古典概型

1.理解古典概型及其概率计算公式．
2. 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概
率.
第十章 第5讲
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1点必知关键 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概 型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特 点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问 题的关键．
第十章 第5讲
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2种必会方法 1. 树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问 题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件 时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可 以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同． 2. 含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突 破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用 P(A)＝1－P( A )求解较好．
A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
___.
解古典概型题的关键是什么？ 弄清总的基本事件个数与符合某个条件的基本事件的个 数，再用公式求解
从数字1,2,3中任取两个不同的数字组成一个两位数，则这
个两位数大于21的概率________.
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3. [2013· 杭州模拟 ] 从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中，任取 2 个数 字相加，其和为偶数的概率是________． 2 答案：5
解析：从6个数中任取2个数的可能情况有：(1,2)，(1,3)， (1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)， (3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有： (1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概 2 率是 . 5
答案：A
解析：记三个兴趣小组分别为 1、2、3，甲参加 1 组记为 “甲 1”，则基本事件为“甲 1，乙 1；甲 1，乙 2；甲 1，乙 3； 甲 2，乙 1；甲 2，乙 2；甲 2，乙 3；甲 3，乙 1；甲 3，乙 2； 甲 3，乙 3”，共 9 个．记事件 A 为“甲、乙两位同学参加同 一个兴趣小组”，其中事件 A 有“甲 1，乙 1；甲 2，乙 2；甲 3 1 3，乙 3”，共 3 个．因此 P(A)＝ ＝ . 9 3
(3)由直线与圆的位置关系，得 |3m| d＝ 2 2<1， m ＋n m 2 1 1 1 1 2 即 n < 4 ，共有3，4，5，6，6这5种情况， m 5 2 2 所以直线y＝ x与圆(x－3) ＋y ＝1相交的概率P＝ . n 36
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【选题· 热考秀】 [2012· 广东高考]从个位数与十位数之和为奇数的两位数中 任取一个，其个位数为0的概率是( 4 A. 9 2 C. 9 1 B. 3 1 D. 9 )
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要 题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是
直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出
信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即 可解决．
[变式探究] 设连续掷两次普通立方体骰子得到的点数分 别为m、n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)． (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率； m (3)求使得事件“直线y＝ n x与圆(x－3)2＋y2＝1相交”发生 的概率．
2 答案：3
2 2 解析：若每人都选择两个项目，共有不同的选法C2 C 3 3C 3＝ 2 2 27种，而有两人选择的项目完全相同的选法有C2 C 3 3A2＝18种，
2 故填 . 3
例2
[2012·天津高考 ]某地区有小学 21 所，中学14 所，大
学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6所学校对学 生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分
列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏． 3. 注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺 序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.
第十章 第5讲
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核心要点研究
例1
[2012·重庆高考]某艺校在一天的6节课中随机安排语
文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节，则在课
表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 ________(用数字作答)． [审题视点 ] 对最多间隔 1 节艺术课理解分三种情况：① 3 节文化课连排；②相邻 2 节文化课间隔 1 节艺术课；③某 2 节文
第5讲
古典概型
泰安二中数学2014年3月3日星期一
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1. 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？
不一定等可能．如试验一粒种子是否发芽，其发芽 和不发芽的可能性是不相等的．
某校高一年级学生要组建书法、绘画、舞蹈、音乐四个兴
【备考·角度说】 No.1 角度关键词：审题视角
本题看似简单，但知识考查点比较多，既涉及分步和分类
的混合，又需要对数字 0 是否在首位进行分类讨论，解题时首 先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是 0 的个 数，利用公式求解．
No.2
角度关键词：技巧点拨
列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数、 随机事件所含有的基本事件的个数是解决古典概型的基Leabharlann Baidu方
趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有____6____
个．
2．古典概型 (1)古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古 典概型． 有限性 — 试验中所有可能出现的基本事件 | 等可能性 — 每个基本事件出现的可能性 (2)古典概型的概率公式： P(A)＝____
法，列举基本事件时要分清两个问题： (1)是否有顺序，有序的
和无序的是有区别的；(2)是否允许重复，如在取球问题中无放 回地取球就是元素不允许重复，有放回地取球就是元素允许重 复.
经典演练提能
1. 甲乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再 由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈ {1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个 人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( 1 A. 3 2 C. 3
6
3 [答案] 5
奇思妙想：本例条件不变，则在课表上的相邻两节文化课 之间至少间隔1节艺术课的概率．
3 解：相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课的排法有A 3 A3 4
144 1 ＝144种，∴所求概率为720＝5.
[变式探究]
[2012·上海高考]三位同学参加跳高、跳远、
铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两 人选择的项目完全相同的概率是_____(结果用最简分数表示)．
[规范解答] 设个位数与十位数分别为y，x，则如果两位 数之和是奇数，则x，y分别为一奇数一偶数：
1 1 第一类x为奇数，y为偶数共有：C5 ×C5 ＝25； 1 1 另一类x为偶数，y为奇数共有：C4 ×C5 ＝20.
两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数 5 有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P(A)＝ 45 1 ＝9. [答案] D
解：(1)由题意，知m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故 (m，n)所有可能的取法共36种，使得a⊥b，即m＝3n的取法共 有2种，为(3,1)，(6,2)，所以使得事件“a⊥b”发生的概率P＝ 2 1 36＝18. (2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10. 共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)这6种情况， 6 1 故使得事件“|a|≤|b|”发生的概率P＝36＝6.
答案：D
)
5 B. 9 7 D. 9
解析：甲想一数字有3种结果，乙猜一种数字有3种结果， 基本事件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A 的对立事件B为“|a－b|>1”，即|a－b|＝2，包含2个基本事 2 7 件．故P＝1－9＝9.
2. [2011· 新课标全国高考]有3个兴趣小组，甲、乙两位同 学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相 同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 3 D. 4 )
化课被1节艺术课间隔．
[解析]
当每两节文化课之间都有一节艺术课时，共有
3 3 2A3 A3＝72种排法； 1 2 2 3 当有两节文化课排在一起时，共有C 2 C 3 3 A 2 A 2 A 3 ＝216种排
法；
3 4 当三节文化课排在一起时，共有A3 A4＝144种排法．
所以在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课 72＋216＋144 3 的概率为P＝ ＝5. A6
第十章 第5讲
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3项必须注意 1. 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注 意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是 否是等可能的．
2. 用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但
析，
①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．
[审题视点] (1)用分层抽样方法确定抽取各学校的数目；
(2)利用古典概型的公式进行计算． [解] 3,2,1. (1) 从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2， A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所 有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}， {A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3， A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}， 共15种． ②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所 有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种． 3 1 所以P(B)＝15＝5.
4. [2013· 西安联考 ] 盒中装有形状、大小完全相同的 5 个 球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个．若从中随机取出 2 个球，则 所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
3 答案：5
解析：从5个球中任取2个球有C
2 5
＝10(种)取法，2个球颜 6 3 10＝5.
1 色不同的取法有C1 3C2＝6(种)，故所求概率为