4第四节最小相位系统与非最小相位系统
简述最小相位系统的含义。
简述最小相位系统的含义。
最小相位系统是指一种通过运用最小粒度的物质单元，作为基础单元，来构建和组织一个复杂的系统的技术方法。
它的核心思想便是将一个系统拆解为尽可能小的单元，换句话说，将一个复杂的系统拆解为最小粒度的元件，进而构建出一个更可控、更可靠、更精确的系统，从而满足用户的需求。
最小相位系统的技术核心便是单元系统，它是指一个单元可以独立完成预定义的任务，并且它只依赖于它所在系统的符号系统，而与其他单元之间不存在任何耦合。
具体来讲，单元系统通过定义一系列符号系统，将一个复杂的系统拆解为尽可能小的单元，从而形成一个由互相感应和交互协调的单元系统。
尽管最小相位系统可以构建出基于一系列单元系统的复杂系统，但是它也有其缺点，其中包括对单元设计的依赖性较高，如果单元系统设计不当，将会影响系统的性能以及正确性，因此，单元的设计需要谨慎；此外，单元系统设计过程需要耗费大量时间与资源，因此，有必要在此基础之上进行设计以降低运行时的成本。
在实际应用中，最小相位系统可以用于构建各种复杂的系统，例如自动化系统、智能系统、机器学习系统、物联网系统等等。
例如，在自动化系统中，最小相位系统可以构建出一种智能的、可靠的系统，来收集、处理与解释各种外部信息，并将其转换成有用的数据，从而支持用户完成一系列复杂的任务。
另外，在物联网系统中，通过最小相位技术，可以构建出一个快速、可靠的物联网系统，用于收集、整合各种物联网设备、传感器等信息，以满足物联网应用的需求。
总的来说，最小相位系统是一种通过运用最小粒度的物质单元，作为基础单元，来构建和组织一个复杂的系统的技术方法。
它能够将一个复杂的系统拆解为尽可能小的单元，构建出一个更可控、更可靠、更精确的系统，从而满足用户的需求。
此外，最小相位系统可以用于构建各种复杂的自动化、智能、物联网系统等，以支持用户完成一系列复杂的任务。
因此，最小相位系统在实际应用中具有重要意义。
第四章第四节新 控制工程基础
两系统的对数相频特性分别为：
1 arctgT1 arctgT2
2 arctgT1 arctgT2
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1 2
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于是得系统的传递函数为：
s 0.2 1 0.1 G s s s s 1 1 4
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对于最小相位系统，当时，其相位为-90° （n-m），其对数幅频特性曲线的斜率为-20 （n-m）dB/dec，其中m、n分别为传递函数分 子分母多项式的最高阶次（n>m），而对于非 最小相位系统，当时，相位不等于-90°（nm）。
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例4-6
已知两系统的传递函数分别为 T s 1 T1 s 1 G1 s 1 , G2 s T2 s 1 T2 s 1 式中，零点、极点分布图如图4-35所示。试比 较两系统的相位滞后情况。
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显然，两系统的对数幅频特性相同，即：
20 lg G1 j 20 lg G2 j 20 lg
T1 2 1 T2 2 1
对数相频特性曲线如图4-36所示，由图可见，最小相位系统 1的相位滞后在任何频率下，均小于非最小相位系统2的相位 滞后，即：
试比较两系统的相位滞后情况。
显然，两系统的对数幅频特性相同，即：
20 lg G1 j 20 lg G2 j 20 lg
第12讲bode最小相位系统和非最小相位系统
(1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot) (2)极坐标图 (Polar plot) (3)对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)
对数幅频特性 对数频率 特性曲线
相频特性
20log G( j) dB G( j) ()
R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
G(s)
K (T1s 1)(T2s 1)(Tms 1) s (T1s 1)(T2s 1)(Tn s 1)
图5-21单位反馈控制系统
G(
j)
(
K (T1 j 1)(T2 j 1)(Tm j j) (T1 j 1)(T2 j 1)(Tn
n
n
时
40 log 40 log1 0 n
dB
所以高频渐近线与低频渐近线在
8
处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
谐振频率谐振峰值
d g() 2(1 2 )(2 ) 2(2 )2 1 0
dt
n2
n2
n n
g ( )
2
2 n
(1
2 n
2
2)2
4
2 (1
2)
G( j)
n
n
L()
20 log
1 2 (
j
1
)
(
j
)2
20log
(1
2 n2
)2
(2
n
)2
n
n
