武大期末复习-数理方程教学指导纲要.
23.数理方程大纲
«数理方程»课程编号:« 00500750»课程名称：数理方程英文名称：Equations of Mathematical Physics总学时：32总学分：3适用对象: 本科生先修课程：线性代数、偏微分方程、复数函数与积分变换、普通物理一、课程性质、目的和任务《数理方程》是高等工科院校有关专业的一门基础课，由于本课程是由实际的电磁现象、物质和粒子的扩散通、热的传导等实际物理过程中抽象和归纳出一些典型的偏微分方程，所以，通过本课程的学习，激发学生热爱专业，加强专业基础知识，增强为建设祖国的事业心和责任感，使学生获得在实际工程中有关偏微分方程的一些基本概念、解偏微分方程的常用方法和有关贝塞尔函数与勒让德多项式的一些基本知识，为学习后继课程与扩大数学知识面提供必要的数学支撑，为以后从事专业工程计算奠定必要的基础。
二、教学要求和内容基本要求：该课程主要讲述经典的弦振动、热传导、拉普拉斯方程的导出，定解问题的概念和常用的求解方法等。
通过本课程的学习，使学生掌握必要的数学手段和数学工具，能灵活运用数学模型解决专业问题（1）掌握物理中的典型方程和定解问题，理解必要的基本数学概念和这些方程的物理意义（2）重点掌握求解物理方程的基本方法和要领，尤其是分离变量法、行波法和积分变换法。
能根据实际问题转化为数学上的定解问题，并了解各种解的物理意义（3）了解贝塞尔函数、勒让德多项式和埃尔米特多项式的一些基本知识与应用基本内容1 典型方程与定解条件（1）由物理中的弦振动、热传导和稳定场问题推出数学物理中的三类典型方程和它们的定解条件——定解问题是本课程的一个重点和难点问题（2）二阶线性偏微分方程的分类和有关的基本概念2 定解问题的求解方法（1）分离变量法（2）行波法（3）积分变换法（4）格林函数法和其它方法介绍其中，分离变量法、行波法和积分变换法是本段内容的重点，而难点是积分变换法和格林函数法3 特殊函数知识和应用（1）贝塞尔函数及应用（重点）（2）勒让德函方程极其求解（3 ）埃尔米特多项式的定义与特性三、教学安排及方式本课程是一门基础理论课，根据其特点，拟采用以课堂讲授为主，课堂讨论为辅的原则，精讲多练，讲授中贯穿介绍有关专业名词和英语读法，并在各章中安排一定内容引导学生自学，课堂讨论采用师生互动，诱导学生思考和发表见解，培养学生思考问题和解决问题的能力。
数理方程引论复习纲要-2009_803306082
数理方程引论复习纲要-2009_803306082《数理方程引论》复习纲要第一章引言与概述1．理解偏微分方程的定解问题、初始条件、边值条件以及适定性等基本概念2．掌握线性偏微分方程的叠加原理3．掌握直接积分法4．了解典型二阶偏微分方程及相应的定解条件第二章分离变量法（直角坐标）1．掌握有界区间（有界区域）上的分离变量法2．会用Duhamel齐次化原理（包括无界区间上的情形）和特征函数法处理非齐次方程3．会处理非齐次边界条件4．掌握高维情形（直角坐标）的分离变量法第三章特征线法1．掌握特征线法解一阶线性偏微分方程2．掌握1+1维波动方程解的d’Alembert公式，掌握解的基本性质，理解左、右行波的意义；3．掌握二阶偏微分方程的分类，会求特征线4．会用镜像法与d’Alembert公式求解并简单分析半无界及有界弦的振动问题5．会用d’Alembert公式推导2、3维波动方程的解公式，了解Huygens原理第四章分离变量法与特殊函数1．掌握Laplace算子在常见坐标下的表达2．掌握Bessel方程及Legendre方程的推导3．掌握Bessel函数与Legendre多项式（包括其微分表达式）的定义4．了解第一类Bessel函数及Legendre多项式的基本性质5．掌握高维情形（非直角坐标）的分离变量法6．了解Strurm-Liouville理论第五章积分变换法与Green函数法1．会用Fourier变换和Laplace变换求解偏微方程（留数计算不涉及）2．掌握Dirac delta函数的简单性质3．掌握Green公式4．掌握Green函数（基本解）的定义，并会用其表示典型方程的解5．会求特殊区域上的Green函数（基本解）。
数理方程总结复习及练习要点-V1
数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。
在学习数学时，数理方程是必修课程之一。
但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。
下面我们一起来总结复习及练习中的要点。
一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。
数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。
二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。
这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。
三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。
例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。
2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。
3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。
四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。
例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。
2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。
3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。
五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。
2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。
3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。
总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。
只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。
数理方程 教学大纲
数理方程教学大纲数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种类型的方程及其解法。
无论是在理论研究还是实际应用中，数理方程都扮演着重要的角色。
因此，为了更好地培养学生的数学思维和解题能力，数理方程的教学大纲应该具备一定的深度和广度。
首先，数理方程的教学大纲应该包括基本的方程类型和解法。
学生首先需要学习一元一次方程、一元二次方程以及简单的高次方程的解法。
这些方程是数理方程的基础，掌握了这些基本的方程类型和解法，学生才能够更好地理解和应用更复杂的方程。
其次，数理方程的教学大纲还应该包括方程的应用。
