【新教材】新人教A版必修一 基本不等式的向量形式 教案

[思维扩展]

波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．

我们知道，a2＋b2≥2ab（a,b∈R）以及错误!≥错误!（a，b∈R＋）是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？

由（a－b）2＝|a－b|2≥0不难得到a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．

但将错误!≥错误!（a，b∈R＋）简单地类比为错误!≥错误!就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度,看能否获得有用的结果．注意到错误!≥错误!(a，b∈R＋）⇔错误!2≥ab(a，b∈R＋）,而不等式错误!2≥a·b左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b）2＝（a－b)2＋4a·b＝｜a－b｜2＋4a·b≥4a·b可得错误!2≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．

这样,我们就得到如下两个结论：

定理1 设a,b是两个向量，则a2＋b2≥2a·b,当且仅当a＝b时等号成立．

定理2 设a，b是两个向量，则错误!2≥a·b,当且仅当a＝b时等号成立．

例1 若平面向量a，b满足｜2a－b｜≤3，则a·b的最小值是________．

答案－错误!

解析方法一由定理1得

32≥｜2a－b|2＝（2a－b）2

＝(－2a）2＋b2－4a·b

≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b，

所以a·b≥－错误!，当且仅当b＝－2a时等号成立，

故a·b的最小值是－错误!。

方法二由定理2得

2a·(－b）≤错误!2＝错误!≤错误!,

则a·b≥－错误!，当且仅当b＝－2a时等号成立．

故a·b的最小值是－错误!。

说明本题可推广至一般形式:若平面向量a，b满足：｜λa＋b｜≤m（m〉0）,则当λ>0时，a·b的最大值为错误!；当λ〈0时,a·b的最小值为错误!。

例2 已知a，b满足｜a｜＝1,(a＋b）·（a－2b)＝0，则|b｜的最小值为________．

分析此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上,利用定理1此题极易作答，过程如下．答案错误!

解析引入正参数λ，

由（a＋b）·（a－2b)＝0得a2－a·b－2b2＝0，又｜a|＝1，则1－2b2＝a·b，

1－2b2＝a·b≤错误!错误!

＝错误!(λ＋错误!b 2

），

当且仅当λa 2＝错误!b 2，即b 2＝λ2时等号成立．

所以1－2λ2＝a ·b ≤错误!错误!

＝12

错误!， 解得λ＝｜b ｜≥错误!，

故｜b |的最小值为错误!。

例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足（a －c ）·(b －c ）＝0，求|c |的最大值．

解 由（a －c )·（b －c )＝0得c 2＝c ·（a ＋b ），

由定理1及已知条件得 c 2＝c ·(a ＋b ）≤错误![c 2＋（a ＋b )2]

＝错误!（c 2＋a 2＋b 2）＝错误!(c 2

＋2),

解得｜c ｜2≤2，故｜c|的最大值是错误!。

拓展1 已知a ，b 是平面内夹角为θ的两个单位向量,若向量c 满足(a －c ）·(b －c ）＝0，则|c ｜的最大值是错误!.

拓展2 已知a ,b 是平面内两个互相垂直的向量,且|a |＝m ，|b ｜＝n ，若向量c 满足（a －c )·（b －c )＝0,则|c ｜的最大值是错误!。

例4 平面上三点A ,B ，C 满足错误!·错误!>0，求错误!2＋错误!的最小值．

解 由定理2得0〈错误!·错误!≤错误!2＝错误!错误!2，

则

错误!2＋错误!≥错误!2＋错误!

＝|错误!|2＋错误!≥2·|错误!｜·错误!＝4,

故当且仅当错误!＝错误!,且|错误!|＝错误!时，错误!2＋错误!取得最小值4。 例5 设a ，b 满足a 2＋a ·b ＋b 2＝3，求a 2－a ·b ＋b 2的取值范围．

解 由定理1得a ·b ≤错误!,

所以a ·b ≤错误!，

解得a ·b ≤1.

又由定理1得(－a )·b ≤错误!，

所以a ·b ≥－错误!＝－错误!，解得a ·b ≥－3。

所以－3≤a ·b ≤1。

因为a 2－a ·b ＋b 2＝（3－a ·b ）－a ·b ＝3－2a ·b ，所以1≤a 2－a ·b ＋b 2≤9.

以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力,它们微小平凡,对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获

得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙,但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．