低频渐近线为一条0分贝的水平线
在低频时，即当 n
-20log1=0dB
在高频时，即当 n
最小相位系统非最小相位系统一复杂系统开环传函可
L( ) 20 lg K
( ) 0
L(ω)/dB 20lgK
φ(ω)/(°)
01
ω
01
ω
2. 积分环节 G(s) 1
s
频率特性为
G( j )
1
1
j
e2
j
其幅频特性和相频特性为
A() 1/
奈氏曲线为：
Im
() 90
ω→∞ 0
当 0时，(0) 0;当 1 时，( 1 ) ;当 时，() 。
T
T4
2
不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( ω0, －45°)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。 当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的
形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线
(描点法)
L() 20 lg 1 1 2T 2
20 lg 1 2T 2
() arctgT
L()/dB
0 0.1/T
-10 -20 -30
()/(°) 0°
0.1/T -45°
渐近线 渐近线
1/T
精确曲线
1/T
10/T
10/T
-90°
当ωT=1时, ω=1/T 称为交接频率, 或转 折频率、转角频率。
φ (ω )/(°)
0.1
ω
－90°
3. 微分环节 G(s) s
微分环节的频率特性为
j
G( j ) j e 2
其幅频特性和相频特性为 A( )
奈氏曲线为：
Im ( ) 90
ω→∞
ω＝0
0 Re
(第12讲) 最小相位系统和非最小相位系统伯特图求参数
σ
σ
1 1 T T1
1
1
T1
T
图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图
对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。 对于非最小相位系统则不是这种情况。
14
第十四页，编辑于星期二：二十二点 四十一分。
相同的幅值特性
非最小相位系统
最小相位系统
图5-19
1 jT 1 jT1 和
1 jT 的相角特性 1 jT1
15
第十五页，编辑于星期二：二十二点 四十一分。
在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角 范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相 角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围
最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关 系。
2
2
1
3
24
第二十四页，编辑于星期二：二十二点 四十一 分。
30
G(s) K s(Ts1)
-20dB/dec
20
2
转，角频率为 2 斜率为
10
0
4d 0/B de的c 直线
与，/或其延长线与0分
-10
贝线的交点为 3
-20
由此得到 1KvK -30
2 -40dB/dec
1
3
2
1 T
2 3
K T
20
第二十页，编辑于星期二：二十二点 四十一分。
静态位置误差常数的确定
R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
G (s)s K (( T T 1 1 ss 1 1 ))T T (2 (2 ss 1 1 )) (( T T n m ss 1 ) 1 )
机械工程控制基础简答题
机械工程控制基础简答题1、简述机械控制工程论的研究对象和研究任务。
【P2】答：工程控制论实质上是研究工程技术中广义系统的动力学问题。
研究对象：广义系统研究任务：动力学问题2、什么是时间响应？时间响应由哪几部分组成？【P83】答：（1）系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过程称为时间响应；（2）时间响应由瞬态响应和稳态响应两个部分组成。
3、任意列写物种典型环节的传递函数。
【P39-P45】答：（1）比例环节：G（s）=K；（2）惯性环节：G（s）=；（3）微分环节：G（s）=Ts；（4）积分环节：G（s）=；（5）振荡环节：G（s）=。
4、什么是最小相位系统？有何特点？与非最小相位系统的区别是什么？【P152】答：（1）在复平面【s】右半部分没有极点和零点的传递函数称为最小相位传递函数，具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统；（2）特点：①稳定系统中最小相位系统的相位变化范围最小；②在复平面【s】右半部分没有极点和零点；（3）区别：最小相位系统在复平面【s】右半部分没有极点和零点，非最小相位系统在复平面【s】右半部分有极点或零点；稳定系统中非最小相位系统的相位变化比最小相位系统的相位变化范围大。
5、对控制系统的基本要求是什么？【P15】答：①系统的稳定性②响应的快速性③响应的准确性（也可这样回答：对控制系统的基本要求一般归纳为稳定性、快速性和准确性。
