高一数学《函数的单调性和奇偶性》PPT复习课件
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函数的单调性和 奇偶性复习
第一阶梯
[例1]什么叫函数f (x)在区间[a,b]上是增函数（减函数）？
设任意的x1,x2∈[a,b],当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间[a,b]上是增函数。 设任意的x1，x2∈[a,b],当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间 [a,b] 上是减函数。
所以函数 同理，可得函数
减减得增 ；
增减得减
减增得减
的单调性。
在（－∞，0]上是减函数。 在[2，+∞]上是增函数。
[例4]根据函数单调性定义，证明函数
上是增函数。
【证明】设x2>x1≥2，则
[例5]根据函数单调性定义，证明函数 在定义域上是减函数。 【证明】由3－x≥0得x≤3， ∴函数f(x)的定义域是（－∞，3] 设
∵x1<x2≤3， ∴
∴
在其定义域（－∞，3）上是减函数。
[例7]求下列函数的单调区间，并指出增减性（不要求证明）：
（1）
；
（ 2）
复合函数法
图像法
例8：已知函数 上是增函数，求实数a的取值范围。 a≤2 [例9]根据函数单调性定义，证明函数 上是减函数。
[例10]判断函数
解：∵函数 的定义域
的奇偶性。
y
o
2
x
3、复合法：其判别法则是增函数的增函数是增函数；增函数的减 函数是减函数；减函数的增函数是减函数； 减函数的减函数是增 函数。 简言为： 增· 增得增
例如，求函数
解：先作复合映射 函数u=x2-2x在（－∞，0）上是减函数，且u∈[0，+∞]；而函数 在[0，+∞]上是增函数，因为减函数的增函数是减函数
由
[例2] （证明函数的增减性。）根据函数单调性定义证明 在区间（0，2]上 是减函数。
证明：设0<x1<x2≤2，则
[例3]怎样判别函数的单调性？举例说明。
目前应该学会判断单调性的三个判别法：
1、定义法：根据增函数、减函数的定义来判别。例如， 判别函数
根据定义，先取x2>x1>0，作差
的单调性：
综上，对任意x∈(-∞,0)U(0,+∞) 均有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇 函数。
[例11]证明函数
思路分析：
证明：函数的定义域为实数，且
来自百度文库
这里的△f是函数改变量f(x2)－f(x1)的记号。函数f(x)的单调性由△f的符号来确定，而△f的符号 来确定， △f的符号由因式x1x2—4来确定：显然x=2是分界点，当x1，x2∈（0，2）时，x1x2－4<0， 从而△f<0， 即f(x2)<f(x1)，所以f(x)在（0，2）上减函数；当x1，x2∈[2，+∞]时，x1x2－4>0，从而 △f>0，即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在[2，+∞]上是增函数。这就是“定义法”，我们根据增减性定义，求 得了：
1.f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这 一区间具有（严格的）单调性， 这一区间叫做f(x)的单调区间。 2.函数的单调性相对于区间而言，这个区间当然是函数定义域 的子集。
的定义域A=（－∞，0）∪（0，+∞）,那
么 ，下列说法正确的是
（把正确说法的代号都填上）
①f(x)在其定义域A上是增函数 ②f(x) 由 是单调函数 ③f(x)在区间（－∞， 0）上是增函数 ； ④f(x) 在区间（0，2）上是减函数。 ∴ 在区间（0，+∞）上是减函数 ⑤f(x)的单调增区间有（－∞，0），（0，+∞）
※分类讨 论思想
函数 的单调区间：（0，2）是减区间，[2，+∞]是增区间。
2、图象法：在直角坐标系中，函数y=f(x)在某一区间上从左到右图 象上升，则f(x)在该区间上是增函数； 相反，图象下降，则f(x)是 减函数。简言为“升增降减”。 例如求二次函数f(x)=－x2+4x+1的单调性。因此f(x) 的图象是开口 向下的抛物线，其最高的横坐标为2，在（－∞，2）上图象上升， 在[2，+∞]上图象下降， 所以f(x)的单调增区间是（－∞，2），单 调减区间是[2，+∞]。
