2020年高中物理竞赛—电磁学C-03静电场：镜像法解题(上)(共13张PPT)

q12 (R2 b2 ) q22 (R2 d 2 ) 0 (q22d q12b) 0
•因而二点电荷必须满足关系：
R2 bd
q2
b d
q1
R d
q1
•如果满足上述两式，两点电荷q1，q2就能在空间 中形成半径为R的零值等位球面。 •其位置对球心是互为反演点。
谢谢观看！
•对于夹角为
n
Leabharlann Baidu
的两个相连无限大导电平板间
置有点电荷的问题，只要n为整数，在0 区域
内，可用镜像法解决。
上述结果还可应用于无限长带电线的情况。
例3.7 在两个异号点电荷q1和（－q2）的电场中， 要获得一个零值的等位球面，这两个点电荷的量值 之间和所处位置之间应满足什么关系。
解：在联接两个点电荷的直线延长线上，以O作为 原点。设q1与原点的距离为d，（－q2）与原点的 距离为b。P点为零值等位球面上的任意点（半径 为R）。
P
q1
4 0r1
q2
4 0r2
0
q12 r12
q2 2 r2 2
,
q12 q2 2
r12 r2 2
R2 d 2 R2 b2
2Rd cos 2Rbcos
[q12 (R2 b2 ) q22 (R2 d 2 )] 2R(q22d q12b) cos 0
•等位面是球面，电位与无关。即为任意值时， 上述式成立。
2020高中物理竞赛
电磁学C
镜像法 由于解的唯一性，采用间接的方法求解场的分布。
假设与一无限大导电平板相距h远处有一点电荷q， 周围的介电常数，求解其中的电场。 •介质中的电场由点电荷和导电平板上感应电荷共 同产生。但感应电荷的分布未知。
•设想将导电板撤去，使整个空间充满介电常数为 的介质。在与q成镜像的位置上放置一点电荷－q。
•此时对于上半空间，原来的所有条件未变：除点
电荷处外，2 0 ；以无限远为参考点，导电平
板与介质的交界面电位为零。 •根据唯一性定理，可用此设想的电荷分布来求解 实际上半空间中电场的分布。
•－q称为镜像电荷， 代替了导电板上的 感应电荷的作用。 •下半空间不存在电 场，用虚线
例3.5 求空气中一个点电荷q在地面上一起的感应 电荷分部情况。
解：设点电荷离地面高度h， 应用镜像法求得地面
上P点的电场强度 E E E ，其方向指向地面，
数值为:
E
2
q
4 0r 2
cos
qh
2 0 (h2
x2 )3/2
P点电荷密度为
0 E
qh
2 (h2 x2 )3/ 2
整个地面的感应电荷量为
dS
S
0
qh
2 (h2 x2 )3/ 2
2xdx
qh (h2
1 x2 )1/ 2
0
q
例3.6 设有一点电荷q置于相交成直角的两个半无限大导 电平板之前，试分析如何求解这一电场。
解：设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数 为的介质。在如图所示的位置上，放入三个镜像 电荷。这样能保证原电场的边界条件不变。
原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意： 这种方法只能用来求第一象限的电场。 。