第2课时 等比数列前n项和的性质及应用

第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用

学习目标：1.掌握等比数列前n 项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)．

[自 主 预 习·探 新 知]

1．等比数列前n 项和的变式

当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1

－q

n

1－q

，它可以变形为S n ＝－a 1

1－q

·q

n

＋

a 11－q ，设A ＝a 1

1－q

，上式可写成S n ＝－Aq n

＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n

是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比

q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．

思考：在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1

＋k ，则实数k 的取值是什

么？

[提示] 由题{a n }是等比数列， ∴3n

的系数与常数项互为相反数， 而3n

的系数为13，∴k ＝－13.

2．等比数列前n 项和的性质

性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n

－A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列．

性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n (n ∈N *

)，则S 偶

S 奇

＝q . ②S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．

思考：在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，如何求S 6的值？ [提示] S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80，∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.

[基础自测]

1．思考辨析

(1)等比数列{a n }共2n 项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比

q ＝2.( )

(2)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3

n －1

－1，则a ＝1.( )

(3)若数列{a n }为等比数列，则a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．( ) (4)若S n 为等比数列的前n 项和，则S 3，S 6，S 9成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

提示：(1)

S 偶S 奇＝q ＝120240＝12；(2)由等比数列前n 项和的特点知1

3

a ＝1得a ＝3；(4)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列知(4)错误．

2．已知数列{a n }为等比数列，且前n 项和S 3＝3，S 6＝27，则公比q ＝________. 2 [q 3

＝

S 6－S 3S 3＝27－3

3

＝8，所以q ＝2.] 3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1

3

，则{a n }的通项公式是a n ＝________.

【导学号：91432227】

(－2)

n －1

[当n ＝1时，S 1＝23a 1＋1

3

，所以a 1＝1.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2

3a n －1＋13

＝23(a n －a n －1)，所以a n ＝－2a n －1，即a n

a n －1＝－2， 所以{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， 所以a n ＝1×(－2)

n －1

，即a n ＝(－2)

n －1

.]

4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 35 [设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35，即a 5＋b 5＝35.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

等比数列前n 项和公式的函数特征应用

已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n

－1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列

{a n }( )

【导学号：91432228】

A ．一定是等差数列

B ．一定是等比数列

C ．是等差数列或等比数列

D ．既非等差数列，也非等比数列 B [当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；

当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式． ∴a n ＝(a －1)·a n －1

，n ∈N *

.

∴

a n ＋1

a n

＝a ，

∴数列{a n }是等比数列．] ）

已知）若数列q n

－，其中跟踪训练1．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1

＋t ，则t ＝________.

－1

3 [显然q ≠1， 此时应有S n ＝A (q n

－1)， 又S n ＝13·3n

＋t ，

∴t ＝－1

3

.]

等比数列前n 项和性质的应用

[探究问题]

1．在等差数列中，我们知道S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等差数列．在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列吗？为什么？

提示：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列． ∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n

， ∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，

S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m .

同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m

，…，

在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍组成等比数列．

2．若数列{a n }为项数为偶数的等比数列，且S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…，那么

S 偶

S 奇

等于何值？ 提示：由等比数列的通项公式可知

S 偶S 奇＝S 奇·q S 奇

＝q .

(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( ) A ．28 B ．32 C ．21 D ．28或－21

(2)等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________

【导学号：91432229】

思路探究：(1)由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列求解．