数理方程在实际生活中有着广泛的应用。
例如，一元一次方程可以用来解决物品购买、时间计算等实际问题；一元二次方程可以用来解决抛物线轨迹、最值问题等。
通过引入这些实际应用，可以增加学生对数理方程的兴趣，提高他们的解题能力。
此外，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的数学思维和解题能力。
数理方程的解题过程需要学生进行分析、推理和演绎，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
因此，在教学中应该注重培养学生的思维能力，引导他们从不同角度思考问题，探索解题的多种可能性。
另外，数理方程的教学大纲还应该注重数学模型的建立和解决。
数学模型是数理方程应用的重要手段，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，再通过解方程求解。
因此，在教学中应该引导学生学会建立数学模型，并通过解方程求解实际问题。
此外，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的数学思维和解题能力。
数理方程的解题过程需要学生进行分析、推理和演绎，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
因此，在教学中应该注重培养学生的思维能力，引导他们从不同角度思考问题，探索解题的多种可能性。
最后，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的团队合作和沟通能力。
数理方程的解题过程往往需要学生之间的合作和交流，通过合作解题，可以激发学生的思维活力，拓宽他们的解题思路。
因此，在教学中应该注重培养学生的团队合作和沟通能力，培养他们的团队合作精神和解决问题的能力。
《数学物理方程》教学大纲
《数学物理方程》教学大纲第一篇：《数学物理方程》教学大纲《数学物理方程》教学大纲（Equations of Mathematical Physics）一.课程编号：040520 二.课程类型：限选课学时/学分：40/2.5适用专业：信息与计算科学专业先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数三.课程的性质与任务：本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。
数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。
本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。
四、教学主要内容及学时分配（一）典型方程和定解条件的推导（7学时）一些典型方程的形式, 定解条件的推导。
偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。
（二）分离变量法（7学时）三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法.（三）积分变换法（8学时）Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。
（四）行波法（7学时）一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法（五）格林函数（6学时）微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。
（六）变分法（5学时）变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题五、教学基本要求通过教师的教学，使学生达到下列要求（一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。
数理方程教学大纲
课程的重点：掌握三类方程的基本形式、初始条件和边界条件的概念和各类定解条件的表达方法。
掌握分离变量法精神、解题步骤和适用范围，熟练应用分离变量法求解各类齐次、非齐次定解问题。
掌握行波法的解题要领并会使用行波法求解某些定解问题。
掌握用积分变换法求解数理方程的主要精神及一般步骤，会用Fourier变换法和Laplace变换法求解偏微分方程定解问题。
正确理解格林函数的定义及其物理意义。
掌握用电像法求半空间和球域格林函数的方法，并会用格林函数法求解这两种特殊区域狄氏问题的解。
理解贝塞尔方程的引出，记住贝塞尔方程的通解。
并掌握应用贝塞尔函数的性质理解勒让德方程的引出，记住贝塞尔方程的通解。
并掌握应用勒让德多项式的性质课程的难点：非齐次问题的求解；分离变量法、行波法、积分变换法在求解不同问题时的应用；格林函数法的理解和应用；两种特殊函数的性质的理解及应用。
解决办法：（1）课程组组织多种形式的教研活动，针对课程的重点内容和学生的特点，设计多角度的讲解方式，以加深学生对重点内容的理解和掌握。
例如对格林函数法，从物理角度解释，格林函数是电源的冲击相应，代表点电荷所形成的电位，电位函数满足泊松方程。
无源空间则满足拉普拉斯方程。
而从数学上解释，具有相同源分布和边界条件的二阶线性偏微分方程的解具有唯一性，格林函数是在求调和函数的积分表达式的时候，为了消去表达式中未知的部分，而引入的一个函数表达式。
等等这些不仅使学生从数学和物理两种角度理解问题，也切合了这门的题目“数学物理方程”。
（2）对于每一章节的重点内容，设计学生必做的论述题。
例如“对特征值和特征函数的理解和认识”、“Fourier变换法和Laplace变换法求解偏微分方程定解问题的异同”、“格林函数求解问题的思路”等。
（3）精心设计例题，合理安排习题。
课程组根据教学内容，设计“提示例题”、“思路分析例题”和“详细讲解例题”。
大大丰富了课本上的习题数量。
“数理方程与特殊函数”是理工科专业学生的一门重要的数学基础课，所研究的问题直接来源于物理学、电子学、声学、力学等基础学科，是数学与这些学科之间联系的桥梁。
数理方程总复习PPT文档共68页
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
数理方程-总结复习及练习要点(1)
数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。
在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。
下面是数理方程的总结复习及练习要点。
一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。
二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。
三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。
因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。
大一期末高数（同济第六版）复习提纲（精选5篇）
