2020年高中物理竞赛—电磁学C-03静电场：镜像法解题(上)(共13张PPT)
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2020年高中物理竞赛—电磁学B版：第三章 静电场分析(1-2电场强度和电位函数等)(共29张PPT
而电场强度除了大小与媒质的介电常数有关外，也满足 这些约束，故可以用电场强度定义电通密度D为
D=ε0 E 点电荷q在半径R处的电通密度为，D的单位为C/m2
q
D aR 4R2
由矢量分析得： 穿过某个曲面 S的电通量定义为
S D dS
如果 D与d S方向相同，则穿过曲面 S的电通量最大。
3.2.2 高斯定律
远处，这将给电位的计算带来很大的方便。此时，任意P点
的电位为
P E dl
则点电荷的电位表达式为
q 1 4 0 R
这就是点电荷产生的电位。上式中隐含无穷远处电位为
零。 则有：
E
q
4
0
1 R
电位与电场强度
E= -▽φ
如果电荷以体密度ρV(r′)分布于体积V内，将积分（对带撇的变 量积分）与微分（对不带撇的变量微分）符号互换， 得
F12
aR
q1q2
4 0R2
q1q2
4 0R3
R
F12 q2 R
q1
两个点电荷的相互作用返回
3.1.2 电场
1. 点电荷的电场强度
设q为位于点S(x′, y′, z′)处的点 电荷，在其电场中点P(x,y, z) 处引入试验电荷qt，如图所示。 根据库仑定律，qt受到的作用 力为F，则该点处的电场强度
O
y
l
2
1
有限长直线电荷的电场
无限长线电荷的场
3.1.3 电位函数
在静电场中，某点P处的电位定义为把单位正电荷从P点移 到参考点Q的过程中静电力所作的功。若正试验电荷qt从P 点移到Q点的过程中电场力作功为W，则P点处的电位为
lim W
Q
E dl
2020年高中物理竞赛—电磁学C-03静电场：镜像法解题(下)(共17张PPT)
l1 2 0
ln
a
1 d1
l2 2 0
ln
a
1 d2
C
0
l1 2 0
ln
1 d1
a
l2 2 0
ln
a
1 d2
C
0
l2 l1
•镜像电荷与原像电荷线密度大小相等，型号相反。
•空间一点的电位
1
2
C1
l1 2 0
ln
r1
C2
l2 2 0
ln
r2
l1 2 0
ln
r2 r1
C
（3）如果圆柱不接地，则应在轴线上加＋pl1，以 保持原边界条件（圆柱上净电荷为零，圆柱面为等 位面）。
2020高中物理竞赛
电磁学C
例3.8 在点电荷q的电场中，引入一接地金属球。求达到 新的静电平衡状态后球外的电场。
解：设金属球心与点电荷的距离为d，电位函数满
足的条件是：除点电荷所在处外，到处有：2 0 ,
金属球面上＝0
。
•设想将金属球撤除，并使空间充满介电常数为的 介质，在离球心b（＝R2 /d）处放置电荷q’（＝－ Rq/d）。 •根据例3.7的结果，原电位函数满足的条件未变。 •对金属球外区域中的电场可根据q和q’两电荷来计 算。
2 l ln b (h a) 2 0 b a) 0 b (h a)
C0
l
U
ln
0
b (h a)
b (h a)
谢谢观看！
例3.10 两根无限长平行圆柱，半径均为a，轴线距离为D。 求：两圆柱间单位长 度上的电容。
解：设加电压后两圆柱分别带电＋pl和－pl。应 用上题结果，圆柱看成是两电轴（带电＋pl和－ pl）的等位面。求出电轴位置即得解。
2020年高中物理竞赛(电磁学)电磁场和电磁波(含真题练习题)位移电流(共15张PPT)
B
LE dl S t dS
对稳恒磁场
SB dS 0
lH dl I0
静电场和稳恒磁场的基本规律
静电场
SD dS V dV
E涡
E dl 0
L
稳恒磁场
SB dS 0
H dl
j dS
Id
L
S
E dl
L
B
变
dS
S t
LH
dl
磁场的角度看，变化的电场可以等效为一种电流。
若把最右端电通量的时间变化率看作为一种电流，那
么电路就连续了。麦克斯韦把这种电流称为位移电流。
定义
Id
de
dt
d dt
D dS
S
D
dS
S t
jd
D t
0
E t
P （位移电流密度） t
位移电流的方向
位移电流与传导电流方向相同 如放电时
2020高中物理学奥林匹克竞赛
电磁学篇[基础版] （含往年物理竞赛真题练习）
1820年奥斯特 1831年法拉第
电 产生 磁 磁 产生 电
变化的磁场 激发 电场
? 变化的电场
磁场
11-1 位移电流 麦克斯韦方程组
一. 位移电流
1、电磁场的基本规律
对静电场
S D dS q0
L E dl 0 对变化的磁I
+++++++++
I
电容器上极板在充放电过程中，造成极板上电荷
积累随时间变化。
D Q
S
电位移通量 e DS Q
单位时间内极板上电荷增加（或减少）等于通入
LE dl S t dS
对稳恒磁场
SB dS 0
lH dl I0
静电场和稳恒磁场的基本规律
静电场
SD dS V dV
E涡
E dl 0
L
稳恒磁场
SB dS 0
H dl
j dS
Id
L
S
E dl
L
B
变
dS
S t
LH
dl
磁场的角度看，变化的电场可以等效为一种电流。
若把最右端电通量的时间变化率看作为一种电流，那
么电路就连续了。麦克斯韦把这种电流称为位移电流。
定义
Id
de
dt
d dt
D dS
S
D
dS
S t
jd
D t
0
E t
P （位移电流密度） t
位移电流的方向
位移电流与传导电流方向相同 如放电时
