关于结构力学位移法课件
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结构力学课件--7位移法1资料教程
梁 MBC4B2C41.741.1524.8941.746.9kNm
..............................................
柱 MBE443B3B31.153.45kNm
MCF412C2C2(4.89)9.8kNm
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45 B
Q
F BA
B
D
i1
q
i
i
A
C
其中
x 0 Q B A Q D C 0
QBAl32i
3ql 8
3i QDC l 2
6i l2
3ql 8
0
ql 3 16 i
QBA q
QDC
绘制弯矩图的方法：
（1）直接由外荷载及剪力计算；
（2）由转角位移方程计算。
课件
例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
MBAMBC 0
4iB 153iB 90
B
6 7i
16.72
11.57
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
A31iMAB61iMBA
7
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
..............................................
柱 MBE443B3B31.153.45kNm
MCF412C2C2(4.89)9.8kNm
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45 B
Q
F BA
B
D
i1
q
i
i
A
C
其中
x 0 Q B A Q D C 0
QBAl32i
3ql 8
3i QDC l 2
6i l2
3ql 8
0
ql 3 16 i
QBA q
QDC
绘制弯矩图的方法：
（1）直接由外荷载及剪力计算；
（2）由转角位移方程计算。
课件
例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
MBAMBC 0
4iB 153iB 90
B
6 7i
16.72
11.57
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
A31iMAB61iMBA
7
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
结构力学第五章位移法.ppt
NDA
NDB
2
2
NDC FNDB 2 FNDC 2 FNDA FP
建立力的 平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2) FP
由方程解得： 2PL
(2 2)EA
位移法方程
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FNDB
2FP 2 2
FNDA
FNDC
P 2
发生一个顺时针的转角 A。
A
A EI,L B
由力法求得：
MAB
MBA
M AB
3
EI L
B
3iB
M BA 0
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
5、一端固定一端铰结单元，在B端
发生一个向下的位移 。
A MAB
EI,L
B
△
由力法求得：
M
AB
3EI L2
3i L
MBA
M BA 0
两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端
弯矩表达式：
M AB
4i A
2iB
6i
L
M
F AB
M BA
4iB
2i A
6i
L
M
F BA
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M AB
3iA
6EI L2
BC
qL2 12
M AB
结构力学结构位移计算的一般公式PPT课件
仅有荷载作用时：
K
F N F Q 0 M ds
按照材料力学有：
FNP ,
EA
0
k
FQP GA
,
MP
EI
截面系数：
k
A I2
A
S2 b2
dA
所以： K
F N FNP ds EA
k F Q FQP ds GA
M M P ds EI
⑴ 梁和刚架： K
M M P ds EI
yC
5ql 4 384EI
1
2.4
h l
2
第4页/共9页
例5-1 求C点的竖向位移和转角。 ⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。
其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
M
1 2
x,
FQP
1 2
ql
qx
FQ
1 2
yC 2
l 2
MMP
dx
0 EI
l 2
k
F Q FQP
dx
0 GA
2
1 EI
l 2
0
x 2
1 2
qlx
1 2
qx2
dx
k GA
l 2
0
1 2
1 2
ql
qx
dx
5ql4 kql2 384EI 8GA
A bh, I bh3 , k 1.2, G 0.4E 12
⑶ B端的竖向位移。
yB
M M P ds EI
F N FNP ds EA
k F Q FQP ds GA
结构力学(位移计算课件)
解:近似采用直杆的位移计算公式,只考虑弯 矩影响.实际状态中的截面弯矩为
M P = FR sin θ
虚拟状态如图b,截面弯矩为
M = 1 ( R R cos θ ) = R (1 cos θ )
代入位移计算公式,可得
虚拟状态
MM P ds (1 cos α ) 2 FR 3 = (→) ΔBx = ∑ ∫ EI 2 EI 20
2
A′
§6—1 概 1. 变形和位移
述
在荷载或其它因素作用下,结构将产生 变形和位移. 变形:是指结构形状的改变. 位移:是指结构各处位置的移动.
P A
△A
y
△A
□
△Ax
A′
2. 位移的分类
线位移: AA ' (△A) △Ay △Ax 角位移: A 绝对位移 相对位移:
指两点或两截面之间的位置改变量
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
(4)讨论
5 ql 4 8 I 4 kEI ΔAy = (1 + + ) 2 2 8 EI 5 Al 5 GAl
上式中:第一项为弯矩的影响,第二,三项分别为轴力,剪力的影响. 设:杆件截面为矩形,宽度为b,高度为h,A=bh,I=bh3/12,k=6/5
5 ql 4 2 h 2 E h 2 ΔAy = [1 + ( ) 2 + ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
12 1 2
2. 变形体的虚功原理:
对于杆件结构(非刚体),在发生变形的过程中,不但各杆件发生位 移,内部材料同时也产生应变,虚功原理可以表述如下:
设结构(包括变形体)在某力系处于平衡,对于结构上产 生的任何微小的虚位移,外力所作的虚功总和等于该结构 各微段上内力所作的变形虚功总和.简单地说,外力虚功 等于变形虚功(或称内力虚功),即
M P = FR sin θ
虚拟状态如图b,截面弯矩为
M = 1 ( R R cos θ ) = R (1 cos θ )
代入位移计算公式,可得
虚拟状态
MM P ds (1 cos α ) 2 FR 3 = (→) ΔBx = ∑ ∫ EI 2 EI 20
2
A′
§6—1 概 1. 变形和位移
述
在荷载或其它因素作用下,结构将产生 变形和位移. 变形:是指结构形状的改变. 位移:是指结构各处位置的移动.