大一期末高数（同济第六版）复习提纲（精选5篇）第一篇：大一期末高数(同济第六版)复习提纲高数一期末考试复习大纲题型：解答题（共12小题）类型：求极限、求导数及微分（包括导数的应用）、求不定积分、求定积分（包括定积分的应用）、求解微分方程具体知识点第一章数列的极限、函数的极限（以上只需掌握求极限方法、极限定义了解即可）无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则，两个重要极限无穷小的比较、函数的连续性、连续函数的运算和初等函数的连续性第二章导数定义及几何意义、函数的求导法则、高阶导数、隐函数导数、参数方程所确定的函数的导数（会求二阶导数）、函数的微分公式第三章洛必达法则、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的极值与最值第四章求不定积分（换元法、分部积分法）、有理函数的积分第五章微积分基本公式、定积分的换元法和分部积分法第六章定积分在几何学上的应用第七章可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程第二篇：高数复习提纲第一章1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、五章不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加C）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第三篇：高数(上)(复习提纲)《高等数学I》复习提纲一、基本概念、公式、法则：“极限，连续，导数，微分，积分”的定义、性质--------基础1、导数(微分)部分：无穷小之间的比较（高阶、同阶、等价、k 阶），常见的等价无穷小（x→0）,两个重要极限，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的介值定理，基本初等函数的求导公式，复合函数求导的链式法则，求极限的洛必达法则，微分中值定理（Rolle、Lagrange、Cauchy），泰勒公式（特别地，麦克劳林公式），函数的单调性与凹凸性，极值存在的必要条件与充分条件，曲线的水平（竖直）渐近线，平面曲线（直角坐标系、极坐标系、参数方程）的曲率公式、弧微分公式；求极限夹逼准则，可导与连续的关系，可导与可微的关系。
数理方程复习指南
= ϕ1 (t ) = ϕ 2 (t )
x = 0 or l
u
ux
=0
由傅里叶热传 导定理给出
若端点是绝热或有热源则： 若端点是绝热或有热源则：or
ux
x = 0 or l
= − F (t ) / k
初始条件：一个 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x )
静电场问题
泛定方程
ρV ∇ u= − ε
可用于 不同维度
分离变量法 否
积分变换法 对方程是 否齐次无 要求； 要求；适 用于不同 维度 依据边界 做奇偶延拓 是
方程是否为齐次 是 否 边界齐次化
傅里叶级数展开
边界是否为齐次 判断是否为半无界 是 否 分离变量 求解本征值问题 方程两边做积分变换； 方程两边做积分变换； 求解即可； 求解即可；
数学物理方法
总复习
级数展开 特殊函数 复变函数
线性 数学物理方程还 包含积分方程 三大类偏微分方程
定解问题的建立
定解问题的求解
波 动
输 运
稳 定 场
分 离 变 量 法
积 分 变 换 法
行 波 法
格 林 函 数 法 熟练掌握
定解问题的建立
静电场 问题
泛定方程或 数学物理方程
定解条件
初值条件
边界条件
热传导问题
泛定方程
∂u 2 − a ∆u = f ∂t
f ( x , t )代表热源密度除以密度与比热
a=
k ρc
区域内无热源的输运方程
无界空间不需要给定边界条件， 无界空间不需要给定边界条件，但 可能要考虑自然边界条件
∂u 2 − a ∆u = 0 ∂t
u
边界条件： 边界条件：两端温度给定
数学教学大纲考点(最新完整版)
数学教学大纲考点(最新完整版)数学教学大纲考点数学教学大纲考点如下：1.掌握数学基础知识，包括数学概念、数学事实、数学理论、数学方法。
2.发展基本数学能力，包括运算求解能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
3.了解数学科学、数学史和数学哲学的基本知识，了解近代数学的发展趋势。
4.了解数学科学的基本思想方法，了解数学在解决实际问题中的作用，了解数学科学的地位和作用。
5.提高学生的文化素养，帮助学生了解数学在解决实际问题中的作用，以及数学科学在现代社会发展中的地位和作用。
6.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
7.养成独立思考的习惯，善于与他人合作，能有效地表达自己的见解。
8.形成锲而不舍的钻研精神。
9.培养学生应用数学的意识，主要是针对实际问题或特定问题，收集相关资料，提炼有效信息，从中发现有价值的结论。
10.掌握基本的数学思想方法，具有一定的数学素养。
11.初步了解和掌握在日常生活中运用数学知识解决实际问题的方法。
12.培养学生的好奇心和求知欲，帮助学生体验探索的过程，初步了解与人类生活密切相关的数学知识。
13.提高学生的数学思维能力，培养勇于探索的精神。
14.提高学生的数学素养，培养解决实际问题的能力。
15.培养学生的创新意识和实践能力。
生活数学教学大纲以下是生活数学的教学大纲：一、情境引入。
1.通过观察，列出日常生活中与“点”、“线”、“面”等有关数学信息，体会“点”、“线”、“面”在生活和生产实践中的应用。
2.通过游戏，让学生初步体会两点确定一条直线和垂线的性质。
3.通过谈话，让学生初步体会直线、射线、线段的区别。
4.通过观察，让学生感受线段、射线、直线在生活和生产实践中的应用。
二、探索交流。
1.让学生经历数一数、想一想、说一说、做一做等过程，初步体验“面”的概念。
2.让学生经历观察、猜想、实验、验证等活动，理解垂线的性质。
3.让学生经历探索线段、射线、直线特点的过程，理解它们的区别。
4.让学生经历用折纸、剪纸等方法探究直线、射线、线段特点的过程，理解它们的联系。
武大期末复习-数理方程教学指导纲要
第九章定解问题的物理意义基本要求与教学内容：1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意义,根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。
2、第一、第二类边界条件的物理意义。
根据具体物理问题，掌握确定这两类边界条件的方法。
3、初始条件的意义及确定。
本章重点：掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。
第十章利用积分变换解无界问题基本要求与教学内容：1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理解其解的物理意义。
2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。
本章重点：利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程第十一章一维有界问题的分离变量基本要求与教学内容：1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解形式。
