~ B, 则 R(A) = R(B) .
事实上，若 A 经过一次初等变换变为 B，A的 k 阶子式全等于零, 则 B的 k 阶子式也全等于零。
(1) A ri rj B
(2) A r i k B (3) A ri krj B
2 3 4
5 1 3
1
r2 2r1 r3 3r1
0 0
2 2 2
3 5 6
2 1 2
5 9 12
1
r1 r2 r3 r2
0 0
0 2 0
2 5 1
1 1 1
4 9 3
r12r3 r2 5r3
1 0 0
0 2 0
0 0 1
3 4 1
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1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
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1
E(i(k))
k
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1
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E(i, j(k))
1 k
第i行
1
同济第三版高数(3.1)第一节中值定理同济第三版高数资料
使得曲线在该点处的
M y f x , x a, b
斜率和弦 AB 的斜率
相等，即
f b
f
f b f a ba
.
f a
m
O a 1
2 b x
(2) 拉格朗日中值定理的推论 定理 拉格朗日中值定理推论
若函数 f( x )在闭区间 I 上的导数恒为零，则 f( x ) 在 I 上必为常数。
f( x ) 常数 对 x 1 ,x 2 I 有 f( x2 )- f( x1 ) 0 . 所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题， 而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格郎日中值 定理进行讨论。
以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点 处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性 质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分 学理论。
微分学理论的核心由几个中值定理构成， 它包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中 值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理。这些 定理揭示了函数在一个区间上的性质与该区间 内某点的导数间的联系。由它们可以导出一系 列重要定理，使得微分学在更广泛的范围内起 着重要的作用。
• 证明不等式及恒等式 不等式的证明通常是比较困难的，其原因在于证明
不等式的方法虽很多，但各种方法通常都不具一般性， 每一种方法一般仅适用于某些特定的情形。
利用拉格朗日中值定理可以证明某些具有对称形式 的不等式，它们可归结为如下形式：
K1( b - a ) f( b )- f( a ) K2( b - a ).
几何特征:函数在区间上非单调。
代数条件:函数在区间上有等值点。
这
M
样 的
曲
线
y f x
弧
没
f a
M y f x , x a, b
斜率和弦 AB 的斜率
相等，即
f b
f
f b f a ba
.
f a
m
O a 1
2 b x
(2) 拉格朗日中值定理的推论 定理 拉格朗日中值定理推论
若函数 f( x )在闭区间 I 上的导数恒为零，则 f( x ) 在 I 上必为常数。
f( x ) 常数 对 x 1 ,x 2 I 有 f( x2 )- f( x1 ) 0 . 所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题， 而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格郎日中值 定理进行讨论。
以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点 处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性 质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分 学理论。
微分学理论的核心由几个中值定理构成， 它包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中 值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理。这些 定理揭示了函数在一个区间上的性质与该区间 内某点的导数间的联系。由它们可以导出一系 列重要定理，使得微分学在更广泛的范围内起 着重要的作用。
• 证明不等式及恒等式 不等式的证明通常是比较困难的，其原因在于证明
不等式的方法虽很多，但各种方法通常都不具一般性， 每一种方法一般仅适用于某些特定的情形。
利用拉格朗日中值定理可以证明某些具有对称形式 的不等式，它们可归结为如下形式：
K1( b - a ) f( b )- f( a ) K2( b - a ).
几何特征:函数在区间上非单调。
代数条件:函数在区间上有等值点。
这
M
样 的
曲
线
y f x
弧
没
f a
同济大学 高等数学 课件 3.1
1 x
2
的一个原函数；
由于
ln x 1 , x 0, ln x x ln x 1 1 1 , x 0, ln x x x 1, ln x x 1 所以 ln x 是 在 ,0 0, 的一个原函数； x
x 1
3
例5 解
求积分
先将
3
x 1
3
3
x 1 展开，然后再利用积分公式及运算法,
3
x
3
dx.
x 3 3 x2 3 3 x 1 dx x dx x 1 1 1 1 x 2 3x 6 3x 6 x 2 dx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 6 1 1 6 x 3 x 3 x x 2 C. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 6 2
1 4 2 x x 1 dx 2 1 x
x x x arctan x C. 5 3
5
3
例11 求积分 tan x dx.
2
sec2 x tan 2 x 1, 解 利用三角公式
tan 2 x dx sec 2 x 1 dx
10 sec x tan x dx sec x C 11 csc x cot x dx csc x C.
