椭圆周长和面积计算公式

椭圆周长和面积计算公式

椭圆周长、面积公式

椭圆定理（又名：椭圆猜想）

椭圆定理

（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。）

一、椭圆第一定义

椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a>F1F2

（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。）

M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；2c表示焦距。

二、椭圆定理

（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）

椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。

附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）

（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）

定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。

椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭

圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的

数值等于椭圆周率T的数值。

（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）

椭圆具有三特性，也称椭圆三态。

1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内；

2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上；

3、当椭圆b

定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。根据椭圆第一定义，a2=b2+c2，且a>b>0，则有：b2+c2=1（椭圆单位）

当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。

定义：K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。椭圆定理Ⅲ：椭圆第三常数K3与椭圆单位决定椭圆特性。当椭圆b>c时，椭圆向心率（f）大于椭圆第三常数（K3），椭圆离心率（e）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向外膨胀型；当椭圆b=c时，椭圆向心率（f）和

椭圆离心率（e）都等于椭圆第三常数（K3），椭圆为相对稳定型；当椭圆b

椭圆为向内收缩型。

三、椭圆周长、面积计算公式和定理（一）椭圆周长计算公式

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式

椭圆面积公式：S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。圆是同心圆依照勾股定理和谐组合。椭圆中有常数K1和K2，椭圆的常数与椭圆周长、面积计算公式，一个为体，一个为用。

一、椭圆周长、面积计算公式

根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。椭圆面积公式：S=πab

）乘该椭圆π椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（．

长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程

（一）发现椭圆常数

常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），

长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆

三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长

和面积。

椭圆的周长取值范围：4a

T是猜想的椭圆周率。将（1）等式与（2）等式合并，得：

4a<(2πa-4a)T<2πa （3）

根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2πa-4a)，有：

4a/(2πa-4a)

2/(π-2)

定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2)

计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数：

K1＝1.75193839388411 (2)

2.75193839388411……

椭圆第二常数：K2=K1+1

椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。

（二）椭圆周长公式推导

长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。定义：椭圆向心率为f，f=b/a 。的范围。0

K1+f

存在的数学关系。

定义：T=K1+f，将此等式代入等式（2）则有：

L=(2πa-4a)T=2(π-2)a(K1+f)

=2(π-2)a(2/(π-2)+b/a)=2πb+4(a-b)

椭圆周长计算公式：L=2πb+4(a-b)

（三）椭圆面积公式推导

椭圆面积的取值范围：0