2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。
3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(tT方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。
4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次方程和齐次边界条件的本征函数的确定；2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开；3)求解关于)(tT 方程的解；4)定解问题的解。
5、掌握非齐次边界条件的齐次化。
本章重点：⏹第二类齐次边界条件的本征值和本征函数⏹用分离变量法求解一维有界问题的解⏹利用本征函数展开解一维有界非齐次方程⏹非齐次边界条件的齐次化第十二章 球坐标的分离变量 Legendre 多项式 基本要求与教学内容：1、 了解波动方程、热传导方程的分离变量，Helmholtz 方程的导出和含时间变量满足的方程。
数理方程预备知识
第1章 预备知识在高等数学课程的学习中，常微分方程的定解问题的求解方法是我们熟悉的.该类问题主要有两个特点：（1）问题的所求量是一个未知函数； （2）所求的函数仅有一个自变量.而问题中所给的定解条件也只是给出了唯一确定未知函数所需要的条件.这类问题的物理背景是非常明确的：方程描述了一类物理现象满足的普遍规律，定解条件则是某一具体现象应该满足的限制条件.例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'====)0(,)0(0022s dt dss s g dt sd t方程描述了自由落体运动中质点的位移随时间变化的一般规律，而定解条件则给出了运动的初始状态.在常微分方程中，所需确定的未知函数仅依赖于一个自变量，这就意味着所描述的物理现象只与一个因素有关.显而易见，这类定解问题仅仅描述了较为特殊的物理现象，而大量常见的物理现象则是这类模型力所不及的.例如温度，不仅与时间t 有关，还应该与地点),,(321x x x x =有关，简单的至少应表为),(t x u .要客观地描述现实中的温度场，就必须考虑这类多元函数所满足的微分方程及相应的定解条件.偏微分方程——含有未知多元函数及其偏导数的方程就应运而生.数学物理方程是研究几类偏微分方程定解问题求解方法的课程，这些定解问题有着明确的物理背景，大致可分为三类：热传导方程；波动方程；泊松方程.前两类称为发展方程，讨论的是与时间有关的物理量的分布规律；最后一类称为稳态方程，其讨论的物理量的分布与时间无关.类比于高等数学中多元函数偏导数的求解借助于一元函数的求导法则，多元函数的积分也化为定积分求解.偏微分方程能否转化为常微分方程求解？这涉及到两个基本问题：（1）如何转化？（2）转化以后的问题的解与原问题的解之间的关系如何？对于问题（1），可用分离变量法各积分变换法解决，而问题（2）的解决则基于线性叠加原理.因此常微分方程的定解问题的求解的有关结论和公式，在数学物理方程的求解中起着基本的作用.1．1 常微分方程定解问题1．1．1 一阶常微分方程对于一阶常微分方程定解问题： ⎩⎨⎧=∈=+'0)(),( ),()()()(y a y b a x x f x y x p x y （1.1）在方程两边同时乘上⎰xa ds s p e)(，则方程化为：[]⎰=⎰xa ds s p ds s p x f e x y dxd x a )()()()( 方程两边同在],[x a 上求积分，并利用（1 .1）中的定解条件（边界条件）可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x a ds s p ds s p zaxa e z f y e x y )(0)()()( （1.2）如果0)(=x f ，则(1.2)对于不同的0y ，可看成是(1.1)的导出方程的通解.如果是00=y ， 则(1.2)表示的是(1.1)的一个特解.因此，一阶非线性方程解的结构为：非齐次线性方程的通解等于导出方程的通解与一个非齐次特解之和.这个结论对于高阶线性方程同样成立.若0)(p x p =是常数，则(1.2)可化为： ⎰----+=xaz x p a x p dz e z f y ex y )(0)(00)()( （1.3）这种形式解在热传导方程的求解过程中将会用到.1．1．2 二阶常微分方程对于二阶常微分方程定解问题： ⎩⎨⎧='=∈=+'+''10)(,)(),( ),()()()()()(y a y y a y b a x x f x y x q x y x p x y （1.4）我们先讨论q p q x q p x p ,,)(,)(==为常数的情形.求解这个问题主要有两个步骤： 一、（1 .4）中微分方程的通解可表示为：)(*)()()(2211x y x y c x y c x y ++= (1.5) 其中)(),(21x y x y 是导出方程0)()()(=+'+''x qy x y p x y （1.6） 的两个线性无关的特解，)(*x y 是非齐次方程)()()()(x f x qy x y p x y =+'+'' （1.7） 的一个特解.二、根据(1.4)中的定解条件确定(1.5) 中的两个任意常数21,c c ，进而得到(1.4)的解. 方程(1.6)的通解根据特征方程法可得到如下三种情形：记特征方程02=++q pr r 的两个根为21,r r ，则（1） 当21,r r 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为：x r x r e c e c x Y 2121)(+=（2） 当21,r r 是两个相等的实根时，齐次方程的通解为：x r e x c c x Y 2)()(21+=（3） 当21,r r 是一对共轭复根时，齐次方程的通解为：βαββαi r x c x c e x Y x ±=+=2,121 ),sin cos ()(然后，利用常数变易法确定),(*x y 设),()()()()(*2211x y x c x y x c x y +=代入（1.7）得⎩⎨⎧=''+''='+')()()()()(,0)()()()(22112211x f x y x c x y x c x y x c x y x c 从中解出),(),(21x c x c ''再积分一次即得到)(),(21x c x c .例1． 求xxee y y y +=-'+''12的通解. 解；特征方程022=-+r r 的根为1,221=-=r r ，于是导出方程的通解为： xxec e c x Y 221)(-+=为求非齐次方程的一个特解，利用常数变易法，设x x e x c e x c x y 221)()()(*-+=代入原方程，得⎪⎩⎪⎨⎧+='-'='+'--x x xx xx e e ex c e x c e x c e x c 1)(2)(,0)()(221221 解之得)1(3)(,)1(31)(321x xxe e x c e x c +-='+=' 然后各自积分，得[]).1ln(313161)( ,)1ln(31)(221x x x x e e e x c e x x c +-+-=+-=所以原方程的通解为：*y Y y +=)21(31221-+++=--x x x x e xe e c e c ).1ln()(312x x xe e e ++-- 1．