12
dx
2
1 x dx 13 2 arctan x C. 1 x
arcsin x C.
14 sinh xdx cosh x C. 15 cosh xdx sinh x C.
同济版 高等数学(上册) 第三章课件1
f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号 称为 积分号 , 称 f x 为 被积函数 , f x dx 称为 被积表达
6
二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号 表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3
9
二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解 当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章 一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为 在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为 在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.
《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)
第六节
第三章
函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
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6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
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2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(
第三章
函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
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6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
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2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(
同济大学高等数学§3.1定积分的概念与性质
。
y f (x)
3．若
f
( x)C[a,b]，且 f ( x)
有正有负时，则
b a
f ( x)dx
等于由连续曲线 y f ( x) ，直线 x a ， xb 及 x 轴 所
围成的几个曲边梯形面积的代数和，在 x 轴 上方的面积
取正号，在 x 轴 下方的面积取负号。
y
A1
ao
y f (x)
A2
A3
b
∴ f ( x) 在[0，1]上单增， f ( x) f (0)0 ，
即 xln (1 x)0 ，故 xln(1 x) 。
∴由性质 5 知
1 xdx
0
1
ln(1
0
x
)dx
。
例
4．证明不等式
2 4e
2
e
x
2
x
dx
2e
2
。
0
证：设 f (x) ex2x ，则 f (x)C[0, 2] 。
f ( x)(2x 1)e x 2 x ，令 f ( x)0 ，得驻点x 1 ，
b
f
() a
f ( x)g( x)dx
b
a g( x)dx
，即
b a
f
( x)g( x)dx
f
()
b a
g(
x)dx
。
推论：若 f ( x)C[a,b]，则 [a,b] ，使得
b a
f
(
x)dx
f
()(ba)
。
在[a, b] 上以连续曲线
y
y f ( x) 为曲边的曲边梯 形面积等于以区间[a, b] f ()
x
b
第一课同济第六版高数第3章课件1
f (b) f (a) f (). ba
注： 当 F ( x) x, F(b) F(a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F(b) F(a) F()
F(x) x f (b) f (a) ba
f (a) f (b)
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
例3 证明当 x 0 时, x ln(1 x) x. 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t),
∵ f(t) 在[0,x]连续，在(0,x)可导，
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0. 0 x0 x1 1 f ( x) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
f ( x) f () 0,
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0;
x
f()
lim f ( x) f () 0;
x0
x
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0;
x
f()
lim x0
f
(
x) x
f ()
0;
f ()存在,
f() f() f (),
f () 0.
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有 一个小于1 的正实根
证 设 f ( x) x5 5 x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续, 且 f (0) 1, f (1) 3.
高等数学 第一节 微分中值定理
f ( x )
1 1 x
2
1 1 x
2
0
在 ( 1, 1 ) 内成立 .
所以 f ( x ) 在 ( 1, 1 ) 内取常数 c .
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 所以 c . 2 2 2 又 f ( 1) , 2 2 f ( 1) 0 . 2 2
2 2 为求 , 需解方程 cos x 2 . 1 sin x 2
9
设 y x, 2 y y 2 sin cos cos x sin y 2 2 cot y 2 . 则 2 2 1 sin x 1 cos y 2 sin 2 y 2 y tan 1 , y 2 arc tan 1 , 2 2 2 x y 2 arc tan 1 . 2 2 2 0 2 1 1 , 0 arctan 1 , 2 4 x 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 因此 , 取 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 ( ) ( 0) ( ) 2 确能使 ) (0) 成立 . 10 ( ) ( 2
使
或
y f (b) f (a ) f ( ) , ba f (b) f (a ) f ( ) (b a ) .