）6、什么是传递函数的零点、极点和增益？【P38】答：系统传递函数G（s）是以复变数s作为自变量的函数，经因式分解写成一般形式G（s）（K为常数）上式中，当s=（j=1,2…，m）时，均有G（s）=0，故称,, …为G（s）的零点；当s=，G（s）的分母为均为0，即使G（s）取极值，故称为G（s）的极点。
K为系统增益。
7、什么是系统的频率特性？【P126】答：线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率特性。
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最小相位系统和非最小相位系统
关于最小相位系统的计算
• 求传递函数。关键在于计算K。 • 基本规律: 1. 根据任何一个L(ω)可以求出K； 2. 在这个ω之后的转角对计算没有作用。
L(w)
K 2 K 1 20 log 20 log L 2 1
w1
w2 w
w3
w4
关于最小相位系统的计算 • 计算L(ω)：包括已知L求ω 和给出ω求L。 • 基本规律: 1. 先确定传递函数； 2. 在ω以后的转角频率对L(ω)没有影响。
Re
-j
j
Im
r=
Re
-j
5.3.3 Nyquist稳定判据
2. 乃氏稳定判据 • 由于F(s)=1+G(s)H(s),因此F(s)包围原 j 点等于G(s)H(s), 包围-1点。 • 由于当r=时，圆弧退化成一点。事 实上乃氏曲线就是虚轴， G(s)H(s)就 是G(jw)H(jw)。 • 于是得到 ： 闭环不稳定极点个数=开环不稳定极 点个数+ G(jw)H(jw)顺时针绕-1点圈数。 -j
Im
Re
Im F()
Re
5.3.2 幅角原理
• 说明： 1. F(s)绕F()运动的方向和s绕 运动的方向一致。 2. 如果F()不包含原点，那么 N=0。 3. N只与零极点个数有关，与具 体位置无关。
Im
Re
Im F()
Re
5.3.3 Nyquist稳定判据
1. 乃氏路径 • 我们将右图所示的路径称为乃氏路 径，乃氏路径是一条闭围线。当 r=时，乃氏路径包围了整个右半 平面。 2. 乃氏稳定判据 • 如果将闭环的特征式F(s)看成映射， 那么当s沿着乃氏曲线运动的时候， F(s)包围原点的圈数N等于F(s)在右 半平面的零点个数减去极点个数。 即闭环不稳定极点个数Z减去开环 不稳定极点个数P。 N=Z-P, Z=N+P。
简述最小相位系统的含义。
简述最小相位系统的含义。
最小相位系统（MinimumPhaseSystem）是由美国科学家及工程师H.W.Bode20世纪30年代提出的一种系统，它是应用在工程控制领域的可靠控制系统辨识的重要技术。
最小相位系统的基本概念是：对工程系统进行模型辨识时，需要采用最小相位系统的模型或参数。
最小相位系统是完全可斜率低通滤波器，它是一种极致系统，具有最小的延迟。
最小相位系统的波形响应特性与一般的低通滤波器有很大的不同。
它可以有效地消除波形延迟对系统性能的影响，从而可以提高系统的精度和可靠性。
最小相位系统有许多应用，其中最常见的是信号处理领域的应用。
在这类应用中，通常需要采用最小相位系统的模型或参数，以较高精度地测量检测信号的参数，如频率、幅度等。
例如，在声学检测领域，常常使用最小相位系统来测量声音参数，如频率、幅度等，这样可以获得更准确的检测结果。
此外，最小相位系统在控制领域的应用也很广泛，例如，在模型预测控制（MPC）领域，它可用来设计最小相位积分控制器，以更精
确地控制过程参数的变化，从而提高系统的精度和可靠性。
综上所述，最小相位系统是一种重要的系统辨识技术，它具有最小的延迟，可以有效地消除波形延迟对系统性能的影响，从而提高系统的精度和可靠性。
它在工程技术领域和信号处理领域有许多广泛的应用，并在不断发展当中，成为系统控制领域一种重要的理论和技术基础。
研究最小相位系统将有助于更好地探求出工程控制系统的解决
方案，从而推动工程技术的发展。
5.5最小相位系统与非最小相位系统5.6用频率特性求系统传递函数5.7系统的性能指标
二阶系统的谐振频率为：
r n 1 2 2
1 10T1
1 T1
1 T2
10 T2
180° 135° 90° 45° 0° -45° -90° -135° -180° -225° -270°
j ( )
j 3 ( )
j 4 ( )
j1 ( )
j 2 ( )
由图可知最小相位系统是指在 具有相同幅频特性的一类系统 中，当从0变化至∞时，系统 的相角变化范围最小，且变化 的规律与幅频特性的斜率有关 系(如 j1() )。而非最小相位系 统的相角变化范围通常比前者 大(如j2()、j3()、j5())； 或者相角变化范围虽不大，但 相角的变化趋势与幅频特性的 变化趋势不一致(如 j4() )。
由Bode图确定系统的传递函数
由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图 相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确 定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统 的数学模型。 最小相位系统
A sin t
