第5章电路与信号分析基础.ppt

脉宽为τ，脉冲幅度为A，重 复周期为T1的周期矩形脉冲信号， 在一个周期内的表达式为
f
(t)

A


t

T1 2




t

T1 2

其指数型傅里叶系数为
Fn

1 T1
T1 /2 f (t)e jn1tdt 1
T1 /2
T1
/2 /2
Ae jn1tdt
e jn1t

an
jbn 2
e jn1t

令
Fn

1 2
(an

jbn )
(n 1, 2,3L )
由于an是n的偶函数，bn是n的奇函数，于是有
F-n

1 2
(an

jbn )

1 2
(an

jbn )
(n 1, 2,3L )
1
1 T1/2
F0 2 (a0 b0 ) T1

A T1

sin

n1 2
n1


A T1

Sa

n1 2

2
5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱
函数 Sa(x) sin x 称为抽样函数， x
它有如下特点：
(1) Sa(x)是偶函数。
(2) 除了x = 0外，Sa(x)的过零点与sinx类似 sin x

cos(n1t
)
n1
T1 /2 0



4A n
0
傅里叶级数展开式为
n 1,3,5,L n 2, 4,6,L
f
(t)

4A
sin(1t)

1 3
sin(31t)

1 5
sin(51t)

1 7
sin(71t)
L

5.3 如图5.8所示周期三角波，在一个周期内的表达式为
B

2

或
Bf
1

显然，有效频谱宽度与脉冲宽度成反比。
5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱
4．周期信号的脉冲宽度和周期对频谱的影响
0
cos n = n2
傅里叶级数展开式为
f
(t)

4

2
N n1
1 (2n 1)2
cos[(4n 2)t]
5.2 连续周期信号的频谱
周期信号各个频率分量的振幅及相位沿频率轴分布的图形， 称为信号的频谱图，包括幅度频谱图和相位频谱图两种。按照 展开式的形式不同，分为单边频谱图和双边频谱图。
a0

A 2
F1

F1
e j1

1 2
A1e j1

A
j
e2
2
F1
F1
e j1
1 2
A1e j1

A
j
e2
2
F2 F2

F2 F2
e j2
1 2
A2e j2

e j2

1 2
A2e j2
A
j
e2
4 A
j
e2
4
F3

F3
e j3
1．三角型傅里叶级数
对于周期为T1的周期信号 f(t) ,其三角型傅里叶级 数展开式为

f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t)
式中
n1
1 2f1 2 T1
称为周期信号的角频 率也称为基波角频率
a0是直流分量,an和bn分别是余弦分量和正弦分 量的幅度，又称为傅里叶系数。
式中
n1
2 T1/2
a0 T1 0 f (t)dt
an

4 T1
T1 / 2
f (t)cos(n1t)dt
0
n 1,2,3,L
5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系
2．奇对称信号
若f(t)关于原点对称, 称 f(t)为奇信号，则有

f (t) bn sin(n1t) n1
0
n 1,3,5,L n 1,3,5,L
5.1 如图5.6所示的周期对称方波，求其傅里叶 级数展开式。
f(t)是奇函数，因此
a0 0, an 0
bn

4 T1
T1 /2 0
f
(t ) sin(n1t )dt

4 T1
T1 /2
A sin(n1t )dt
0

4A T1

5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
a0、an和bn的计算公式为：

a0

1 T1
T1 /2
f (t)dt
T1 /2

an

2 T1
T1/2 f (t) cos(n1t)dt
T1 /2
2
bn

T1
T1 / 2
f (t)sin(n1t)dt
T1 /2
n 1, 2,3,L n 1, 2,3,L
式中
bn

4 T1
T1/2 f (t)sin(n1t)dt
0
n 1,2,3,L
5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系
3．偶谐函数信号
若f(t)沿时间轴平移半个
周期后与原波形完全重叠 ,
称 f(t)为偶谐函数信号，

则有 f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t)
若f(t)沿时间轴平移半个周期
后与原波形相对于时间轴镜像
对称 ,称 f(t)为奇谐函数信号，

则有 f (t) an cos(n1t) bn sin(n1t)
n1
式中
an

4 T1
T1 /2
f (t)cos(n1t)dt
0

bn

4 T1
T1/2 f (t)sin(n1t)dt
(1) 离散性
(2) 谐波性
(3) 收敛性
5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱
3．周期信号的有效频谱宽度
周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可以分解为无限 多个频率分量，但其主要能量却集中在第一个零分量频率之内。
因此，通常把 0～ 2π/τ这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效
频谱宽度或信号占有频带，记为
f
(t) cos n1tdt

j1 T1
T1/2 f (t)sin n1tdt
T1 /2
1 T1
T1/2 f (t)(cos n1t jsin n1t）dt
T1 /2
1 T1/2 f (t)e jn1tdt T1 T1/2
5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
三角型傅里叶级数的系数与指数型傅里叶级数的 系数之间的转换关系为
2、容易推广到复频域分析法，进而分析高阶复杂激励信号作 用下的电路响应 。
3、利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调 制等许多实际问题，从而获得清晰的物理概念。
5.1 连续周期信号的傅里叶级数展开
将信号表示为不同频率的正弦分量的线性组合， 称为信号的频谱分析。对连续周期信号进行频谱分析 的数学工具是是傅里叶级数，简称傅氏级数。
f (t)dt a0
T1 / 2
5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
如果将n的取值范围理解为 (,)
则


