4第四节最小相位系统与非最小相位系统

性与相频特性紧密联系的，当给定了幅频特性，其相频特性也随
之而定，反之亦然。因此，可只根据幅频特性（或只根据相频特
性）对其进行分析或综合；而非最小相位系统则不然，在进行分
析或综合时，必须同时考虑其幅频特性与相频特性。
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例：已知最小相位系统的渐近幅频特 60
性如图所示，试确定系统的传递函数，50
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最小相位系统和非最小相位系统
5 4.8 4.6 4.4
在u=0(w=w0)时
ln ctghu 2
；
4.2 4
偏离此点，函数衰减很快。
3.8
3.6 3.4 3.2
在u=±0.69（在w0上下倍频
3 2.8 2.6 2.4
程处， ln ctgh u =1.1 ； 2
2.2 2Hale Waihona Puke Baidu
1.8
⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -60 0.1
-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)
5.6( 1 s 1)
G(s) =
7 s( 1 s 1)
2
j(w)=-90tg -1w-t w g -1
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最小相位系统和非最小相位系统
-20dB/dec -40dB/dec
对最小相位系统：w=0时j (w)=-90°×积分环节个数 ； w=∞时j (w)=-90°×(n-m) 。
不满足上述条件一定不是最小相位系统。 满足上述条件却不一定是最小相位系统。
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最小相位系统和非最小相位系统
例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。
G1(s)
=
T2s T1s
并写出系统的相频特性表达式。
40
解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec所
30 20
以有一个积分环节；
15 10
⒉在w=1处，L(w)=15dB，可得
0
-10
20lgK=15，K=5.6
-20
⒊在w=2处，斜率由-20dB/dec变为 -30
-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) -40 -50
1 1
G2(s)
=
1-T2s T1s 1
jw w w 1()=tg - 1 T 2 - tg - 1 T 1
jw w w 2()= - t- g 1 T 2 - t- g 1 T 1
G3(s)
=
T2s 1 1-T1s
j3(w)=tg - 1 T 2wtg - 1T 1 w
G4(s)
=
1-T2s 1-T1s
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最小相位系统和非最小相位系统
设 T1 =10T2， =T2 可计算出下表，其中w= 与 1 的几何中点。
10/T1为对数坐标中
1 T1
T2
w 1/10T1 1/T1 10 /T1 1/T2 10/T2
j1(w) -5.1° -39.3° -54.9° -39.3° -5.1°
j2(w) -6.3° -50.7° -90° -129.3° -173.7°
jw w w 4()= - t- g 1 T 2 t- g 1 T 1
G5(s)
=T2s1e-s T1s1
jw w w w 5 ()= t- g 1 T 2 - t- g 1 T 1 - 5.3 7
A 1(w)=A 2(w)=A 3(w)=A 4(w)=A 5(w)=1 1 ((T T 1 2 w w))2 2
10
T2 的相角变化范围最小，且变化 的规律与幅频特性的斜率有关 系(如 j1(w) )。而非最小相位系 统的相角变化范围通常比前者
w 大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；
或者相角变化范围虽不大，但 相角的变化趋势与幅频特性的
变化趋势不一致(如 j4(w) )。
1
10
T2
T2
5
最小相位系统和非最小相位系统
T1
180° j (w )
135° 90°
j3 (w)
45°
0°
-45°
-90° -135°
j 2 (w)
-180°
-225°
-270°
1
1
10T1
T1
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w
1 T2
j 4 (w) j1 (w )
j5 (w)
由图可知最小相位系统是指在 具有相同幅频特性的一类系统 中，当w从0变化至∞时，系统
j3(w) 6.3° 50.7° 90° 129.3° 173.7°
j4(w) 5.1° 39.3° 54.9° 39.3° 5.1°
j5(w) -5.7° -45° -73° -96.6° -578.1°
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最小相位系统和非最小相位系统
0 L(w)
-5
-10
-15
-20
1
1
10T1
在u=±2.3，即在w0上下十
1.6 1.4 1.2
1
倍频程处，lnctghu = 0.2 ；
2
0.8 0.6 0.4
即相频特性在w0处的数值
0.2
0
0.01
0.1
1
10
100 ww0 主要决定于在w0附近的对
-4.6
-2.3
0
2.3
数幅频特性的斜率。 4.6 u=ln(ww0)
上述公式称为伯德公式。该式说明对于最小相位系统，其幅频特
guhdu 2
式中j0(w)为系统相频特性在观察频率w0处的数值，单位为弧度； u=ln(w/w0)为标准化频率；A=ln|G(jw)|；dA/du为系统相频特性的 斜率，当L(w)的斜率等于20dB/dec时，dA/du =1；函数
u
e e u 2
-u2
lnctgh =ln
2
e -e u
-u
2
2
为加权函数，曲线如图
最小相位系统与非最小相位系统
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最小相位系统和非最小相位系统
最小相位系统和非最小相位系统 定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节 的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函 数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节 的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传 递函数。 在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小， 并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具 有内在的关系。
12
7 10
-20dB/dec
100
1000
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最小相位系统和非最小相位系统
例：已知最小相位系统的渐近幅频特 60 性如图所示,试确定系统的传递函数。 50
在最小相位系统中，对数频率特性的变化趋势和相频特性的
变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性
的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地
确定其相频特性。
伯德证明，对于最小相位系统，对数相频特性在某一频率的
相位角和对数幅频特性之间存在下述关系：
j(w0)=1
dAlnct -du