信号源
对象
记录仪
步骤： • 对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理， 即用斜率为20dB/dec整数倍的直线段来近似测量 到的曲线。 当某处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化 时，此即为某个环节的交接频率，此环节依据斜 率的变化来确定。 系统最低频率段的斜率由开环积分环节的个数决 定。低频段斜率为-20dB/dec,则系统开环传递函 数有个积分环节，系统为型系统。
•
•
开环增益K的确定
由 =1 作垂线与低频段 ( 或其延长线 ) 的交点的分 贝值=20lgK(dB)，由此求出K值。 低频段斜率为 -20dB/dec，低频段 ( 或其延长线 )
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
1 s 1) 0.8 G( s) = 1 1 s 2 ( s 1)( s 1) 30 50 3.2(
Wednesday, April 01, 2015
10
非最小相位系统的频率特性 在前面所讨论的例子中，当 w 0 时，对数幅频特性的高频
渐近线的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相频都趋于 - (n - m) 。具有
与 的几何中点。
1 T2
w
1/10T1 1/T1
10 / T1
1/T2
-39.3°
10/T2
-5.1°
j1(w)
j2(w) j3(w) j4(w) j5(w)
Wednesday, April 01, 2015
-5.1° -39.3° -54.9°
-6.3° -50.7° 6.3° 50.7°
-90° -129.3° -173.7°
-60 0.1
-40dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
-60dB/dec
0.8 1
4
10
30 50
100
1000
L(w ) = 20lg K 20lg 1 (
Wednesday, April 01, 2015
w
0.8
) - 20lg w - 20lg 1 (
2 2
w
30
) - 20lg 1 (
最小相位系统
Wednesday, April 01, 2015
非最小相位系统
13
奈氏图为：
0 .1
1
- 0 .1
1
= 1, T = 10
= 1, T = 10
第四章系统的频率特性分析
第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。
4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。
输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。
最小相位系统
图7－7 典型采样系统结构图
2．先讨论如何使系统的稳态误差为零 由图可知，误差信号E(Z)为
C(Z) E(Z)＝R(Z)－C(Z)＝R(Z) 1－ ＝R(Z) [1－G B (Z) ] R(Z)
（7-10） 根据终值定理可求得系统的稳态误差为
e*(∞) = lim(1－Z －1 )E( Z ) = lim(1－Z －1 )R( Z ) [1－G B ( Z )]
结论1：为使系统稳态误差为零，应选择： 结论 ：为使系统稳态误差为零，应选择： 1－GB(Z)＝（ －Z－1）n， n≥m，即 ＝（1－ － ＝（ ， GB(Z)＝1－（1－Z－1）n （7-15） 3．再讨论如何使调节时间最短 我们知道，误差函数可以表示成幂级数的形式 即，根据Z变换的定义：
E(Z)＝R(Z)－C(Z)＝e(0T)Z－0＋e(1T)Z－1＋e(2T)Z－2＋ …＋e(nT)Z－n＋… （7-16）
Z －1 D( Z ) = (1－Z －1 )G( Z )
（7-21）
（7-22） （7-23） ） （7-24）
②单位斜坡输入：m＝2，P(Z)＝TZ－1
由式（7－17）得 GB(Z)＝1－（ －Z－1）2 －（1－ ＝ －（
由式（ － ） 由式（7－20）得
1－(1－Z －1 ) 2 D( Z ) = (1－Z －1 ) 2 G( Z )
（7-20） 式（7－19）和式（7－20）是计算数字控制器D (Z)的通用公式，在系统传递函数G (Z)确定的情 况下，它们只与输入信号的形式有关。
5．举例 由式（7－12）可知：
R(Z)＝
(1－Z )
P(Z)
-1 m
①单位阶跃输入：m＝1，P(Z)＝1 由式（7－17）得 GB(Z)＝Z－1， ＝ 由式（7－20）得
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
T2 的相角变化范围最小，且变化 的规律与幅频特性的斜率有关 系(如 j1(w) )。而非最小相位系 统的相角变化范围通常比前者
w 大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；
或者相角变化范围虽不大，但 相角的变化趋势与幅频特性的
变化趋势不一致(如 j4(w) )。
10
T2
5
最小相位系统和非最小相位系统