2020高中物理学奥林匹克竞赛
电磁学篇[基础版] （含往年物理竞赛真题练习）
1820年奥斯特 1831年法拉第
电 产生 磁 磁 产生 电
变化的磁场 激发 电场
? 变化的电场
磁场
11-1 位移电流 麦克斯韦方程组
一. 位移电流
1、电磁场的基本规律
对静电场
S D dS q0
L E dl 0 对变化的磁I
+++++++++
I
电容器上极板在充放电过程中，造成极板上电荷
积累随时间变化。
D Q
S
电位移通量 e DS Q
单位时间内极板上电荷增加（或减少）等于通入
2020年高中物理竞赛—电磁学C-03静电场：电荷和电荷分布(共12张PPT)
C/m
3.2 库仑定律 电场强度
点电荷q1，q2之间相互作用的规律（MKSA有 理制）
F12
F21
q1q2
4 0R3
R
其中
R
r
r'
电场强度：
带电体周围存在电场，引入电场的任何带电
体都受到电场所作用力，电磁场是物质的一
种形态，具有能量，动量和质量。
描述静电场中一点性质的物理量：
电场强度
lim
过dS的正电量为
dQ' P • dS P • ndS
•在介质内紧贴表面取闭合面，穿出此闭合面的电
荷量就是介质表面的束缚面电荷。面电荷密度
P
dQ' dS
P•
n
•在极化过程中从任取的闭合面穿出的正电量为
Q' P • dS
•留在闭合面中的束缚电荷电量为
q' Q P • dS
• • Pd ' d ,
'P • P •在各向同性的线性介质中,
为极化系数
P
P 0E
谢谢观看！
•极化电荷产生附加电场E’，合场强E＝E0＋E’, • E’总是消弱外场E的作用。
•介质均匀时，介质表面产生极化电荷。 •介质不均匀，产生表面极化电荷；在介质中 产生极化电荷体密度。
•极化的程度可用极化强度P来描述。为单位体积内
的电偶极矩
P
lim
0
p
,
p
qd
•在电场中任取一元面积 dS ，介质极化过程中穿
E(r)
4 0
1
4 0
R3
4 0
l
(r')dl' R3 R
1
4
2020年高中物理竞赛(电磁学)静电场和稳恒电场(含真题练习题)：高斯定理的应用(共16张PPT)
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
l
高 斯 面
r E
qi 0
E0
(2) r >R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
高
E2rl
斯 面
qi 2Rl
R
E
r 0
令 2R
r
l
E
E
2 0r
课堂讨论
●q ●q
• q2
1．立方体边长 a，求
rR
电通量
e E1 dS
E1 dS E1 4r 2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
++ E
+ + +R
r
+ +q +
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
rR
e
qi
E2 q
dS E2 dS E2 4r 2
s2
E2 4r 2 q 0
+
+ +
+ R
E2
q
4 0r 2
S1 ER2
S1 ( ER2 ) 0
2. 当场源分布具有高度对称性时求场强分布 步骤：
1.对称性分析，确定 E的大小及方向分布特征
2.作高斯面，计算电通量及 qi
3.利用高斯定理求解
例1.（2018东京物理学奥林匹克初赛）
均解匀:带对电称球性面分的析电场E。具已有知球R、对称q>0 作高斯面——球面
2020年高中物理竞赛辅导课件：电磁学(静电场中的导体和电介质)05静电场的能量(共13张PPT)
2020
全国高中生物理学奥林匹克竞赛
普通物理学
（含竞赛真题练习）
§2.6 静电场的能量(Energy of Electrostatic Field) 1.带电电容器的能量
充电时,电源做功→电容器的静电能；放电 时,能量C
B
放电： t=0
+Q (-Q)
t—t+t
Note: W → C , 也是计算电容的一种方法.
[例2-9] 电容为C的电容器,极板上带电量Q. 将
其与另一不带电的相同电容器并联,则
该电容器组的静电能W=
.
解：
C
+Q -Q
并联后, 总带电量为 C Q, 总电容为 2C
W=Q2/4C
[思考] 为什么静电能变小了？
+q -dq
(-q)
电场力做功：
dA (dq)(V V )
(dq) q C
A 1
0
qdq
Q2
CQ
2C
带电电容器的静电能：
W
Q2 A
1 CU 2
1 QU
2C 2
2
2.静电场的能量 充电与放电→极板间电场产生与消失 场的观点：静电能储存于电场中
W 1 CU 2 1 0r S (Ed )2 DE Sd
2
2d
2
电场的能量密度(单位体积中的能量)：
w DE 2
电场的能量：
(对任何电场都成立)
W wdV
[例2-8] 金属球半径R,带电量Q,求其静电能. 解： [解法一] 视为带电电容器：
W Q2 Q2
2C 80R
[例2-8] 金属球半径R,带电量Q,求其静电能. 解： [解法二]计算静电场的能量：
全国高中生物理学奥林匹克竞赛
普通物理学
（含竞赛真题练习）
§2.6 静电场的能量(Energy of Electrostatic Field) 1.带电电容器的能量
充电时,电源做功→电容器的静电能；放电 时,能量C
B
放电： t=0
+Q (-Q)
t—t+t
Note: W → C , 也是计算电容的一种方法.