P A
△A
y
△A
□
△Ax
A′
2. 位移的分类
线位移: AA ' (△A) △Ay △Ax 角位移: A 绝对位移 相对位移:
指两点或两截面之间的位置改变量
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
(4)讨论
5 ql 4 8 I 4 kEI ΔAy = (1 + + ) 2 2 8 EI 5 Al 5 GAl
上式中:第一项为弯矩的影响,第二,三项分别为轴力,剪力的影响. 设:杆件截面为矩形,宽度为b,高度为h,A=bh,I=bh3/12,k=6/5
5 ql 4 2 h 2 E h 2 ΔAy = [1 + ( ) 2 + ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
12 1 2
2. 变形体的虚功原理:
对于杆件结构(非刚体),在发生变形的过程中,不但各杆件发生位 移,内部材料同时也产生应变,虚功原理可以表述如下:
设结构(包括变形体)在某力系处于平衡,对于结构上产 生的任何微小的虚位移,外力所作的虚功总和等于该结构 各微段上内力所作的变形虚功总和.简单地说,外力虚功 等于变形虚功(或称内力虚功),即
结构力学位移法PPT_图文
6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
结构力学课件位移法典型方程
第六章 位移法
6.3 位移法的典型方程
Canonical equations of displacement method
1. 位移法基本方程的建立
两种途径： 典型方程法：将杆端力视为各影响因素单独作用效果的 叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程。（讲授）
直接平衡法：直接利用转角位移方程，按照结点或截面 的平衡条件建立位移法方程。（自学）
······ rn1Z1 + r n2Z2 + ···+ rnnZn + RnP = 0
可用矩阵表示为：[r]{Z} +{RP} = {0}
位移法方程的物理意义： 基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零。
[r]{Z} +{RP} = {0}
式中： rii 为基本结构仅在单位结点位移Zi =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力; rij 为基本结构仅在单位结点位移Zj =1单独作用时，在附加约束 i 中 产生的约束力（i≠j） RiP 为基本结构在荷载单独作用（结点位移都锁住）时，在附加约 束 i 中产生的约束力
EI Z2
FP
EI
EA
l
2EI EI l
l
r21
3i/l
12i/l
12i/l
3i/l
Z2=1
Z1=1 r22
r11
3i
M1
4i
Z1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r12
M2
R2P FP
R1P
MP
0.24FPl
M
0.39FPl 0.13FPl
r11 30i / l 2
10kNm
2EI
6.3 位移法的典型方程
Canonical equations of displacement method
1. 位移法基本方程的建立
两种途径： 典型方程法：将杆端力视为各影响因素单独作用效果的 叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程。（讲授）
直接平衡法：直接利用转角位移方程，按照结点或截面 的平衡条件建立位移法方程。（自学）
······ rn1Z1 + r n2Z2 + ···+ rnnZn + RnP = 0
可用矩阵表示为：[r]{Z} +{RP} = {0}
位移法方程的物理意义： 基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零。
[r]{Z} +{RP} = {0}
式中： rii 为基本结构仅在单位结点位移Zi =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力; rij 为基本结构仅在单位结点位移Zj =1单独作用时，在附加约束 i 中 产生的约束力（i≠j） RiP 为基本结构在荷载单独作用（结点位移都锁住）时，在附加约 束 i 中产生的约束力
EI Z2
FP
EI
EA
l
2EI EI l
l
r21
3i/l
12i/l
12i/l
3i/l
Z2=1
Z1=1 r22
r11
3i
M1
4i
Z1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r12
M2
R2P FP
R1P
MP
0.24FPl
M
0.39FPl 0.13FPl
r11 30i / l 2
10kNm
2EI
结构力学-位移法-PPT(1)
五、解题示例 q
A
øB B øB
l
l
原结构
Z1
q
A
øB B øB
Z1= 14EI/l
CA
B
C
2EI/l 3EI/l
ql2/8M1图 ql2/8
A C
B
C
基本体系 4EI 3EI 7EI r11 l l l
Mp图
r11 Z1 R1 p
R1 P
ql 2 8
0
Z1
R1 p r11
ql2 8
7 EI
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
M AB
3
EI l
A
3
EI l2
Δ
M
f AB
M BA 0
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QAfB
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QBfA
令：i
EI l
称为“线刚度”、 AB
l
称为“旋转角”，则：
M AB
3i A
R1 r11Z1 r12 Z 2 R1P R2 r21Z1 r22 Z 2 R2P
要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和 原结构受力相同，故本例中R1和R2应该为零
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
上式既为二个未知量的位移法典型方程
计算系数和自由项
B øB
(c)
A
Z1= øB
øB
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EA 2L
2 2
杆端力与杆端 位移的关系
由结点平衡： Y 0
NDA
NDB
NDC
FNDB
2 2
FNDC
2 2
FNDA
FP
建立力的 平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2 ) FP
由方程解得： 2PL
(2 2)EA
位移法方程
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
F N D B22 F P 2
MAB A
杆端力和杆端位移的正
B
负规定：
MBA
①杆端转角θA 、θB位移
Δ，都以顺时针为正。
②杆端弯矩都以顺时针
为正。
三次超静定结构，只能用力法求解，需解除三个约束。
1、确定基本体系
2、确定基本方程
11 X 112 X 2Δ 1 CA 21 X 122 X 2 Δ 2 CB
3、确定系数与自由项
第二节 等截面直杆的转角位移方程