-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) -40 -50
⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -60 0.1
-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)
5.6(1 s 1)
G(s) =
7 s( 1 s 1)
2
j (w) = -90 tg-1 w - tg-1 w
7
2
Saturday, November 28,
Saturday, November 28, 2020
6
最小相位系统和非最小相位系统
5 4.8 4.6 4.4
在u=0(w=w0)时
ln
ctgh u 2
；
4.2 4
偏离此点，函数衰减很快。
3.8
3.6 3.4 3.2
在u=±0.69（在w0上下倍频
3 2.8 2.6 2.4
程处， ln ctgh u = 1.1 ； 2
一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系 统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相 位环节。
Saturday, November 28, 2020
15
- du
2
式中j0(w)为系统相频特性在观察频率w0处的数值，单位为弧度； u=ln(w/w0)为标准化频率；A=ln|G(jw)|；dA/du为系统相频特性的
自动控制原理4 第四节控制系统根轨迹绘制
显然，s1 0.48，不在根轨迹上。分离点为：s2 3.52 。
19
4.4 控制系统根轨迹的绘制
20
4.4 控制系统根轨迹的绘制
比较正负反馈的根轨迹方程：
m
(s zi )
若开环传递函数为：
Gk (s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
则正负反馈的根轨迹方程分别为：
m
(s zi )
5
4
141.9
3
2
j2.5
Imag Axis
1
0.9
0
-1
-2
j2.5
-3
-4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis
8
4.4 控制系统根轨迹的绘制
[例4-7]设开环系统传递函数为：Gk
(s)
(s
kg (s 1) 0.1)(s 0.5)
试绘制根轨迹。
[解]：⑴开环零点 z1 1，开环极点 p1 0.1, p2 0.5, 根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。 一支在无穷远处。
1
j4
1 (1 2 3)
( tg 1 4 tg 14 90) 141 .9
3
根据对称性，可知-3-j4处的出射
角 2 为： 2 141 .9 ⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为：
s4 8s3 37s2 50s kg 0 劳斯阵为：
2
3 2
3
1
0 j4
s4
1
s3
8
⑥会合点与分离点（重根点）：分离角为 d
2
由N(s)D(s) N (s)D(s) 0 得：4s3 24s2 74s 50 0
非最小相位系统的研究
添加标题
时域分析法
非最小相位系 统的定义和特 点
时域分析法的 基本原理和步 骤
时域分析法的 应用实例
时域分析法的 优缺点和改进 措施
0
0
0
0
12Biblioteka 34稳定性分析
稳定性定义：系统在受到外部干扰后能够恢复到稳定状态的能力
稳定性分析方法：包括频域分析、时域分析、根轨迹分析等
稳定性分析的应用：在控制系统设计中，稳定性分析是保证系统稳定运行的重要手段 稳定性分析的局限性：在某些情况下，稳定性分析可能无法准确预测系统的稳定性，需 要结合其他方法进行综合分析。
在调制解调中，非最小相位系 统可以提高信号的抗干扰能力， 降低误码率。
在信道编码中，非最小相位系 统可以提高信道容量，降低传 输错误率。
在信号检测中，非最小相位系 统可以提高检测性能，降低误 报率。
在雷达系统中的应用
非最小相位系统可以消除雷 达信号中的干扰，提高雷达 的抗干扰能力。
非最小相位系统在雷达系统 中的应用广泛，可以提高雷 达的性能和可靠性。
软件实现
软件工具： Matlab、 Python等
数据处理：信 号采集、滤波、
频谱分析等
编程方法：函 数调用、循环、
条件语句等
结果展示：图形、 表格、动画等
Part Five
非最小相位系统的 应用实例
在通信系统中的应用
非最小相位系统在通信系统中 的应用广泛，如调制解调、信 道编码、信号检测等。
快。
应用领域：最小相位系统 常用于需要稳定输出的场 合，如控制系统；非最小 相位系统常用于需要快速 响应的场合，如通信系统。
在信号处理中的应用
非最小相位系 统在滤波器设 计中的应用
(第12讲) 最小相位系统和非最小相位系统伯特图求参数
4
5.2典型环节频率特性曲线的绘制 5.2.1 增益K
L( ) 20log K ( ) 0
幅频特性和相频特性曲线 请看下页
5
j 1 5.2.2 积分与微分因子
L( ) 20log
G( j ) 1 j
1 20log (dB) j
( ) 90
第12讲
程向红