f (t) F0
Fne jn1t Fne jn1t
Fne jn1t
n1
n
称该式为指数型傅里叶级数， 式中
Fn

1 T1
T1 /2 T1 /2
an An cosn ,bn An sinn
2．指数型傅里叶级数
根据
cos(n1t)

e jn1t
e jn1t 2
,
sin(n1t)

e jn1t
e jn1t 2j
5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
得
f
(t)

a0

n1

an
jbn 2
式中
n1

2 T1/2
a0

T1
0
f (t)dt

an

4 T1
T1/2 f (t) cos(n1t)dt
0

bn

4 T1
T1/2 f (t)sin(n1t)dt
0
n 2, 4,6,L n 2, 4,6,L
5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系
4．奇谐函数信号
f
(t)

t
t
0t≤ 2
t≤ 2
求其傅里叶级数展开式。
f(t)是偶函数，因此 bn 0

a0

2 T1
4
an T1
T1 / 2
2
f (t)dt
2 tdt
0
0
4
T1 / 2 0
f
(t) cos(n1t)dt

4

2 t cos 2ntdt
周期信号还可写为紧凑的三角型傅里叶级数形式

f (t) A0 An cos(n1t n ) n1
5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
两种表示形式的傅里叶级数的系数有如下关系：
A0 a0


An


an2
bn2 ,n


arctan


bn an

5.2.1 单边频谱
若周期信号f(t)的三角函数形式的傅里叶级数展开式为

f (t) A0 An cos(n1t n ) n1
则 An 与 n1 的关系称为单边幅度频谱
n 与 n1 的关系称为单边相位频谱
5.2.2 双边频谱
若周期信号f(t)的三角函数形式的傅里叶级数展开式为

1 2
A3e j3

A
j
e2
6
F3
F3
e j3
1 2
A3e j3

A
j
e2
6
F4

F4
e j41 2Aຫໍສະໝຸດ e j4Aj
e2
8
F4

F4
e j4
1 2
A4e j4

A
j
e2
8
5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱
1．周期矩形脉冲信号的频谱
(3) Sa(0) lim 1 x0 x
(4) Sa(x)随着x的增大其幅度按1/x的规律单调衰减并趋于0
据此可绘出周期矩形脉冲信号 的双边幅度频谱图
5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱
由于Fn为实数，当n>0，且满足
n1


4k


,
2(2k

1)

时，Fn>0，Fn对应的相位为0
5.1.1 信号分类
分类标准 确定否 连续否
周期否
量化否
因果否
能量 有限否
功率 有限否
肯定时 确定性 连续
周期
量化
因果
有限
有限
否定时 随机性 离散 非周期 非量化 非因果 无限
无限
非连 因周续 果期
非连 因周续 果期
非连 周因续 期果 图中所有信号都为有界信号
非连周因续期果
离 周因散 期果 非连因周续果期
1t

2


1 2
cos

21t

2


1 3
cos

31t

2


1 4
cos

41t

2

L

试画出该信号的单边频谱图和双边频谱图 。
单边幅度频谱和单边相位频谱
根据三角型傅里叶级数与指数型傅里叶级数系数间的关系，得
F0

式中
F0 a0 A0
Fn

Fn
e jn

1 2
(an

jbn )
Fn
1 2
an2
bn2

1 2
An
n arctan( bn / an )
5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系
1．偶对称信号
若f(t)关于纵轴对称, 称 f(t)为偶信号，则有

f (t) a0 an cos(n1t)
5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
当任何周期函数满足狄利克雷条件时，即满足：
(1) 在一个周期内绝对可积，即
T
2 T
f (t) dt
2
(2) 在一个周期内只有有限个间断点。
(3) 在一个周期内只有有限个极大或极小值。
则该周期函数可展开为一组正交函 数的无穷级数之和。
5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
信号与系统的频域分析法，是指运用傅里叶级数展开(或 傅里叶变换)将信号分解为多个正弦函数的和(或积分)，得到 信号的频谱，然后求电路系统对各个正弦分量的响应，得到 响应的频谱，最后经过傅里叶反变换求得响应的方法。
频域分析法的意义：
1、傅里叶变换将时域中的微分方程变换为频域中的代数方 程，避开了微分方程的求解和卷积积分的计算。
第5章电路与信号分析基 础
本章要点
• 周期信号的傅里叶级数展开
• 周期信号的频谱 • 非周期信号的傅里叶变换 • 傅里叶变换性质 • 线性系统的频域分析
章节内容
5.1 连续周期信号的傅里叶级数展开 5.2 连续周期信号的频谱 5.3 连续非周期信号的傅里叶变换 5.4 傅里叶变换性质 5.5 线性系统的频域分析 5.6 滤波器 5.7 Multisim频域分析

f (t)
Fne jn1t
n
则| Fn 与| n1 的关系称为双边幅度频谱
n 与 n1 的关系称为双边相位频谱
式中n为-～+的整数，f(t)对应的频谱图在频率轴 的正、负频率各边均有谱线
5.4 一个周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f
(t)

A 2

A
cos

k 0,1, 2,L
当n>0，且满足
n1


2(2k 1)

,
4(k


1)

时，Fn<0，Fn对应的相位为π
k 0,1,2,L
对称的，可以讨论n<0时的相位频谱情况
5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱
周期矩形脉冲信号的双边 幅度频谱图和相位频谱图，分 别如右图所示。
2．周期信号频谱的特点