刚架在均布荷载作用下，产 生如图曲线所示的变形。
刚结点B处：两杆杆端都发生了
角位移 B ；
对于BC杆：其变形及受力情况
与：一根一端固定一端铰结的 单跨超静定梁，在均布荷载 q 以及在固定端B处有一角位移 B 作用下的情况相同，其杆端力 可以用力法求解。
q
B
EI
C
EI
关于结构力学位移 法
要求：熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确 定、位移法典型方程的建立及其物理意义、位移法 方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终 弯矩图的绘制。
熟记一些常用的形常数和载常数。 掌握利用对称性简化计算。 掌握荷载作用下超静定结构的计算， 位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和直 接平衡方程法。
C
D
束，B、C点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未
B
知量为： B C
桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个
结点有两个线位移。该结构的未知量为：
D
A H A V B H B V D H .
例7：
A EA=∞
C
B
排架结构，有两个铰结点A、B，
由于忽略轴向变形，A、B两点的竖
向位移为零，A、B两点的水平位移
D
F
有四个刚结点E、F、D、C，由于忽 略轴向变形，此四点的竖向位移均零， C 因此该结构的未知量为：
E F C D E F C D
A
B
结论：
刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。
例5：
A
B
例6：
A
C
有两个刚结点B、C，由于
忽略轴向变形及B、C点的约
超静定结构计算
满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下 内力和位移的物理关系是一一对应的；力满足平衡条 件；位移满足协调条件。
当以多余未知力为基本未知量作为突破口时采取 的方法就是力法；当以某些结点位移作为基本未知量 作为突破口时采取的方法就是位移法。
超静定结构计算的总原则：欲求超静定结构先取一个 基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方面与 原结构完全一样。
P F N D AF N D C22
总结一下位移法解题的步骤： ① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式； ③ 由结点平衡或截面平衡，建立方程； ④ 解方程，得到结点位移； ⑤ 结点位移回代，得到杆端力。
位移法未知量的确定
● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 ● 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点
弯矩的正负规定：绕杆端顺时针旋转为正，逆时 针旋转为负，但对结点与支座，逆时针旋转为正。 剪力与轴力的规定没变。 转角和侧移都是以顺时针为正。
正弯矩：对杆端是顺 时针转的，对结点是 逆时针转的。
下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用 下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。
如下图所示，两端固定的杆AB,发生如图所示的支座 位移，求杆AB的杆端弯矩。
D 相等，因此该结构的未知量为： A B
例8：
A
EA=∞
B
C
D
E
F
G
AB DC c
例9： D
D
C
E
C
E
该题的未知量为
C D E C H D V
A
B
A
B
对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角 位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位 移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其 变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几 个线位移。
11E1I2l323E l I3li
令 EI i l
22E1I2l323E l I3li 12 E 12 lI1 36E l I6 li21
1C
l
2C l
4、解方程，求杆端弯矩
31iX161iX2l A 61iX131iX2 l B
M AB X14iA2iB6i l M AB X22iA4iB6i l
F SA B F S B A M A lB M B A 6 liA 6 liB 1 l2 i 2
● 位移法是以力法作为基础的。
● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。
下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。
A 45o
B 45o C 结点位移与杆端位移分析
BD伸长：
杆
D结点有
D
一向下的
位移
端
DA伸长：2 2
位 移 分
FP
析
DC伸长： 2
由材料力学可知：
2
FNDB
EA L
FNDA FNDC
● 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。
结构 在外因作用下 产生
内力 变形
内力与变形间存在关系
分析超静定结构时，有两种基本方法：
第一种：
以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然 后计算位移——力法。
第二种：
以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再 计算内力——位移法。
第一节 位移法的基本概念
● 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。
● 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。
例1：
B
C 例2：
C
B
A
A
只有一个刚结点B，由于忽
略轴向变形，B结点只有 B
B结点有一个转角和水平
位移 B B H
例3：
B
A
例4：
E
D
C
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向
变形，B、C点的竖向位移为零，B、C
杆长为：L
A
未知量为： B
B
B
q
EI
C
BC杆
对于BA杆：其变形与受力情况相当 B
于：一根两端固定的单跨超静定梁 ，在B端发生了角位移 的B 结果,其杆
端力也可以用力法求解。
A
B
BA杆
结论： 在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作
一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。
为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的 杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。