最小相位系统和非最小相位系统 伯特图求参数 典型环节的极坐标图
1
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法
频率特性及其表示法
典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
2
5.1.2 频率特性的表示法
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程的直线
图5-10表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线 及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。 请看下页
7
[1 2 ( j / n ) ( j / n ) 2 ]1 5.2.4 二阶因子
1 1 2 ( j
16
判断最小相位系统的另一种方法
最小相位系统，相角在
时变为
90(n m)dB / dec
n为极点数，m为零点数。 时的斜率都等于
两个系统的对数幅值曲线在
20(n m)dB / dec
因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检 查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在 如果当 时 对数幅值曲线的斜率为 并且相角等于
14
Bode Diagram 0
Magnitude (dB)
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
Wednesday, April 01, 2015
15
0 0
最小相位系统和非最小相位系统
例：已知最小相位系统的渐近幅频特 60 性如图所示，试确定系统的传递函数，50 40 并写出系统的相频特性表达式。 解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec所 以有一个积分环节； ⒉在w=1处，L(w)=15dB，可得 20lgK=15，K=5.6 ⒊在w=2处，斜率由-20dB/dec变为 -40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) ⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1) 1 5.6( s 1) 7 G( s) = 1 s( s 1) 2
这种特征的系统称为最小相位系统。在最小相位系统中，具有 相同幅频特性的系统（或环节）其相角（位）的变化范围最小， 。相角变化大于最小值的系统称为非最小 如上表示的
( n - m)
2
相位系统。
2
[结论]：在s右半平面上没有零、极点的系统为最小相位系统，
相应的传递函数为最小相位传递函数；反之为非最小相位系统。
Wednesday, April 01, 2015
2
最小相位系统和非最小相位系统
例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。
T2 s 1 G1 ( s) = T1s 1 1 - T2 s G2 ( s) = T1s 1 T2 s 1 G3 ( s) = 1 - T1s G4 ( s) = 1 - T2 s 1 - T1s
与 的几何中点。
1 T2
w
1/10T1 1/T1
10 / T1
1/T2
-39.3°
10/T2
-5.1°
最小相位系统和非最小相位系统比较
定义1：一个系统被称为最小相位系统，当且仅当这个系统是因果稳定的，有一个有理形式的系统函数，并且存在着一个因果稳定的逆函数。
定义2：连续系统：开环传递函数的所有零极点都在s 平面虚轴左侧（有说包含虚轴），无迟滞环节。
离散系统：开环传递函数的所有零极点都在单位圆内（有说包含单位圆），无迟滞环节。
接下来解释三个问题：1.为什么有迟滞环节就是非最小相位系统？连续系统：迟滞环节做泰勒近似1s e s ττ-≈-，显然有一正根1τ，其在s 右边平面。
从迟滞环节的相位特性来看，也是对传递函数相频特性有延迟。
（非严格证明）离散系统：对于环节k z -则其逆系统有环节k z ，其为非因果系统。
从迟滞环节的相位特性来看，也是对传递函数相频特性有延迟。
（非严格证明）2.为什么称为最小相位系统最小相位系统在相同的幅频特性情况下，其相移为最小的系统，也称最小相移系统。
举例：()()()()12222211s sG s G s s s +-==++第一个为最小相位系统，第二个为非最小相位系统，其幅频特性和相频特性曲线如下其幅频特性相同，而显然第二个系统的相频特性要远远小于第一个系统（由于三角函数换算关系，第二系统的相位均应该按照-2π来看，故其范围在[0 -270]之间，远小于第一个系统）M a g n i t u d e (d B )10101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)再对其输入sin 信号来直观感受一下，显然G2的对sin 的延时大于G13.最小相位系统控制从频域特性来理解，针对两个幅频特性相同的最小相位系统和非最小相位系统，如果给同样的输入，将该输入转化到频域上，则非最小相位系统对该输入各个频段的相位响应均滞后于最小相位系统，因此最终输出结果也比最小相位系统来得迟缓，甚至有反向效应。