1．3 Euler 方程从前面的讨论中可以看出，二阶常系数常微分方程的通解至少可以用已知函数的积分来表示，对于变系数的微分方程，其解则不一定可以用已知函数显式表达出来.但对于某些较为特殊的方程，可以利用适当的变换得到解的显式表达，例如Euler 方程 二阶Euler 方程的一般形式为：)()()()(2x f x by x y ax x y x =+'+'' （1.8）根据方程的特点，作自变量代换te x =，并记)()()(t Y e y x y t==，则由复合函数的求导法则有：)(1)()(t Y xdx dt t Y x y '=⋅'='， )(1)(1))(1()(22t Y xt Y x t Y x dx d x y ''+'-='=''将上述两式代入（1.8）中可得：)()()()1()(te f t bY t Y a t Y =+'-+'' （1 .9） 而这是我们熟悉的二阶常系数非齐次微分方程，利用所学过的方法可以求出其通解)(t Y ，进而得到(1.8)的解)(ln )(x Y x y =.例2．求解方程0)()()(22=-+''ρρρρρP n P P 解：设te =ρ，则记)()()(t Y e P P t==ρ.),(1)(t Y P '='ρρ[])()(1)(2t Y t Y P ''+'-=''ρρ将其代入原方程得；0)()()()(2=-'+''+'-t Y n t Y t Y t Y 即 0)()(2=-''t Y n t Y其特征方程为：022=-n r ，特征根：n r n r -==21, （1）;)(,000t d c t Y n +== （2）nt n ntn e d ec t Y n +=>-)(,0所以，原方程的通解为：⎩⎨⎧>+=+=-.0,,0 ,ln )(00n d c n d c P nn n n n ρρρρ 这个结果将在后面的学习内容中用到.1．2 常微分方程的特征值问题常微分方程的特征值问题对于我们来说是一个新的概念，在数学物理方程定解问题的求解中起着非常重要的作用.1．2．1 常微分方程的特征值问题的提法对于二阶常系数常微分方程的边值问题，如果方程和边界条件都是给定的，则该边值问题是可以求解的.例如： ⎩⎨⎧==∈=+''10)(,)0(),0(),()()(y l y y y l x x f x y x y λ . （1.10）对于给定的常数10,,y y λ和函数)(x f ，我们可以求出它的唯一解，当然，对于,0>λ0,0<=λλ，所得到的解的性质也是不同的.特别地，如果0,0,0)(10==≡y y x f ，则（1.10） 成为： ⎩⎨⎧==∈=+''0)(,0)0(),0(,0)()(l y y l x x y x y λ . （1.11）对于任意的常数,λ0)(=x y 总是方程的解，我们称之为平凡解，但这种解对于方程而言意义并不大.问题：是否存在常数,λ使得边值问题（1.11）有非零解？定义1：如果存在常数,λ使得边值问题（1.11）有非零解，则λ称为边值问题（1.11）的特征值，相应的非零解称为对应于λ的特值函数.边值问题（1.11）也就称为特征值问题.对于不同的边界条件，我们还有其它结构的特征值问题，具体如下：⎩⎨⎧=='∈=+''0)(,0)0(),0(,0)()(l y y l x x y x y λ . （1.12） ⎩⎨⎧='=∈=+''0)(,0)0(),0(,0)()(l y y l x x y x y λ . （1.13）⎩⎨⎧='='∈=+''0)(,0)0(),0(,0)()(l y y l x x y x y λ . （1.14）1．2．2 特征值问题的求解特征值问题的求解是直接从定义出发来讨论什么样的λ能使得边值问题有非零解.具体求λ的步骤可以分成如下三步：（1） 对不同范围的λ，给定微分方程的含有两个任意常数的通解； （2） 由对应的边界条件确定任意常数得到定解问题的解； （3） 确定λ的值，使得到的定解问题的解非零.确定了λ的值后，相应的定解问题的非零解就是对应于λ的特征函数.特征值也称为本征值；固有值，特征函数也称为本征函数；固有函数.我们以（1.13）为例讨论该边值问题的特征值和特征函数.例3．求⎩⎨⎧='=∈=+''0)(,0)0(),0(,0)()(l y y l x x y x y λ的特征值和特征函数.解：方程的通解结构随λ的取值而不同. （1）,0<λλ-±=2,1r ，xxe c ec x y λλ---+=21)(，由边值条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+---02121c e c ec c ll λλλλ解之得：021==c c ，即0)(≡x y .所以，0<λ不是特征值.（2）,0=λ02,1=r ，x c c x y 21)(+=，由边值条件可得：,02=c 1c 为任意常数. 所以0=λ是特征值，0)(1≠=c x y 为相应的特征函数.（3）,0>λi r λ±=2,1，x c x c x y λλsin cos )(21+=，由边值条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧==0cos 021l c c λλ 要使,02≠c 则要求0cos =l λ，由此得2ππλ+=n l ， ,2,1,0=n所以，特征值为222⎪⎭⎫⎝⎛+=l n ππλ， ,2,1,0=n相应的特征函数为⎪⎭⎫⎝⎛+=l x n x y 2)12(sin )(π， ,2,1,0=n根据类似的步骤，我们可以得到其他三类特征值问题的特征值和特征函数，为以后使用方便，现将这四类边值问题的特征值和特征函数汇总于下表1.1中；表1.1 四类边值问题的特征值和特征函数除了上述四类边值问题外，对于方程0)()(=+''x y x y λ，还有由其他边界条件构成的边值问题.例如：直线型构件在一端与外界存在热交换：交换的热流量的大小与两种介质的温度差成比例.这类边界条件可表示为：0)()(,0)0(=+'=l hy l y y .相应的特征值问题如下；⎩⎨⎧=+'=∈=+''0)()(,0)0(),0(,0)()(l hy l y y l x x y x y λ . （1.15） 其中0>h ，利用与前面类似的方法进行讨论：（1）0≤λ不是（1.15）的特征值；（2）当0>λ时，记2βλ=.则方程的通解为：x c x c x y ββsin cos )(21+=再由边界条件知,01=c 在02≠c 的情形下，有0)sin()cos(=+l h l βββ，记γβ=l ，则γ满足如下方程：γγhl1tan -= (1.16)图1-1这是一个超越方程，它的根不能直接表达，但根据图解法（图1-1）可以很容易地得到(1.16)所具有的基本性质：（1） 方程有无穷多个正根 <<<<<n γγγ210； （2） ∞→n 时，∞→n γ.显而易见，特征根β的分布同样具有上述的两条性质.从而（1.15）的特征根和特征函数为：,3,2,1,sin )(,2==⎪⎭⎫⎝⎛=n l x x y l n n n n γγλ （1.17）1．2．3 周期边界条件的特征值问题设函数)(θΦ在),(∞-∞上有定义且以π2为周期，因为)(θΦ不是定义在有限区间上，因此不存在如前所讨论的边界条件，但由于其周期性，我们考虑如下的地二阶常系数齐次线性微分方程的定解问题： ⎩⎨⎧∞-∞∈Φ=+Φ∞-∞∈=Φ+Φ''),( ),()2(),( ,0)()(θθπθθθλθ （1.18）其定解条件为)()2(θπθΦ=+Φ，称之为周期边界条件.