f (b) f (a ) 注 . 1. 弦的斜率 k . ba
2 . 若令 f (a ) f (b) ,
o
a
b
xБайду номын сангаас
同济大学版高数第三章课件
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
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结束
一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且 证: 设 则
存在
(或 )
y O 0 0
费马 目录 上页 下页
x0
x
证毕
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罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
x F (t ) y f (t )
注意:
y f (b)
f (a ) O F (a)F ( )
目录 上页
d y f (t ) d x F (t )
F (b) x
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例4. 设
至少存在一点 证: 问题转化为证 使
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
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一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且 证: 设 则
存在
(或 )
y O 0 0
费马 目录 上页 下页
x0
x
证毕
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罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
x F (t ) y f (t )
注意:
y f (b)
f (a ) O F (a)F ( )
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d y f (t ) d x F (t )
F (b) x
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例4. 设
至少存在一点 证: 问题转化为证 使
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即 设
f ( x ) sin x x=x
F ( x ) = f ( x ) sin x
=0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
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铃
2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 , x1 < x2 ,
直线AB的斜率
f (b) f (a) k= ba f (b) f (a) f (x)= ba
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba) 简要证明 令j(x)=f (x)f (a) f (b) f (a) (xa) ba 则函数j(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)=0 即
1 由于 f (0)=0 f (x) = 因此上式即为 1 x ln(1 x) = x 1x 又由0<x<x 有 x < ln(1 x) < x 1 x
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例4. (p132 6)证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
由此得
f (b) f (a) =0 j (x)=f (x) ba f(b)f(a)=f (x)(ba)
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba) •拉格朗日中值公式 f(b)f(a)=f (x)(ba) f(xDx)f(x)=f (xqDx)Dx (0<q<1) Dy=f (xqDx)Dx (0<q<1) 注： dy=f (x)Dx是函数增量Dy的近似表达式 f (xqDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式
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例1 不求导数 判断函数f(x)=(x1)(x2)(x3)的导数 有几个实根 以及其所在范围 （P132 第5题） 解 f(1)=f(2)=f(3)=0 f(x)在[1 2] [2 3]上满足罗尔定 理的三个条件 在(1 2)内至少存在一点x1 使 f (x1)=0 x1是 f (x)的 一个实根 在(2 3)内至少存在一点x2 使f (x2)=0 x2也是f (x)的 一个实根 f (x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间 (1 2)及(2 3)内
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罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 简要证明
(2)若f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最 大值点或最小值点 不妨设有一最大值点x(a b) 于是
欲证: x ( x1 , x2 ) , 使 f (x ) f (x ) = 0
只要证
亦即
ex f (x ) ex f (x ) = 0
[ e x f ( x ) ]
x =x
=0
作辅助函数 F ( x) = e x f ( x ) , 验证 F ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足
2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
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1. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存
在一点x ( 0 , ) , 使 f (x ) = f (x ) cot x . 提示: 由结论可知, 只需证
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分析: F (b) F (a) = F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F (x ) f (x ) = 0 要证 F (b) F (a)
a < < b
j (x )
f (b) f (a) j ( x) = F ( x) f ( x) F (b) F (a)
经验: 欲证 x I 时 f ( x) = C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) = C0 . 自证: arctan x arc cot x = , x ( , ) 2
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三、柯西中值定理
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
x = F (t ) y = f (t )
注意:
y
f (b) f (a)
d y f (t ) = d x F (t )
o F (a)F (x )
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F (b) x
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例5. 设 至少存在一点
证: 结论可变形为
罗尔定理条件.
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作业
P132
8, 9
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f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 j ( x) = F (b) F (a) 则j ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) j (a) = = j (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f (x ) = . F (b) F (a ) F (x ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) = f (x )(b a) , x (a , b) 两个 x 不 F (b) F (a) = F (x )(b a) , x (a , b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
证明 使
设 F ( x) = x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 x , 使
F (11 )0 F (0)
即
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F (x )
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系 拉格朗日中值定理
f (b) = f ()
罗尔定理
F ( x) = x f (b) = f (a) F ( x) = x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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(3) 证明有关中值问题的结论
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思考与练习
1. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存 在一点 x ( 0 , ) , 使 f (x ) = f (x ) cot x .
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
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矛盾, 故假设不真!
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二、拉格朗日中值定理
•观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不 相等 提问： 直线AB的斜率k=? f (x)=? 提示： 直线AB的斜率
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罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 简要证明
(1)若f(x)是常函数 则f (x)0 定理的结论显然是成 立的
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x < ln(1 x) < x 1 x 证明 设f(x)=ln(1x) 显然f(x)在区间[0 x]上满足拉格 朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f(x)f(0)=f (x)(x0) 0<x<x
例 3 例 2 证明当 x>0 时
柯西中值定理 函数f(x)及F(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且F (x)在(a b)内恒不为零 那么在(a b)内至少 有一点x 使得 f (b) f (a) f (x ) ———柯西中值公式 = F (b) F (a) F (x ) 显然 如果取F(x)=x 那么F(b)F(a)=ba F (x)=1 因 而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)=f (x)(ba) (a<x<b) 这样就变成了拉格朗日中值公式了
第三章
微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
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§3.1 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
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一、罗尔定理