[例2-9] 电容为C的电容器,极板上带电量Q. 将
其与另一不带电的相同电容器并联,则
该电容器组的静电能W=
.
解：
C
+Q -Q
并联后, 总带电量为 C Q, 总电容为 2C
W=Q2/4C
[思考] 为什么静电能变小了？
+q -dq
(-q)
电场力做功：
dA (dq)(V V )
(dq) q C
A 1
0
qdq
Q2
CQ
2C
带电电容器的静电能：
W
Q2 A
1 CU 2
1 QU
2C 2
2
2.静电场的能量 充电与放电→极板间电场产生与消失 场的观点：静电能储存于电场中
W 1 CU 2 1 0r S (Ed )2 DE Sd
2
2d
2
电场的能量密度(单位体积中的能量)：
w DE 2
电场的能量：
(对任何电场都成立)
W wdV
[例2-8] 金属球半径R,带电量Q,求其静电能. 解： [解法一] 视为带电电容器：
W Q2 Q2
2C 80R
[例2-8] 金属球半径R,带电量Q,求其静电能. 解： [解法二]计算静电场的能量：
2020年高中物理竞赛(电磁学)静电场和稳恒电场(含真题练习题)：有电介质时的高斯定理(共13张PP
2020高中物理学奥林匹克竞赛
电磁学篇[基础版] （含往年物理竞赛真题练习）
0
qi
1
0
(
q
qi )
S P dS qi
自由电荷 极化电荷
S
SE
•
dS
1
0
(
q
SP
dS )
S ( 0E P )• dS q
D 0E P 0E 0E 0 r E E
D E
电位移矢量
D
0E
真空中
0 r E 介质中
介质中的高斯定理 D • dS q 自由电荷 S
通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该闭 合曲面所包围的自由电荷的代数和。
E
线
D
线
电位移线
方向:切线 D
大小: 电位移线条数
S
Db
Da
b
D
a
8-6 电容 电容器
电容——使导体升高单位电势所需的电量。
导线间电势差
B da
uA uB E • dl E dx
A
a
电容 C
0
uA uB ln d
a
0
ln
d
a
a
0
ln
d a
一、孤立导体的电容
孤立导体：附近没有其他导体和带电体
qU
q C 孤立导体的电容 U
孤立导体球的电容C=40R
单位：法拉（F）、微法拉（F）、皮法拉（pF）
1法拉 1库仑 伏特
1F 106 F 1012 pF
二、电容器及电容
1、电容器的电容 导体组合,使之不受
周围导体的影响 ——电容器
电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等值异号 电荷q时，电量q与两极板间相应的电 势差uA-uB的比值。
电磁学篇[基础版] （含往年物理竞赛真题练习）
0
qi
1
0
(
q
qi )
S P dS qi
自由电荷 极化电荷
S
SE
•
dS
1
0
(
q
SP
dS )
S ( 0E P )• dS q
D 0E P 0E 0E 0 r E E
D E
电位移矢量
D
0E
真空中
0 r E 介质中
介质中的高斯定理 D • dS q 自由电荷 S
通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该闭 合曲面所包围的自由电荷的代数和。
E
线
D
线
电位移线
方向:切线 D
大小: 电位移线条数
S
Db
Da
b
D
a
8-6 电容 电容器
电容——使导体升高单位电势所需的电量。
导线间电势差
B da
uA uB E • dl E dx
A
a
电容 C
0
uA uB ln d
a
0
ln
d
a
a
0
ln
d a
一、孤立导体的电容
孤立导体：附近没有其他导体和带电体
qU
q C 孤立导体的电容 U
孤立导体球的电容C=40R
单位：法拉（F）、微法拉（F）、皮法拉（pF）
1法拉 1库仑 伏特
1F 106 F 1012 pF
二、电容器及电容
1、电容器的电容 导体组合,使之不受
周围导体的影响 ——电容器
电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等值异号 电荷q时，电量q与两极板间相应的电 势差uA-uB的比值。
2020年高中物理竞赛(电磁学)静电场和稳恒电场(含真题练习题)：稳恒电场(共14张PPT)
三、电动势
非静电力： 能把正电荷从电势较低点 （如电源负极板）送到电势较高点（ 如电源正极板）的作用力称为非静电 力，记作Fk。
非静电场强
Ek
Fk q
提供非静电力的装置就是电源。
+–
静电力欲使正电荷从高电位到低电位。 非静电力欲使正电荷从低电位到高电位。
电动势： 把单位正电荷从负极经电
源内部移到正极时，电源中非静电力
开关倒向b,电容器放电。
灯泡发光 电容器释放能量 电源提供
计算电容器带有电量Q，相应电势差为U 时所具有的能量。
q uA uB u C
q q
任
一 dq
B dq A
时
刻
外力做功 dW dA udq q dq C
uA
uB
Q Q
Q q
Q2
A 0 C dq 2C 电容器的电能
终 了
时
W Q2 1 QU 1 CU 2
2C 2
2
刻 UA
UB
二、电场能量
q
q
1、对平行板电容器
W 1 CU 2 1 ( 0 S )( Ed )2
2
2d
0 S d
1 2
0
E
2
(
Sd
)
1 2
0
E
2V
电场存在的空间体积
电场能量体密度——描述电场中能量分布状况
2、电场中某点处单位体积内的电场能量
对任一电场，电场强度非均匀
wW V
1 2
0
R
1 2
0
E
2
4r
2dr
W球面 W球体
E
2
D 0r E E
dWe wedV
电磁场 镜像法PPT课件
面上，剩余传到无穷远。
Q 40
[
1
R2 a2 2Ra cos
(Ra
/
R0
)2
1 R02
2Ra
cos
]
(R
R0
)
0
(R R0)
② 球面感应电荷分布
感
0
RR R0Fra bibliotekQ4R0a
1
R02 a2
(1 2
R02 a2
)
3
R0 a
cos
2
Q 4R0
(a2 R02 )
a2
R02
2R0a cos
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷，
r′
求空间电势。
r
解：根据唯一性定理左半空间 0
Q
z