定解问题（1.18）的求解方法与前面的类似：（1）,0<λλ-±=2,1r ，θλθλθ---+=Φe c ec 21)(，)(θΦ显然不是周期函数，不满足周期边值条件.所以，0<λ不是特征值.（2）,0=λ02,1=r ，θθ21)(c c +=Φ，由周期边值条件可得：,02=c 1c 为任意常数. 所以0=λ是特征值，0)(1≠=Φc θ为相应的特征函数.（3）,0>λi r λ±=2,1，θλθλθsin cos )(21c c +=Φ，由边值条件可得：n =λ，n 为正整数.因此，特征值2n n =λ，对应的特征函数{}θθθn n n sin ,cos )(=Φ.1．3 几个常用的积分公式本节我们主要给出在高等数学课程中学习过的几个重要的积分公式，这些公式将在我们的课程中得到应用.1． 平面区域上的格林（Green ）公式：设二元函数),(),,(y x Q y x P 在平面有界闭区域D 上具有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂DLdy y x Q dx y x P dxdy y y x P x y x Q ),(),()),(),((， （1.19） 其中L 是区域D 的正向边界曲线.2．斯托克斯（Stokes ）公式：设函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含空间有向曲面∑的空间区域上具有连续的偏导数，{}γβαcos ,cos ,cos =n 是∑上指定侧的单位向量，则=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑dS yP x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[(γβα dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(⎰Γ++ (1.20)其中Γ为有向空间曲线的正向，其方向与∑的侧构成右手系.根据两类曲面积分之间的关系，我们有等价的表达形式：=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑dxdy yP x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(⎰Γ++ (1.21)3． 高斯公式（Gauss ）设空间区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Ω上具有一阶连续偏导数，则=∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰Ωdxdydz zz y x R y z y x Q x z y x P )),,(),,(),,((⎰⎰∑++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,( (1.22)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧.利用高斯公式，我们容易得到如下的格林第一、第二公式. 4． 格林第一公式设),,(),,,(z y x v z y x u 是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，∑是Ω的整个边界曲面的外侧，nvn u ∂∂∂∂,依次表示),,(),,,(z y x v z y x u 沿∑的外法向的方向导数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⋅-∂∂=∆z gradvdxdyd gradu dS n vuvdxdydz u (1.23) 上式称为格林第一公式. 证明：设zvu z y x R y v u z y x Q x v uz y x P ∂∂=∂∂=∂∂=),,(,),,(,),,(，则R Q P ,,显然满足高斯公式所需的条件，将其代入高斯公式中，有：⎰⎰⎰⎰∑∑∂∂+∂∂+∂∂=∂∂dS z vy v x v u dS n v u)cos cos cos (γβαdxdydz z v u z y v u y x v u x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()()(dxdydz z v y v x v u z v z u y v y u x v x u ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)(222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∆+⋅=vdxdydz u z gradvdxdyd gradu适当整理便得到上述格林第一公式.其中222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为三维拉普拉斯（Laplace ）算子.将格林第一公式中的v u ,交换位置，则有：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⋅-∂∂=∆z gradudxdyd gradv dS n uvudxdydz v （1.24）然后将(1.23)和(1.24)两式相加，则得到所谓的格林第二公式：⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∆-∆dS n v u n uv dxdydz v u u v )( （1.25） 这里所给出的几个积分公式将在后续课程中得到应用.- 11 -。
数理方程教学大纲
《数理方程》教学大纲一、课程的基本信息课程名称：《数理方程》英文名称：Mathematics and Physical Equation课程性质：专业方向选修课课程编号：1623303002周学时：3学时总学时：48学时学分：3学分适用专业：适用于信息与计算科学专业预备知识：数学分析、高等代数、常微分方程、复变函数课程教材：姜礼尚，陈亚浙主编，《数学物理方程讲义》（第二版），高等教育出版社出版、1996年9月参考书目：[1] 谷超豪主编，《数学物理方程》（第二版），高等教育出版社、2002年．[2] 南京工学院数学教研组主编，《数学物理方法》(第五版)，高等教育出版社、1982年.[3]陈恕行主编，《数学物理方程》，复旦大学出版社、2003年.考核方式：考试制定时间：2013年10月制定二、课程的目的与任务《数理方程》是高等院校信息与计算科学专业的专业选修课之一。
数学物理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过数理方程的教学，使学生了解和掌握数理方程这一学科的基本概念、理论，培养学生的理论思维能力，为从事信息与计算科学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三个典型方程定解问题的解法，为后继课程进一步扩大数学知识面提供了必要的数学基础。