见仿真示例，故一般而言非最小相位系统是比较难控制的：M a g n i t u d e (d B )10101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)s ys其中G2在起始处，输出有明显的反向增大效果，之后阶跃相应也比较缓慢。
最小相位系统与非最小相位系统
从传递函数角度看,如果说一个环节的传递函数的极点和零点的实部全都小于或等于零,则称这个环节是最小相位环节.如果传递函数中具有正实部的零点或极点,或有延迟环节,这个环节就是非最小相位环节.
对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点或零点的实部小于或等于零,则称它是最小相位系统.如果开环传递函中有正实部的零点或极点,或有延迟环节,则称系统是非最小相位系统.因为若把延迟环节用零点和极点的形式近似表达时(泰勒级数展开),会发现它具有正实部零点.
最小相位系统具有如下性质:
1,最小相位系统传递函数可由其对应的开环对数频率特性唯一确定;反之亦然.
2,最小相位系统的相频特性可由其对应的开环频率特性唯返航一确定;反之亦然.
3,在具有相同幅频特性的系统中,最小相位系统的相角范围最小.
非最小相位系统一词源于对系统频率特性的描述，即在正弦信号的作用下，具有相同幅频特性的系统（或环节），最小相位系统的相位移最小，而非最小相位系统的相位移大于最小相位系统的相位移。
非最小相位系统根轨迹的绘制方法同最小相位系统完全相同。
最小相位系统的幅频特性和相频特性之间存在确定的对应关系。
两个特性中，只要一个被规定，另一个也就可唯一确定。
然而，对非最小相位系统，却不存在这种关系。
非最小相位系统的一类典型情况是包含非最小相位元件的系统或某些局部小回路为不稳定的系统；另一类典型情况为时滞系统。
非最小相位系统的过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。
因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。
较好的解决办法是设法取一些其他信号或增加控制点。
例如在大型锅炉汽包的水位调节中增加一个蒸汽流量的信号，形成所谓的双冲量调节。
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T1
180° j (w )
135° 90°
j3 (w)
45°
0°
-45°
-90° -135°
j 2 (w)
-180°
-225°
-270°
1
1
10T1
T1
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w
1 T2
j 4 (w) j1 (w )
j5 (w)
由图可知最小相位系统是指在 具有相同幅频特性的一类系统 中，当w从0变化至∞时，系统
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3
最小相位系统和非最小相位系统
设 T1 =10T2， =T2 可计算出下表，其中w= 与 1 的几何中点。
10/T1为对数坐标中
1 T1
T2
w 1/10T1 1/T1 10 /T1 1/T2 10/T2
j1(w) -5.1° -39.3° -54.9° -39.3° -5.1°
j2(w) -6.3° -50.7° -90° -129.3° -173.7°
guhdu 2
式中j0(w)为系统相频特性在观察频率w0处的数值，单位为弧度； u=ln(w/w0)为标准化频率；A=ln|G(jw)|；dA/du为系统相频特性的 斜率，当L(w)的斜率等于20dB/dec时，dA/du =1；函数
u
e e u 2
-u2
lnctgh =ln
2
e -e u
-u
2
2
为加权函数，曲线如图
jw w w 4()= - t- g 1 T 2 t- g 1 T 1
G5(s)
=T2s1e-s T1s1
jw w w w 5 ()= t- g 1 T 2 - t- g 1 T 1 - 5.3 7
A 1(w)=A 2(w)=A 3(w)=A 4(w)=A 5(w)=1 1 ((T T 1 2 w w))2 2
对最小相位系统：w=0时j (w)=-90°×积分环节个数 ； w=∞时j (w)=-90°×(n-m) 。
不满足上述条件一定不是最小相位系统。 满足上述条件却不一定是最小相位系统。
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2
最小相位系统和非最小相位系统
例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。
G1(s)
=
T2s T1s
在最小相位系统中，对数频率特性的变化趋势和相频特性的
变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性
的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地
确定其相频特性。