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改变 所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
场点P的电势
Q’
P 1 Q Q
4 0 r r
可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是
一种求解泊松方程的简洁方法。
镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边
界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。
例2 设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介
质，以无限大平面为界。在介质1中
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
Q 40
[
1
R2 a2 2Ra cos
(Ra
/
R0
)2
1 R02
2Ra
cos
]
(R
R0
)
0
(R R0)
② 球面感应电荷分布
感
0
RR R0Fra bibliotekQ4R0a
1
R02 a2
(1 2
R02 a2
)
3
R0 a
cos
2
Q 4R0
(a2 R02 )
a2
R02
2R0a cos
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷，
r′
求空间电势。
r
解：根据唯一性定理左半空间 0
Q
z
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改变 所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
场点P的电势
Q’
P 1 Q Q
4 0 r r
可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是
一种求解泊松方程的简洁方法。
镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边
界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。
例2 设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介
质，以无限大平面为界。在介质1中
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
2020届高中物理竞赛电磁学部分第2章 静电场(共56张ppt)
S
r
r2
r2
∴ D dS 1 r
r
S D dS 0
W
1 2
dV
2.1 静电势及其微分方程
使用
W
1 2
dV
应注意问题：
1> 适用于静电场，线性介质；
2> 适用于求总能量；
分布3的> 空不间能有把关12。真实看的成静是电电能场量能是量以密密度度，它w只 1能E表 D示能的量形与式存在在空着间电连荷续
Qdr
dl
Q
P 4 0r3
P 4 0r2 4 0r
点电荷系：
n
(P)
Qi
i1 4 0 ri
介质中电电荷：（无限大均匀线性介质 ）
f
P
Q f QP 4 0r
Qf 4 r
连续分布电荷：
(P) (x)dV
LOGO
第二章 静电场
Electrostatic field
研究问题：在给定自由电荷分布以及周围介质 和导体分布情况下，求解场分布。
求解静电场方法：分离变量法，电像法，格林 函数法，点多极展开等。
描述静电场的标量函数：电势。 求解依据：唯一性定理。 讨论问题，场由静电荷产生；电场不随时间变 化。
2.1 静电势及其微分方程
导体给定总电荷Q，相当
n S
给定，（
Q
S
n
dS ）
S
2.2、唯一性定理
二、唯一性定理
二、静电势的微分方程和边值关系
1、 满足的微分方程
2020年高中物理竞赛(电磁学)静电场和稳恒电场(含真题练习)：场强和电势的关系(共13张PPT)
1
4 0
(R2
qx x2 )32
Ey Ez 0
E
Exi
1
4 0
(R2
qx x2)32
i
例2（国赛模拟）计算电偶极子电场中任一点的场强
解：
u
u(x,y)14 0(
x2
px y2
3
)2
Ex
u x
1 (
x 4 0
(x2
px y2 )32
)
Ey
u y
1
(
y 4 0
(x2
px y2)32 )
du El dl
沿该方向电势的 变化率的负值
一般 u u( x, y, z)
所以
Ex
u x
u E y y
u Ez z
E Exi Ey j Ezk
(
u
i
u
j
u
k)
x y z
u的梯度: gradu 或 u
E gradu u
E
du dn
n0
E的方向与u的梯度反向，即指向u降落的方向
B点(x=0) A点(y=0)
p
E 4 0 y 3 i
E
p
2 0 x3
i
q
•
y
•B
r
O
l
l
•
q
A
•
x
由等势面确定ab点的场强大小和方向1u2u3uab03221????????uuuu已知ae?be?e?abld?n???uduu??二场强与电势梯度的关系cosduuudlelde??????????????dudle??????cos单位正电荷从a到b电场力的功dudlel????dlduel????电场强度沿某一方向的分量沿该方向电势的变化率的负值zyxuu??一般xuex????????yuey????????zuez????????所以le方向上的分量在在e?ld?kejeieezyx???????????kzujyuixu???????????????????????ugradue??????????graduu??或或u的梯度
2020年高中物理竞赛-电磁学C：02静电场：电场力 (共12张PPT)
张力F 应为
F dWe dl
常数
那么将
We
1V 2
2C,
代C 入 ，S即可获得同样结果。
l
如果将
F dWe dS
及 q常数
F dWe dS
常两数 式中的变量 l
理解为一种
广义坐标，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，
企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。
得平板电容器两极板之间的作用力为
q2
F
( N)
2 S