第一章方程的导出和定解条件（10学时）一、本章基本要求1．掌握典型方程和定解条件的表达形式；2．了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题；3．掌握偏微分方程的基本概念。
二、教学内容1．守恒律2．变分原理3．定解问题的适定性第二章波动方程（14学时）一、本章基本要求1．了解波动方程的导出方法，领会定解条件及意义；2．掌握初边值问题的分离变量法；3．掌握高维波动方程的柯西问题；4．了解波的传播与衰减的意义；5．了解能量不等式确定方程解的唯一性和稳定性。
二、教学内容1．一阶线性方程的特征线解法2．初值问题（一维情形）3．初值问题（高维情形）4．混合问题第三章热传导方程（14学时）一、本章基本要求1．了解通过物理原理建立热传导方程；2．掌握分离变量法解初边值问题；3．掌握傅立叶变换求解柯西问题；4．了解极值原理确定定解问题解的唯一性和稳定性。
数理方程教学大纲
数理方程教学大纲一、引言数理方程是物理学、工程学、经济学等多个学科的重要工具。
它以数学为语言，描述了自然现象中的各种复杂现象，帮助我们理解并解决实际问题。
本教学大纲旨在为学生提供全面、系统的数理方程学习方案，培养其运用数理方程解决实际问题的能力。
二、教学目标1、理解数理方程的基本概念和分类；2、掌握常见数理方程的解法及应用；3、能运用数理方程解决实际问题；4、培养学生对数理方程的兴趣和爱好。
三、教学内容1、数理方程基本概念：讲解什么是数理方程，其基本形式和分类等；2、一阶线性微分方程：讲解一阶线性微分方程的基本解法，包括分离变量法、积分因子法等；3、高阶微分方程：讲解高阶微分方程的解法，如降阶法、常数变易法等；4、偏微分方程：讲解偏微分方程的基本概念和分类，以及常见的偏微分方程的解法；5、特殊类型方程：讲解一些特殊类型的数理方程，如Sturm-Liouville 方程、Schrödinger方程等；6、数理方程应用：通过实例讲解数理方程在物理学、工程学、经济学等领域的应用。
四、教学方法1、课堂讲解：通过讲解典型例题，使学生掌握数理方程的基本概念和解题方法；2、数值模拟：利用计算机进行数值模拟，帮助学生理解数理方程的解的性质和实际应用；3、小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进交流与合作，加深对数理方程的理解；4、自主学习：鼓励学生通过自主学习，深入探究数理方程的相关知识和应用领域。
五、教学资源1、教材：选用优秀的数理方程教材，保证教学内容的科学性和系统性；2、网络资源：推荐优秀的数理方程学习网站和在线课程资源，以便学生进行拓展学习；3、教学软件：使用适当的数学软件和编程工具，辅助学生进行数理方程的学习和计算；4、实验课程：设置相关的实验课程，让学生在实践中进一步理解和掌握数理方程的相关知识。
六、评估与反馈1、课堂表现：观察学生在课堂上的表现，包括听讲、提问、讨论等方面的情况；2、作业与考试：定期布置作业和进行考试，以检验学生对数理方程知识的掌握程度；3、反馈与指导：根据学生的表现和考核结果，进行及时的反馈和指导，帮助学生发现不足并改进学习策略。
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第九章定解问题的物理意义基本要求与教学内容：1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意义,根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。
2、第一、第二类边界条件的物理意义。
根据具体物理问题，掌握确定这两类边界条件的方法。
3、初始条件的意义及确定。
本章重点：掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。
第十章利用积分变换解无界问题基本要求与教学内容：1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理解其解的物理意义。
2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。
本章重点：利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程第十一章一维有界问题的分离变量基本要求与教学内容：1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解形式。
2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。
3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(tT方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。
4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次方程和齐次边界条件的本征函数的确定；2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开；3)求解关于)(tT 方程的解；4)定解问题的解。
5、掌握非齐次边界条件的齐次化。
本章重点：⏹第二类齐次边界条件的本征值和本征函数⏹用分离变量法求解一维有界问题的解⏹利用本征函数展开解一维有界非齐次方程⏹非齐次边界条件的齐次化第十二章 球坐标的分离变量 Legendre 多项式 基本要求与教学内容：1、 了解波动方程、热传导方程的分离变量，Helmholtz 方程的导出和含时间变量满足的方程。
2、 了解Helmholtz 方程在球坐标中分离变量得到的三个方程，Legendre 方程。
3、 L egendre 方程的解，Legendre 方程的本征值问题：)()(3210)1()10)1('2'')1112x P x y l l l y y x y l l xy y x l x x ==+⎪⎩⎪⎨⎧==≤=++--±=≤本征函数：，，，，本征值：有限有限（（4、 L egendre 多项式的性质：1) 重要的公式：)()1()(,1)1(x P x P P l l l -=-=)35(21)(),13(21)(,)(,1)(232210x x x P x x P x x P x P -=-===（要求记忆） 2) Legendre 多项式的母函数∑∞==+-02)(211l l l r x P r xr1011<<≤≤-r x3) Legendre 多项式的递推关系（不要求记忆）0)()()12()()1(11=++-+-+x lP x xP l x P l l l l )()()()12('1'1x P x P x P l l l l -+-=+4) 掌握Legendre 多项式的正交关系和广义 Fourier 展开正交关系lk k l l dx x P x P δ122)()(11+=⎰- ∑∞==0)()(l l l x P C x f dx x P x f l C l l ⎰-+=11)()(212 亦可以利用系数比较法计算系数l C 。
