大学物理II静电场习题

4
注重典型场 注重叠加原理
E
Q
rˆ
4π 0r 2
U Q
4π 0 r
r <R E0
U Q
4π 0 R
r
>R
E
Q
4π0r 2
rˆ
U Q
4π 0 r
E 2π 0r
E 2 0
无限长柱面？
3.电势差：电场中a、b两点的电势差，在数值上
等于单位正电荷从a点移到b点时，电
场力做的功。
bv v
Uab Ua Ub
大学物理
——静电学部分
2015.5.18
1
基本概念
1.电场强度：电场中某点电场强度在数值上等于单
位正电荷在该点受力
vv E F/q
点电荷的场强： 电荷组的场强：
v E
q
4 0 r 2
r er
v 1
E
40
n i 1
qi ri2
r eri
连续分布电荷的场强：
v E
1
4 0
dq r r 2 er
2
电荷的体密度,dV 体积元
2.电势： 电场中某点的电势在数值上等于将单位
正电荷由该点移动到电势零点时电场力
所做的功 点电荷的电势：
U p
WP q0
(0) v v E dl
p
U q
40r
电荷组的电势：
U 1 n qi
40 i1 ri
连续分布电荷的电势：
1 dq
U 40 r
电场强度与电势的关系 E U
点电荷（？） 均匀带电球面（？） 均匀带电球体（？） 均匀带电无限长直线（？） 均匀带电无限大平面（？） 均匀带电细圆环轴线上一点（？） 无限长均匀带电圆柱面（？）
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均匀带电球面：
0
E
1
4 0
Q r2
(r R) (r R)
均匀带电球体：
U U
1
4 0
1
Q R Q
40 r
(r R) (r R)
1 QU 2
静电场的能量密度
we
1
2
E2
1 DE 1 D E
2
2
对任意电场都适合
静电场的能量 W e wedV
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V
电场能量的计算
（1）带电电容器储存的能量可以按照公式进行计算：
W 1 Q2 1 CU 2 1 QU
2C 2
2
（2）电场能量计算的步骤：
（a）根据电荷分布，计算出电场强度的分布规律，得到电
i
V
q
dq
4 0r
（
U 0）。
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（3）电势、电势差的计算
1).方法一：场强积分法(由定义) 步骤：(1)先算场强 (2)选择合适的路径L (3)分段积分(计算)
2).方法二：电势叠加法 步骤：(1)把带电体 分为无限多电荷元dq (2)由dq dU
(3)由dU U = dU
3. 几种典型电荷分布的 E 和V
E
2 0
v E
1
40
2 pv x3
电偶极子中垂线上一点: (距电偶极子中心距离y)
v
1 pv
E
40 y3 15
2.导体的静电平衡
静电平衡---导体内部和表面无电荷定向移动
推论：静电平衡时,导体表面场强垂直表面
导体是个等势体，导体表面是个等势面．
有导体存在时静电场的分析与计算
电场
导体上的电荷重新分布
场源为点电荷：
E
1
40
q r2
rˆ
场源为点电荷系 ：
E
n i 1
1
40
qi ri 2
eri
场源电荷连续分布
：dE
dq
4 0 r 2
er
E
dE
dq
40r2 er
1)电荷线分 dq dx
布.电荷的线密度, dx线元
2)电荷面分布. dq ds
电荷的面密度d, s 面元
3)电荷体分布.dq dV
dV
3 0
r2
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2.求均匀带电无限长圆柱体 (, R) 的电场分布。
解：在柱体内 (r R), 选长为 l 的
同轴柱形高斯面，利用高斯定律
l
SE dS E2 rl 0 0
q内
0
1
0
l
r2l R2l
lr 2
R2
0
在柱体外 (r > R)，取同样高斯面，
相互影响
利用：
静电场的基本规律 （高斯定理和环路定理） 静电场的叠加原理
电荷守恒定律 导体的静电平衡条件
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电容：表征导体和导体组静电性质的一个物理量
孤立导体的电容 孤立导体球的电容
CQ U
C 40R
平行板电容器 同心球形电容器 同轴柱形电容器
C 0r S
d
C 40r R1R2 /(R2 R1)
O´为球心的球状小空腔，空腔的球心相对带电球体中心O的
位置矢量用b表示。试证球形空腔 内的电场是均匀电场，
表达式为 E 30 b
S1
O
r1
b
r2 S2
O'
P点的场强：E
。
解： E1 dS E14
E1
s1
4 3
r13
4 0 r12
3 0
r12
1
0
r1 E1
dV
3 0
r1
EE12Es224E32340r02d2r(S2r31 rE23)240r32r220 bE102
场能量密度
we
1 2
DE
1 E2
2
（b）取适当的体积元dV，在所取的体积元中各点的电场强度量值
相等。通常在球对称电场中取薄球壳为体积元dV=4πr2dr；在轴对
称的电场中取薄圆柱壳为体积元dV=2πrldr。
（c）按照电场能公式：We V wedV
正确定出积分上下限，计算出结果。
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1.如图，在一电荷体密度为的均匀带电球体中，挖出一个以
E
1
4 0
Qr R3
E
1
Q
40 r2
(r R) (r R)
无限长均匀带电直线： E 1
20 r
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均匀带电半径为R的细
ห้องสมุดไป่ตู้
1
Qx
圆环轴线上一点：
E
40 (x2 R2 )3/ 2
1
Q
U
40 (x2 R2 )1/ 2
无限长均匀带电平面两侧：
电偶极子轴线延长线上一点: (距电偶极子中心x)
E dl
a
4.电势能：电荷q在电场中某点的电势能，在数
值上等于把电荷q从该点移到电势零
点时，电场力所做的功。
(0) v v
Wa a qE dl qUa
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基本规律
一、 真空中的静电场
1. 线索
库仑定律
E E
F
/q0 Ei
高斯定理：
S
E
d
s
q
0
静电场的环路定理：L E d l 0
C 20r L
ln R2 / R1
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3.静电场中的电介质
电介质对电场的影响
电位移矢量
D 0E P
D的高斯定理
D dS q0
S
在电场具有某种对称性的情况下,可以首先由高斯定 理求解出电位移矢量D:
思路
D E P q
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4. 能量：
电容器的储能：
We
1 2
Q2 C
1 CU 2 2
P点电势：UP
(
P0
)
r E
d
r l
P
还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。
2. 求静电场的方法：
(1)求 E
场强叠加法 高斯定理法 电势梯度法
E
d
s
q内
S
0
E grad V
补偿法
8
场强积分法：Up
( P0 )
(P)
r E
·d
r l
(2)求U
（E分段，积分也要分段）
叠加法：U Ui（零点要同）；