式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。
如果假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，在虚位 移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统。根 据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的作用力， 所得结果应该与上完全相同。
设在电场力作用下，极板间距的增量为dl。由于电容改变，为了 保持电位不变，正极板的电荷增量为dq，负极板的电荷增量为-dq 。
设正负极板的电位分别为 1 及 2 ，则电场能量的增量为
dWe
1 2
1dq
1 2
2dq
1 Vdq 2
式中V 1 为 两2 极板之间的电压。
为了将 dq 电荷移至电位为 1的正极板，将电荷-dq移至电位为 2
F
4π r 2
er
式中er 为由 q 指向 q的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验 总结归纳的库仑定律。
已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体 电荷之间的电场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑 定律计算电场力是非常困难的，有时甚至无法求积。为了计算具有一 定电荷分布的带电体之间的电场力，通常采用虚位移法。这种方法是 假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量 的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。
2020年高中物理竞赛辅导课件(电磁学)电荷、电荷守恒定律(共22张PPT)
l2
2 0 y y2
l2 2
4 0 y
q
y2
l
2
2
讨 1. y l 无限长均匀带电细棒的场强 论 方向垂直与细棒。
E
2 0 y
2. y l 相当于点电荷的场强。
q
E 4 0 y 2
例 3：求 均匀带电圆环轴线上一点的场强。
设圆环带电量为 q ，半径为 R
解：由对称性可知，p点场强只有X分量
小，称该带电体系为电偶极子。)（山东省夏令营）
E
qr
4 0r3
E
qr
4 0r3
r l | r || r || r|
E
E
E
q
4 0r3
(r
r )
用 l 表示从 q到
定义电偶极矩为：
q
的矢量，
Pe ql
E
p
E
E
r
r
r
l
q q
(r
r )
l
E
p
E
E
r
r
r
l
q q
E
ql
dq r P
以下的问题是如何选出合适的坐标， 给出具体的表达式和实施计算。
lim e
V 0
q V
dq dV
电荷的体密度
lim e
V 0
q S
dq dS
电荷的面密度
lim e
l 0
q l
dq dl
体电荷分布的带电体的场强
电荷的线密度
E
V
edV 4 0r2
rˆ
面电荷分布的带电体的场强
E
S
edS 4 0r 2
★
2020年高中物理竞赛—电磁学(入门篇A)真空中的静电场(共30张PPT) 课件
Eb S
Ea Eb
2020/4/14
26
以上证明同一电场线上各点电场强度的数值处处相等。
2. 选取如图所示的矩形闭合路径ABCD。
E dl E dl E dl E dl E dl 0
AB
BC
CD
DA
Ea AB
此积分 为零
EC CD
Ea AB EC CD
向电势低处运动
正电荷受力方向沿电力线方向
结论：电力线指
向电势减弱的方向。
2020/4/14
30
思考：如果线粗细不可忽略，
空间场强分布如何？
2020/4/14
20
例题
求：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面的场强分布。
解： 选择高斯面——
+
+ + dS
与平面正交对称的柱面
底面 E dS 且 大小相等；
E
E
++ ++ ++
+
侧面 E dS
dS
e
Ed S
S
S 0
E
2 0
2SE
2020/4/14
Qr
4 0 R3
Q
4 0r 2
r R r R
19
例题 求：电荷线密度为 的无限长带电直线的场
l
解：
r
强分布。
选dS择高斯面——同轴柱面
E
dS
e
E dS
S
上下底面
E dS
侧面 E // dS ，且同
一柱面上E 大小相等。
l 0
E
侧E？ dS E底0E 2drSl
dS
2020年高中物理竞赛—电磁学C-03静电场：电通量和高斯通量定理(共17张PPT)
r
q1 q2
4r 20
r0
• dl
r
q1 q2
4r 20
dr
q1 q2
4r 0
外壳电位：将r＝R2＋R2
代入
4
q1 q2
(R2 R2 )0
(2) R2>r>R1
R2 r
q1
4 0
r
2
dr
2
q1
4 0
(1 r
1 R2
)
4
q1 q2 0 (R2 R2 )
(3)内球壳电位： 将R1代入，
e de de
S1
S2
q
4 0 (1 2 ) 0
•当闭合曲面内有n个点电荷，
n
e E • dS (
S
Sk
Ek ) • dS
n k
n
Ek • dS
S
k
qk
0
•当闭合曲面内有连续电荷分布
dq
E • dS V
S
0
在无限大均匀线性介质中，只需在上述式中将＝
r0取代0便到相应当公式, 称为高斯通量定理的特殊形式,
q1 ( 1 1 )
q1 q2
4 0 R1 R2 4 0 (R2 R2 )
（4）r<R1，电位为内球壳电位
谢谢观看！
2020高中物理竞赛
电磁学C
3.4电通量和高斯通量定理
电力线表示场强的方向，通过垂直于场强的单位面 积电力线的数目为电场强度的量值。
通过曲面S的电通量为 E • dS S
曲面法线的正方向：封闭曲面，外法线为正方向。 一般曲面，法线正方向与曲面边缘绕向成右手螺旋 关系。
真空中静电场的高斯定理
2020年高中物理竞赛辅导课件：电磁学(真空中的磁场)03磁场来自电场(共15张PPT)
dF Idl B
1.均匀磁场中的安培力计算
⑴载流导线
b lab
I
B
F Idl B L
I
(Ldl
)
B
aL
Ilab B
⑵载流线圈
F1
F2
IB
合力：F 0
磁力矩：
M
pm
B
载流线圈 的磁矩
2.非均匀磁场中的安培力计算
F LIdl B
Note: 在非均匀磁场中，载流线圈所受合力 一般不为零．