伯德证明，对于最小相位系统，对数相频特性在某一频率的
相位角和对数幅频特性之间存在下述关系：
j(w0)=1
dAlnct -du
⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -60 0.1
-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)
5.6( 1 s 1)
G(s) =
7 s( 1 s 1)
2
j(w)=-90tg -1w-t w g -1
72
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最小相位系统和非最小相位系统
-20dB/dec -40dB/dec
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6
最小相位系统和非最小相位系统
5 4.8 4.6 4.4
在u=0(w=w0)时
ln ctghu 2
；
4.2 4
偏离此点，函数衰减很快。
3.8
3.6 3.4 3.2
在u=±0.69（在w0上下倍频
3 2.8 2.6 2.4
程处， ln ctgh u =1.1 ； 2
2.2 2
1.8
12
7 10
-20dB/dec
100
1000
8
最小相位系统和非最小相位系统
例：已知最小相位系统的渐近幅频特 60 性如图所示,试确定系统的传递函数。 50
j3(w) 6.3° 50.7° 90° 129.3° 173.7°
j4(w) 5.1° 39.3° 54.9° 39.3° 5.1°
j5(w) -5.7° -45° -73° -96.6° -578.1°
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4
最小相位系统和非最小相位系统
0 L(w)
-5
-10
-15
-20
1
1
10T1
性与相频特性紧密联系的，当给定了幅频特性，其相频特性也随
之而定，反之亦然。因此，可只根据幅频特性（或只根据相频特
性）对其进行分析或综合；而非最小相位系统则不然，在进行分
析或综合时，必须同时考虑其幅频特性与相频特性。
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例：已知最小相位系统的渐近幅频特 60
性如图所示，试确定系统的传递函数，50
并写出系统的相频特性表达式。
40
解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec所
30 20
以有一个积分环节；
15 10
⒉在w=1处，L(w)=15dB，可得
0
-10
20lgK=15，K=5.6
-20
⒊在w=2处，斜率由-20dB/dec变为 -30
-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) -40 -50
在u=±2.3，即在w0上下十
1.6 1.4 1.2
1
倍频程处，lnctghu = 0.2 ；
2
0.8 0.6 0.4
即相频特性在w0处的数值
0.2
0
0.01
0.1
1
10
100 ww0 主要决定于在w0附近的对
-4.6
-2.3
0
2.3
数幅频特性的斜率。 4.6 u=ln(ww0)
上述公式称为伯德公式。该式说明对于最小相位系统，其幅频特
最小相位系统与非最小相位系统
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1
最小相位系统和非最小相位系统
最小相位系统和非最小相位系统 定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节 的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函 数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节 的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传 递函数。 在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小， 并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具 有内在的关系。
1 1
G2(s)
=
1-T2s T1s 1
jw w w 1()=tg - 1 T 2 - tg - 1 T 1
jw w w 2()= - t- g 1 T 2 - t- g 1 T 1
G3(s)
=
T2s 1 1-T1s
j3(w)=tg - 1 T 2wtg - 1T 1 w
G4(s)
=
1-T2s 1-T1s
10
T2 的相角变化范围最小，且变化 的规律与幅频特性的斜率有关 系(如 j1(w) )。而非最小相位系 统的相角变化范围通常比前者
w 大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；
或者相角变化范围虽不大，但 相角的变化趋势与幅频特性的
变化趋势不一致(如 j4(w) )。
1
10
T2
T2
5
最小相位系统和非最小相位系统