第一阶梯
[例1]什么叫函数f (x)在区间[a,b]上是增函数（减函数）？
设任意的x1,x2∈[a,b],当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间[a,b]上是增函数。 设任意的x1，x2∈[a,b],当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间 [a,b] 上是减函数。
所以函数 同理，可得函数
减减得增 ；
增减得减
减增得减
的单调性。
在（－∞，0]上是减函数。 在[2，+∞]上是增函数。
[例4]根据函数单调性定义，证明函数
上是增函数。
【证明】设x2>x1≥2，则
[例5]根据函数单调性定义，证明函数 在定义域上是减函数。 【证明】由3－x≥0得x≤3， ∴函数f(x)的定义域是（－∞，3] 设
∵x1<x2≤3， ∴
∴
在其定义域（－∞，3）上是减函数。
[例7]求下列函数的单调区间，并指出增减性（不要求证明）：
（1）
；
（ 2）
复合函数法
图像法
例8：已知函数 上是增函数，求实数a的取值范围。 a≤2 [例9]根据函数单调性定义，证明函数 上是减函数。
[例10]判断函数
解：∵函数 的定义域
的奇偶性。
y
o
2
x
3、复合法：其判别法则是增函数的增函数是增函数；增函数的减 函数是减函数；减函数的增函数是减函数； 减函数的减函数是增 函数。 简言为： 增· 增得增
例如，求函数
解：先作复合映射 函数u=x2-2x在（－∞，0）上是减函数，且u∈[0，+∞]；而函数 在[0，+∞]上是增函数，因为减函数的增函数是减函数
由
[例2] （证明函数的增减性。）根据函数单调性定义证明 在区间（0，2]上 是减函数。
证明：设0<x1<x2≤2，则
[例3]怎样判别函数的单调性？举例说明。
目前应该学会判断单调性的三个判别法：
1、定义法：根据增函数、减函数的定义来判别。例如， 判别函数
根据定义，先取x2>x1>0，作差
的单调性：
综上，对任意x∈(-∞,0)U(0,+∞) 均有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇 函数。
[例11]证明函数
思路分析：
证明：函数的定义域为实数，且
来自百度文库
这里的△f是函数改变量f(x2)－f(x1)的记号。函数f(x)的单调性由△f的符号来确定，而△f的符号 来确定， △f的符号由因式x1x2—4来确定：显然x=2是分界点，当x1，x2∈（0，2）时，x1x2－4<0， 从而△f<0， 即f(x2)<f(x1)，所以f(x)在（0，2）上减函数；当x1，x2∈[2，+∞]时，x1x2－4>0，从而 △f>0，即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在[2，+∞]上是增函数。这就是“定义法”，我们根据增减性定义，求 得了：
1.f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这 一区间具有（严格的）单调性， 这一区间叫做f(x)的单调区间。 2.函数的单调性相对于区间而言，这个区间当然是函数定义域 的子集。
的定义域A=（－∞，0）∪（0，+∞）,那
么 ，下列说法正确的是
（把正确说法的代号都填上）
①f(x)在其定义域A上是增函数 ②f(x) 由 是单调函数 ③f(x)在区间（－∞， 0）上是增函数 ； ④f(x) 在区间（0，2）上是减函数。 ∴ 在区间（0，+∞）上是减函数 ⑤f(x)的单调增区间有（－∞，0），（0，+∞）
※分类讨 论思想
函数 的单调区间：（0，2）是减区间，[2，+∞]是增区间。
2、图象法：在直角坐标系中，函数y=f(x)在某一区间上从左到右图 象上升，则f(x)在该区间上是增函数； 相反，图象下降，则f(x)是 减函数。简言为“升增降减”。 例如求二次函数f(x)=－x2+4x+1的单调性。因此f(x) 的图象是开口 向下的抛物线，其最高的横坐标为2，在（－∞，2）上图象上升， 在[2，+∞]上图象下降， 所以f(x)的单调增区间是（－∞，2），单 调减区间是[2，+∞]。