⑴
v//
B
q v
B
——匀速直线运动
⑵ vB
R
v q ——匀速率圆周运动
B
qvB m v2 R
R mv qB
周期 T 2R 2m v qB
——与速度 大小无关
⑶一般情形
v
q
v
v//
B
——螺旋运动
2.带电粒子在非均匀磁场中的运动
q F
F有指向磁场较弱方向 B 的分量,q将被反射．
[验证] 低速(vc)情形：
E
q 4 0r 3
r
B
1 c2
v
E
0 4
qv r r3
(1/c2=00)
§3.6 洛仑兹力(Lorentz Force)
——磁场对运动电荷的作用力
F
qv
B
特点：变Fvv的方F向不能改变 v的大小,只能改
Note:
广义洛仑兹力：F
qE
qv
B
1.带电粒子在均匀磁场中的运动
b
+Q
Fm q
v U
Fe
-Q
U IB nqb
I
1.均匀磁场中的安培力计算
⑴载流导线
b lab
I
B
F Idl B L
I
(Ldl
)
B
aL
Ilab B
⑵载流线圈
F1
F2
IB
合力：F 0
磁力矩：
M
pm
B
载流线圈 的磁矩
2.非均匀磁场中的安培力计算
F LIdl B
Note: 在非均匀磁场中，载流线圈所受合力 一般不为零．
⑴
v//
B
q v
B
——匀速直线运动
⑵ vB
R
v q ——匀速率圆周运动
B
qvB m v2 R
R mv qB
周期 T 2R 2m v qB
——与速度 大小无关
⑶一般情形
v
q
v
v//
B
——螺旋运动
2.带电粒子在非均匀磁场中的运动
q F
F有指向磁场较弱方向 B 的分量,q将被反射．
[验证] 低速(vc)情形：
E
q 4 0r 3
r
B
1 c2
v
E
0 4
qv r r3
(1/c2=00)
§3.6 洛仑兹力(Lorentz Force)
——磁场对运动电荷的作用力
F
qv
B
特点：变Fvv的方F向不能改变 v的大小,只能改
Note:
广义洛仑兹力：F
qE
qv
B
1.带电粒子在均匀磁场中的运动
b
+Q
Fm q
v U
Fe
-Q
U IB nqb
I
2020年高中物理竞赛(电磁学)电磁感应(含真题)感生电动势和感生电场(共22张PPT)
感生电动势 非静电力 感生电场力
由电动势的定义
由法拉第电磁感应定律
讨论
1） 此式反映变化磁场和感生电场的相互关系， 即感生电场是由变化的磁场产生的。
2） S 是以 L 为边界的任一曲面。 的法线方向应选得与曲线 L
的积分方向成右手螺旋关系
是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率 不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率
其作功与路径有关
练习 求杆两端的感应电动势的大小和方向（17联赛 模拟改编）
2020高中物理学奥林匹克竞赛
电磁学篇[基础版] （含往年物理竞赛真题练习）
二、感生电动势和感生电场
1、感生电动势 由于磁场发生变化而 激发的电动势
电磁感应
动生电动势 非静电力 感生电动势 非静电力
洛仑兹力
2、 麦克斯韦假设： 变化的磁场在其周围空间会激发一种涡旋状的电场， 称为涡旋电场或感生电场。记作 或
通量的变化
原 因
非静 电力 来源
由于S的变化引起
回路中 m变化
洛仑兹力
闭合回路的任何部分 都不动，空间磁场发 生变化导致回路中磁 通量变化
由于 的变化引起
回路中 m变化
感生电场力
3、感生电场的计算 例1 局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场，
方向如图。磁场的变化率 求： 圆柱内、外的 分布。（18联赛模拟）
3）
与 构成左旋关系。
感生电场电力线
静电场（库仑场）
感生电场（涡旋电场）
具有电能、对电荷有作用力 具有电能、对电荷有作用力
由静止电荷产生
线是“有头有尾”的， 起于正电荷而终于负电荷
由变化磁场产生
线是“无头无尾”的 是一组闭合曲线
动生电动势
由电动势的定义
由法拉第电磁感应定律
讨论
1） 此式反映变化磁场和感生电场的相互关系， 即感生电场是由变化的磁场产生的。
2） S 是以 L 为边界的任一曲面。 的法线方向应选得与曲线 L
的积分方向成右手螺旋关系
是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率 不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率
其作功与路径有关
练习 求杆两端的感应电动势的大小和方向（17联赛 模拟改编）
2020高中物理学奥林匹克竞赛
电磁学篇[基础版] （含往年物理竞赛真题练习）
二、感生电动势和感生电场
1、感生电动势 由于磁场发生变化而 激发的电动势
电磁感应
动生电动势 非静电力 感生电动势 非静电力
洛仑兹力
2、 麦克斯韦假设： 变化的磁场在其周围空间会激发一种涡旋状的电场， 称为涡旋电场或感生电场。记作 或
通量的变化
原 因
非静 电力 来源
由于S的变化引起
回路中 m变化
洛仑兹力
闭合回路的任何部分 都不动，空间磁场发 生变化导致回路中磁 通量变化
由于 的变化引起
回路中 m变化
感生电场力
3、感生电场的计算 例1 局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场，
方向如图。磁场的变化率 求： 圆柱内、外的 分布。（18联赛模拟）
3）
与 构成左旋关系。
感生电场电力线
静电场（库仑场）
感生电场（涡旋电场）
具有电能、对电荷有作用力 具有电能、对电荷有作用力
由静止电荷产生
线是“有头有尾”的， 起于正电荷而终于负电荷
由变化磁场产生
线是“无头无尾”的 是一组闭合曲线
动生电动势
2020年高中物理竞赛-电磁学C：02静电场：电位和等位面 (共11张PPT)
各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？
发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是 不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内 部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因极 化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以证明这 些极化电荷产生的电位为
