双曲线渐近线方程

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双曲线渐近线方程

百科名片

双曲线渐近线方程

双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建

筑的时候的一些数据的处理。双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。

分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。是一种根据实际的生活需求研究出

的一种算法。

渐近线特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线

和斜渐近线。

当上一点M沿曲线无限远离时，如果M到一条的于零，那么这条直线称

为这条曲线的渐近线。

需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线

在无线延伸时的变化情况。

根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、

斜渐近线。

y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近

线方程

当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x

当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x

双曲线的简单几何性质

1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中

心对称.

(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为

2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程

x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.

(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y

＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表

示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.

注重：

1.与双曲线 - ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)

2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 - ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)

2.双曲线的第二定义

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.

3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;

P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.

本节学习要求：

学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.

双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.

通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.

双曲线的渐近线教案

教学目的

(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画

双曲线的图形．

(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作

初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．

教学过程

一、揭示课题

师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗

生(众)：能画出来．

师：能画得比较精确点吗

(学生默然．)

其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线

我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越

的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．

(板书课题：双曲线的渐近线．)

二、讲述定义

师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的

直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点我们先看看双曲线在第一象限的情况．

设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则

考察一下y变化的范围：

因为x2－a2＜x2，所以

这个不等式意味着什么

(稍停，学生思考．)

平面区域．

之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．

为此，我们考虑下列问题：

经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，

以看出，双曲线

的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．

下面，我们来证明这个事实．

双曲线在第一象限内的方程可写成

设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线

上与M有相同横坐标的点，则

设|MQ|是点M到直线

的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．

在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线

叫做双曲线的渐近线．

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双

手画出比较精确的双曲线．

[提出问题，解决问题，善始善终．]

三、初步练习

(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)

1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：

(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．

2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：

求双曲线方程并画出双曲线．