最短路径--教学设计(冯丽华)

最短路径--教学设计(冯丽华)

最短路径

第二师华山中学初中数学组

冯丽华

2015/9/30 《最短路径》教学设计

一、内容和内容解析

1、内容

利用轴对称探究简单的最短路径问题。

2、内容解析

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体，开展最短路径问题的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化“两点之间，线段最短”问题。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。

二、目标和目标解析

1、目标

能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。

2、目标解析

（1）学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；

（2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；

（3）能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求线段和最短；

（4）在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

三、教学问题诊断分析

最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验明显不足，特别是面对实际背景的极值问题无从下手。

对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最短，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求点。但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最短，一些学生感到茫然，找不到解决问题的方法。

在证明最短时，需要在直线上任选一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和学生想不到，不会用。

教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”。在证明“最短”时，教师可告诉学生证明“最大”“最小”问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较证明。由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（点C除外）都成立。

本节课的教学难点是：利用轴对称将同侧线段和最短问题转化为异侧线段和最短问题，并能进行简单推理论证。

四、教学支持条件分析

在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。

教具准备：直尺、几何画板，ppt

环节教师活动学生活动设计意图

一

复习引入1.【问题】：看到课题，回忆学

过哪些最短路径问题？

2.以上两个问题，我们称为“最

短路径”问题。

3、小试身手

已知:如图,点A，B分别是直线

l异侧的两个点，如何在直线l

上找到一个点，使得这个点到

点A、点B的距离的和最短？

A B

两点之间，线段最短

直线外一点与直线上各

点所连线段中，垂线段最

短。

从学生已经学

过的知识入

手，为进一步

丰富、完善知

识结构做铺

垫。

二探究1.提出问题

【故事引入】：相传，古希腊亚

历山大里亚城里有一位久负盛

名的学者，名叫海伦．有一天，

一位将军专程拜访海伦，求教

一个百思不得其解的问题：从

认真读题，仔细思考。

新知图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”。

二探究新知2.分析问题

（1）.【转化】：你能将实际问

题抽象为数学问题吗？

（2）．【度量】：请尝试找出符

合条件的点C；分别度量出

AC,BC的长度，并计算AC+BC，

记录在题目旁边。

（3）.【展示】：

巡视发现学生不同的作法（尽

可能多），投影，拍照。

（4）.【追问】：上述几种方

法中，哪一种作法中的点C能

使得AC+BC较短？

将实际问题中的“地点”

“河”抽象为数学中的

“点”“线”，把实际问题

抽象线段和最小问题。

【展示】：学生展示并能

简单说明思路。

作法1：

作法2：：

作法3：

通过“度量”的数据得出

结论。

【小结】：发现第3种作

法是较短的，第1种作法

只能说明在河l上取一

点，到A、B两地的距离

相等。第2种作法是利用

“两点之间线段最短”，

学生主动探

索，充分发挥

学生的主动

性。

展示多种方

法，产生思维

冲突，引发学

生进一步探究

的学习欲望。

l

A

B

C

提高归纳：

通过梳理“将

军饮马问题

“的解题思

路，帮助学生

归纳解决实际

问题的探究过

程，让学生充

分体会轴对称

变换可以将不

共线的两条路

径转化到一条

直线上。

四

拓展应用【问题】：如图，A为马厩，牧

马人某一天要从马厩牵出马，

先到草地边某一处牧马，再到

河边饮马，然后回到马厩。请

你帮他确定这一天的最短路

线。

【小结】：在解决最短路径问题

时，我们通常利用轴对称将同

侧转化为异侧问题，化折线为

直线，从而作出最短路径的选

择。

【教师寄语】：现实生活中需要

我们寻找简单、实用的方法，

但学习无捷径，希望大家勤于

思考，多多动脑，用数学知识

武装自己，做一位有智慧的小

将军。

F

E

C

B

A

作两次轴对称，找到

点B、点C，连接BC与两

直线的交点E、F，

AE+EF+FC即为所求路径。

学以致用

及时复习所学

的知识。