有极分子
实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中 以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场 Es 又 影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变 化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极 化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。
外加场Ea
电位的数学表示
W
q
式中q 为电荷的电量，W 为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。
电位相等的曲面称为等位面，其方程为
(x, y, z) C
式中常数 C 等于电位值。
由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂 直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定 相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电 位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可 表示电场强度的强弱。Px Py0e11 e 21
e12 e 22
e13 e 23
E E
x y
Pz
e31 e32 e33 Ez
这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与 电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性介质。
空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介 质。
(r) 1
P(r) dS 1
P(r)dV
4π 0 S | r r | 4π0 V | r r |
发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是 不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内 部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因极 化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以证明这 些极化电荷产生的电位为
有极分子
实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中 以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场 Es 又 影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变 化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极 化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。
外加场Ea
电位的数学表示
W
q
式中q 为电荷的电量，W 为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。
电位相等的曲面称为等位面，其方程为
(x, y, z) C
式中常数 C 等于电位值。
由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂 直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定 相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电 位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可 表示电场强度的强弱。Px Py0e11 e 21
e12 e 22
e13 e 23
E E
x y
Pz
e31 e32 e33 Ez
这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与 电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性介质。
空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介 质。
(r) 1
P(r) dS 1
P(r)dV
4π 0 S | r r | 4π0 V | r r |
2020年高中物理竞赛—电磁学C-03静电场：部分电容(共17张PPT)
有
We
1 2
V
• (D)dV
1 2
V
D•
EdV
1 2
D
•
n0
dS
S1
1 2
D •
S S1
n10dS
1 2
V
D•
EdVLeabharlann 1 2D •S1
n0dS
1 2
S
D •
n10dS
1 2
V
D•
EdV
其中其中在S1上，n1和n0 方向相反。 S是从外面包
围整个系统的面。可选择无限远处。
•任一时刻，电荷密度增量 ＝[m(x,y,z)]= (x,y,z) m ＝[m (x,y,z)]= (x,y,z) m
•总静电能量为
1
1
We m (x, y, z)'(m; x, y, z)dV m (x, y, z)'(m; x, y, z)dS
0V
0V
•所有电荷按同一比例增长，若(x,y,z)是(x,y,z)点上 的最终电位， •’(m;x,y,z)=m (x,y,z)
例3.11 真空中一半径为R的圆球内，分别有体密度为的 电荷，试求静电能量。
解：根据高斯通量定理的特殊形式可解出
r<R 处 ，
E
r 3 0
er
r>R处，
E
R3 3 0r 2
er
静电能
We
1 2
0
E
2
R
[
0
2r2 9 02
4r 2dr
R
2R6 9 02r 4
4r 2dr
4 2 R5 15 0