5、 熟练掌握稳态轴对称问题1）首先根据具体物理问题写出相应的定解问题； 2）稳态轴对称问题的通解定解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==∇=)(),(0),(2θθθf r u r u a r)(cos )(),(01θθl l l l l l P r Br A r u ∑∞=++=3）稳态轴对称问题的特解：a)根据定解问题的物理意义选择特解，球内问题和球外问题通解的系数l A 和l B 的取值 。
0≡≡l l A B 球外问题：球内问题：b ）由边界条件)(),(θθf r u a r ==，利用系数比较法确定特解的系数l A 或者l B 。
本章重点：⏹ Legendre 多项式的性质 ⏹ 稳态轴对称问题的解第十三章 柱坐标的分离变量 Bessel 函数 基本要求与教学内容：1、 掌握波动方程、热传导方程的分离变量中含时间变量满足的方程，Helmholtz 方程在柱坐标中分离变量得到的三个方程以及各个参数的意义，Bessel 方程。
2、 周期性边界条件的本征值问题：1）本征值问题 ⎩⎨⎧Φ=+Φ=Φ+Φ)()2(0)()(2"ϕπϕϕϕn2）通解 {}{} ,,,,,1)(2ϕϕϕϕϕin i i in n e e e e ±±±==Φ或者 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=Φϕϕϕnn n c o s s i n)( n=0,1,2,3,…3）本征函数{}ϕin e 的正交关系及按本征函数{}ϕin e 的Fourier 展开3、 熟练掌握圆域Dirichlet 问题的通解与特解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧==∇=)(),(0),(2ϕϕρϕρρf u u a通解 ϕρρρβαϕρin n n n n nne B A u ∑∞≠-∞=-+++=0,00)(ln ),(或 )c o s s i n ()(ln ),(100ϕϕρρρβαϕρn D n C B A u n n n n n n n ++++=∑∞=-特解：根据定解问题的物理意义选择通解的各项,00,000≡=≡=n n A B ββ圆外问题：圆内问题：由边界条件，利用本征函数{}ϕin e 的正交关系，确定特解的系数，亦可以利用系数比较法。
4、 B essel 方程的解，)(ρR 满足的方程的本征值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤=-++=≤0)()(0)(][)()("2222a a R R a R n k R R ρρρρρρρρρρρ有限本征值： ax k n m n m = （nm x 是n 阶Bessel 函数的第m 个零点）本征函数： )()()(ρρρax J k J R n m n nm n ==5、 B essel 函数的性质（整数阶）1）重要的公式：)()1()(x J x J n n n -=- 2）Bessel 函数的母函数：∑∞-∞=-=n nntt x t x Je)()1(2 利用t 的一些特殊值，证明一些等式。
3） n 阶Bessel 函数的递推公式（不要求记忆）)()]([)()]([11x J x x J x dxd x J x x J x dxd n n n nn n n n+----==应用 a)递推公式展开时的一些特例；b)掌握公式在计算⎰dx x J x n m )(型积分时的应用。
4） B essel 函数的正交关系（了解）本征值a x k nm nm=和本征函数{}),2,1()( =m k J nm n ρ的意义，本征函数{}),,,2,1()( n m k J nm n =ρ正交性 ⎰+=a lm n m n n l n n m n x J a d k J k J 021)(2)()(δρρρρ 5） 本征函数{}),2,1()( =m k J nm n ρ的广义 Fourier 展开（了解）∑∞==1)()(m nm n m k J C f ρρ⎰+=anm n m n m d f k J x J a C 021)()()(21ρρρρ6、 熟练掌握柱坐标系中的定解问题的求解解题步骤和方法：（1）根据物理问题写出定解问题；（2）分离变量得到相应的方程；（3）本征值问题：确定本征值和本征函数；（4）确定关于其余变量方程的解；（5）定解问题的通解；（6）由定解条件确定待定系数（了解）。
1）稳态问题：具有圆柱形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，上、下底面具有轴对称边界条件的稳态问题的定解问题。
（1） 定解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===<=∇===)()(00),(2102ρρρρρf u f u u a z u h z z a （2） 分离变量 )()(),(z Z R z u ρρ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨=++0)()()(222222ρρρρρρρρR k d dR d R d dzm （3）本征值： a x k m m 00=本征函数：{}),2,1()(00 =m k J m ρ（4） 关于)(z Z 方程的解)()()(000z k sh B z k ch A e D e C z Z m m m m z k m z k m m m m +=+=-（5）方程的通解： )()]()([),(00100ρρm m m m m m k J z k sh B z k ch A z u ∑∞=+=2）波动问题或热传导问题：具有圆柱（圆）形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，具有轴对称初始条件的波动问题的定解问题。
a) 波动问题 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===<=∇-∂∂===)()(00),(),(002222ρφρϕρρρρt t t R u u u Rt u a t u t()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+0)()()(0)()(222222222ρρρρρρρρR k d dR d R d t T k a dtt T d m 本征值： R x k mm=本征函数：{}),2,1()(00 =m k J m ρ)sin()cos()(00t ak B t ak A t T m m m m m +=)()]sin()cos([),(00100ρρm m m m m m k J t ak B t ak A t u ∑∞=+=b) 热传导问题 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==<=∇-∂∂==)(00),(),(02ρϕρρρρt R u u Rt u D tt u⎪⎪⎩⎪⎪⎨=++0)()()(22222ρρρρρρρρR k d dR d R d dtm本征值： R x k mm=本征函数：{}),2,1()(00 =m k J m ρt k D m m m e A t T 20)()(-=)(),(001)(20ρρm m t k D m k J e A t u m ∑∞=-=本章重点：⏹ Bessel 函数的性质及其应用⏹ 圆域Dirichlet 问题的通解与特解 ⏹ 柱坐标系中的定解问题的求解。