静电独立系统 如果一个系统，其中电场的分布之和系统内个带电 体的形状，尺寸，相互位置及电介质的分布有关， 而和系统外的带电体无关，并且所有D通量全部从 系统内的带电体发出，月全部终止于系统内的带电 体上，则称为静电独立系统。 考虑0，1，….n共n＋1个导体组成的静电独立系统 ，其所带电荷分别是q0，q1，…..qn，0号导体是参 考导体，则
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•此时对于上半空间，原来的所有条件未变：除点
电荷处外，2 0 ；以无限远为参考点，导电平
板与介质的交界面电位为零。 •根据唯一性定理，可用此设想的电荷分布来求解 实际上半空间中电场的分布。
•－q称为镜像电荷， 代替了导电板上的 感应电荷的作用。 •下半空间不存在电 场，用虚线
例3.5 求空气中一个点电荷q在地面上一起的感应 电荷分部情况。
解：设点电荷离地面高度h， 应用镜像法求得地面
上P点的电场强度 E E E ，其方向指向地面，
数值为:
E
2
q
4 0r 2
cos
qh
2 0 (h2
x2 )3/2
P点电荷密度为
0 E
qh
2 (h2 x2 )3/ 2
整个地面的感应电荷量为
dS
S
0
qh
2 (h2 x2 )3/ 2
2xdx
•对于夹角为
n
的两个相连无限大导电平板间
置有点电荷的问题，只要n为整数，在0 区域
内，可用镜像法解决。
上述结果还可应用于无限长带电线的情况。
例3.7 在两个异号点电荷q1和（－q2）的电场中， 要获得一个零值的等位球面，这两个点电荷的量值 之间和所处位置之间应满足什么关系。
解：在联接两个点电荷的直线延长线上，以O作为 原点。设q1与原点的距离为d，（－q2）与原点的 距离为b。P点为零值等位球面上的任意点（半径 为R）。
qh (h2
1 x2 )1/ 2
0
q
例3.6 设有一点电荷q置于相交成直角的两个半无限大导 电平板之前，试分析如何求解这一电场。
解：设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数 为的介质。在如图所示的位置上，放入三个镜像 电荷。这样能保证原电场的边界条件不变。
原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意： 这种方法只能用来求第一象限的电场。 。
2020高中物理竞赛
电磁学C
镜像法 由于解的唯一性，采用间接的方法求解场的分布。
假设与一无限大导电平板相距h远处有一点电荷q， 周围的介电常数，求解其中的电场。 •介质中的电场由点电荷和导电平板上感应电荷共 同产生。但感应电荷的分布未知。
•设想将导电板撤去，使整个空间充满介电常数为 的介质。在与q成镜像的位置上放置一点电荷－q。
q12 (R2 b2 ) q22 (R2 d 2 ) 0 (q22d q12b) 0
•因而二点电荷必须满足关系：
R2 bd
q2
b d
q1
R dq1ຫໍສະໝຸດ •如果满足上述两式，两点电荷q1，q2就能在空间 中形成半径为R的零值等位球面。 •其位置对球心是互为反演点。
谢谢观看！
P
q1
4 0r1
q2
4 0r2
0
q12 r12
q2 2 r2 2
,
q12 q2 2
r12 r2 2
R2 d 2 R2 b2
2Rd cos 2Rbcos
[q12 (R2 b2 ) q22 (R2 d 2 )] 2R(q22d q12b) cos 0
•等位面是球面，电位与无关。即为任意值时， 上述式成立。
电荷处外，2 0 ；以无限远为参考点，导电平
板与介质的交界面电位为零。 •根据唯一性定理，可用此设想的电荷分布来求解 实际上半空间中电场的分布。
•－q称为镜像电荷， 代替了导电板上的 感应电荷的作用。 •下半空间不存在电 场，用虚线
例3.5 求空气中一个点电荷q在地面上一起的感应 电荷分部情况。
解：设点电荷离地面高度h， 应用镜像法求得地面
上P点的电场强度 E E E ，其方向指向地面，
数值为:
E
2
q
4 0r 2
cos
qh
2 0 (h2
x2 )3/2
P点电荷密度为
0 E
qh
2 (h2 x2 )3/ 2
整个地面的感应电荷量为
dS
S
0
qh
2 (h2 x2 )3/ 2
2xdx
•对于夹角为
n
的两个相连无限大导电平板间
置有点电荷的问题，只要n为整数，在0 区域
内，可用镜像法解决。
上述结果还可应用于无限长带电线的情况。
例3.7 在两个异号点电荷q1和（－q2）的电场中， 要获得一个零值的等位球面，这两个点电荷的量值 之间和所处位置之间应满足什么关系。
解：在联接两个点电荷的直线延长线上，以O作为 原点。设q1与原点的距离为d，（－q2）与原点的 距离为b。P点为零值等位球面上的任意点（半径 为R）。
qh (h2
1 x2 )1/ 2
0
q
例3.6 设有一点电荷q置于相交成直角的两个半无限大导 电平板之前，试分析如何求解这一电场。
解：设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数 为的介质。在如图所示的位置上，放入三个镜像 电荷。这样能保证原电场的边界条件不变。
原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意： 这种方法只能用来求第一象限的电场。 。
2020高中物理竞赛
电磁学C
镜像法 由于解的唯一性，采用间接的方法求解场的分布。
假设与一无限大导电平板相距h远处有一点电荷q， 周围的介电常数，求解其中的电场。 •介质中的电场由点电荷和导电平板上感应电荷共 同产生。但感应电荷的分布未知。
•设想将导电板撤去，使整个空间充满介电常数为 的介质。在与q成镜像的位置上放置一点电荷－q。
q12 (R2 b2 ) q22 (R2 d 2 ) 0 (q22d q12b) 0
•因而二点电荷必须满足关系：
R2 bd
q2
b d
q1
R dq1ຫໍສະໝຸດ •如果满足上述两式，两点电荷q1，q2就能在空间 中形成半径为R的零值等位球面。 •其位置对球心是互为反演点。
谢谢观看！
P
q1
4 0r1
q2
4 0r2
0
q12 r12
q2 2 r2 2
,
q12 q2 2
r12 r2 2
R2 d 2 R2 b2
2Rd cos 2Rbcos
[q12 (R2 b2 ) q22 (R2 d 2 )] 2R(q22d q12b) cos 0
•等位面是球面，电位与无关。即为任意值时， 上述式成立。